Wyprowadzenie równania falowego z równania Maxwella: Podstawowe równania elektromagnetyzmu (równania Maxwella) w postaci różniczkowej:

, , ,

Dla równania falowego fali elektromagnetycznej w próżni gęstość ładunku e, oraz gęstość prądu J są równe zeru, więc:

, , ,

Jeśli to

Jeśli , a to

Ostatecznie

Postępując podobnie można wykazać że:

Rozważając że składowe E_y i B_x nie znikają to:

,

Jeżeli przyjmiemy że E_y i B_x są funkcjami x i t to : ,

Rozwiązaniem tych równań są równania fali elektromagnetycznej:

,

Wektor Poytinga - wektor określający strumień energii przenoszonej przez pole elektromagnetyczne. Szybkość przepływu energii fali elektromagnetycznej przez jednostkowa powierzchnie.

- wektor Poyntinga

- natężenie pola elektrycznego

- natężenie pola magnetycznego

Jednostką wektora Poyntinga w układzie SI jest

Kierunek wektora Poytinga S fali elektromagnetycznej w każdym punkcie jest kierunkiem rozchodzenia się fali i kierunkiem przepływu energii w tym punkcie.

Energia fali – jest to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka. Fale dobiegające do danego przedmiotu wprawiają go w ruch drgający przekazując mu swoją energie czyli za pomocą fali można przekazywać energię na duże odległości. Cechą charakterystyczną fal jest to że przenoszą energie poprzez materią poprzez przesuwanie się zaburzenia w materii a nie dzięki ruchowi postępowemu swojej materii. Szybkość przenoszenia energii przez falę wyznaczamy obliczając siłę F jak działa na koniec struny. Jest ona proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości

Widmo fal elektromagnetycznych: jest to klasyfikacja według długości w próżni fal elektromagnetycznych rozchodzących się w próżni z prędkością światła. W widmie tym wyróżniamy kolejno (od najdłuższych do najkrótszych) Fale radiowe:- częstotliwości rzędu kHz i MHz, długości rzędu km i m; Mikrofale: częstotliwości rzędu GHz, długości rzędu cm i mm; Podczerwień: częstotliwości 10¹¹ do 10¹⁴ Hz; długości milimetrowe do mikrometrowych; Światło widzialne: 400÷800 nm Ultrafiolet:- 10÷400 nm (nadfiolet) Promieniowanie rentgenowskie (X): - 0,005÷10 nm Promieniowanie gamma (χ)

Dyspersja – w optyce to zależność współczynnika załamania n ośrodka (np. szkła) od długości fali. W efekcie światło o różnych długościach załamane, np. w pryzmacie załamuje się pod różnymi kątami, co daje rozdzielenie światła białego na barwy tęczy zwane rozszczepieniem światła. Współczynnik załamania światła wynika z prędkości rozchodzenia się światła w ośrodku. W optyce za dyspersję uznaje się też zależność prędkości rozchodzenia się światła od innych czynników np. w falowodzie określa się dyspersję modową, w której prędkość ruchu modu wzdłuż falowodu zależy od jego drogi w falowodzie. Dla niemalże każdego materiału rozchodzenie się światła jest dyspersyjne.

Zasada Fermata w optyce jest szczególnym przypadkiem zasady najmniejszego działania. Brzmi ona następująco: Promień świetlny poruszający się (w dowolnym ośrodku) od punktu A do punktu B przebywa zawsze lokalnie ekstremalną drogę optyczną, czyli taką, na której przebycie potrzeba czasu najkrótszego, bądź najdłuższego z możliwych. W praktyce najczęściej wybór pada na drogę, której przebycie zabiera najmniej czasu, niemniej powszechne, acz rzadziej obserwowane są przypadki wyboru drogi 'najdłuższej' (np. bieg promienia odbijającego się od powierzchni wklęsłego zwierciadła kulistego). Na podstawie zasady Fermata można wyprowadzić prawo odbicia i załamania.

Prawo załamania Jeżeli wiązka światła pada ukośnie na granicę dwóch ośrodków, to ulega załamaniu. Promień padający, normalna do powierzchni granicznej i promień załamany leżą w jednej płaszczyźnie, a stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla danych dwóch ośrodków wielkością stałą, którą nazywamy względnym współczynnikiem załamania n₁₂.

Gdzie n₁ – bezwzględny współczynnik załamania ośrodka 1

n₂ – bezwzględny współczynnik załamania ośrodka 2

Prawo odbicia Jeżeli światło pada na powierzchnię zwierciadlaną, to ulega odbiciu, przy czym promień padający, normalna do powierzchni odbijającej
i promień odbity leżą w jednej płaszczyźnie, a kąt padania jest równy kątowi odbicia.

Zasada Huygensa każdy punkt ośrodka, do którego dotarło czoło fali można uważać za źródło nowej fali kulistej. Fale te zwane są falami cząstkowymi i interferują ze sobą. Wypadkową powierzchnię falową tworzy powierzchnia styczna do wszystkich powierzchni fal cząstkowych i ją właśnie obserwujemy w ośrodku. każdy punkt ośrodka, do którego dociera fala, staje się źródłem nowej fali kulistej.

Interferencja to zjawisko nakładania się fal prowadzące do zwiększania lub zmniejszania amplitudy fali wypadkowej. Interferencja zachodzi dla wszystkich rodzajów fal, we wszystkich ośrodkach, w których mogą rozchodzić się dane fale. – koherentne (spójne) - w odróżnieniu od „zwykłego” nałożenia się natężeń tych fal w przypadku źródeł niespójnych.

Każde rzeczywiste źródło światła emituje foton = kwant promieniowania elektromagnetycznego, którego „odpowiednikiem” falowym jest paczka falowa = ograniczony w czasie i przestrzeni zbiór fal sinusoidalnych. Żeby takie paczki mogły się nałożyć (interferować) muszą na siebie „trafić”!

Istnieje pewna charakterystyczna dla danego źródła promieniowania różnica dróg ΔL₀ pomiędzy dwiema interferującymi paczkami falowymi, żeby mogły one jeszcze ze sobą interferować. Nazywamy ją długością koherencji (albo drogą koherencji). Wielkość ta odpowiada z kolei różnicy czasu między paczkami – czasowi koherencji Δt₀ – związanemu z drogą wzorem:

Dyfrakcja to zjawisko fizyczne zmiany kierunku rozchodzenia się fali na krawędziach przeszkód oraz w ich pobliżu. Zjawisko zachodzi dla wszystkich wielkości przeszkód, ale wyraźnie jest obserwowane dla przeszkód o rozmiarach porównywalnych z długością fali.

Przez szczeline:

Otwór kołowy

Polaryzacja fali świetlnej: Światło jest to fala elektromagnetyczna, które polega na rozchodzeniu się pól elektrycznego i magnetycznego. Wektory tych pól są do siebie i do kierunku rozchodzenia się prostopadłe. Jest to więc fala poprzeczna. Jeżeli drgania pola elektrycznego są w jednym kierunku, czyli fala oscyluje w jednym kierunku to wówczas taka fala jest spolaryzowana, natomiast jeżeli drgania są w różnych kierunkach czyli fala oscyluje jednakowo we wszystkich kierunkach to wówczas fala jest niespolaryzowana.

Promieniowanie cieplne (termiczne) to promieniowanie, które emituje ciało mające temperaturę większą od zera bezwzględnego. Promieniowanie to jest falą elektromagnetyczną o określonym widmie częstotliwości. Przykładem promieniowania cieplnego jest podczerwień emitowana przez wszystkie ciała w naszym otoczeniu

Prawo Stefana-Boltzmanna - opisuje całkowitą moc wypromieniowywaną przez ciało doskonale czarne w danej temperaturze.

Φ - strumień energii wypromieniowywany w kierunku prostopadłym do powierzchni ciała [W / m²]

σ - stała Stefana-Boltzmanna

T - temperatura w skali Kelvina

Ciało doskonale czarne - pojęcie stosowane w fizyce dla określenia ciała pochłaniającego całkowicie padające na nie promieniowanie elektromagnetyczne, niezależnie od temperatury tego ciała, kąta padania i widma padającego promieniowania.

Prawo Wiena – prawo opisujące promieniowanie elektromagnetyczne emitowane przez ciało doskonale czarne. Ze wzrostem temperatury widmo promieniowania ciała doskonale czarnego przesuwa się w stronę fal krótszych, zgodnie ze wzorem:

gdzie:– długość fali o maksymalnej mocy promieniowania mierzona w metrach

– temperatura ciała doskonale czarnego mierzona w kelwinach,

– stała Wiena

Plancka prawo promieniowania, prawo opisujące emisję światła przez ciało doskonale czarne znajdujące się w danej temperaturze.

Zgodnie z nim emisja (i absorpcja) światła odbywa się w porcjach (kwantach) o energii hν, gdzie h - stała Plancka, ν - częstotliwość fali światła, a zależność zdolności emisyjnej ε od częstotliwości fali ν i temperatury T wyrażona jest wzorem (tzw. wzór Plancka):

gdzie c - prędkość światła, k - stała Boltzmanna.

Zjawisko fotoelektryczne: definicja, wzór Einsteina. Efekt fotoelektryczny – zjawisko fizyczne polegające na emisji elektronów z powierzchni przedmiotu (tzw. efekt zewnętrzny) lub na przeniesieniu nośników ładunku elektrycznego pomiędzy pasmami energetycznymi (tzw. efekt wewnętrzny), po naświetleniu jej promieniowaniem elektromagnetycznym (na przykład światłem widzialnym) o odpowiedniej częstotliwości, zależnej od rodzaju przedmiotu. Emitowane w ten sposób elektrony nazywa się czasem fotoelektronami. Energia kinetyczna fotoelektronów nie zależy od natężenia światła a jedynie od jego częstotliwości. Gdy oświetlanym ośrodkiem jest gaz mamy do czynienia z tzw. fotojonizacją.

Wzór Einsteina: Zaproponowane przez Alberta Einsteina wyjaśnienie zjawiska i jego opis matematyczny oparte jest na założeniu, że energia wiązki światła pochłaniana jest w postaci porcji (kwantów) równych hν

Gdzie:

h - stała Plancka;

ν - częstotliwość padającego fotonu;

W - praca wyjścia E_k - maksymalna energia kinetyczna emitowanych elektronów.

Zjawisko Comptona. (rozpraszanie komptonowskie) - zjawisko rozpraszania promieniowania X (rentgenowskiego) i promieniowania γ, czyli promieniowania elektromagnetycznego o dużej częstotliwości, na swobodnych lub słabo związanych elektronach. W wyniku którego następuje zwiększenie długości fali promieniowania. Za słabo związany uważamy przy tym elektron, którego energia wiązania w atomie, cząsteczce lub sieci krystalicznej jest znacznie niższa, niż energia padającego fotonu. Zjawisko przebiega w tym przypadku praktycznie tak samo, jak dla elektronu swobodnego.

gdzie:

– zmiana długości fali fotonu, (przesunięcie Comptona)

– kąt rozproszenia fotonu,

– stała, tzw. komptonowska długość fali elektronu^[1],

– stała Plancka,

– masa spoczynkowa elektronu,

– prędkość światła,

– długość fali rozproszonej.

Dualizm korpuskularno-falowy - cecha wielu obiektów fizycznych (np. światła czy elektronów) polegająca na tym, że w pewnych sytuacjach zachowują się one, jakby były cząstkami (korpuskułami), a w innych sytuacjach, jakby były falami.

Wg mechaniki kwantowej właściwie całą materię charakteryzuje ten dualizm. Każdej cząstce, a nawet każdemu obiektowi makroskopowemu można przypisać charakterystyczną dla niego funkcję falową, wynikającą z probabilistycznej natury materii. Z drugiej strony każde oddziaływanie falowe można opisać w kategoriach cząstek.

Dualizm korpuskularno-falowy jest ściśle związany z falami de Broglie'a. Równanie:

łączy wielkości falowe (długość fali λ) z korpuskularnymi (pęd p)

Dualizm korpuskularno-falowy jest w sformalizowanym języku mechaniki kwantowej opisany równaniem Schrödingera:

gdzie i to jednostka urojona, to stała Plancka podzielona przez 2π, H to operator różniczkowy - hamiltonian opisujący całkowitą energię analizowanej cząstki, zaś to funkcja falowa przypisana do analizowanej cząstki (funkcje falowe są funkcjami zespolonymi).

Hipoteza de Broglie`a. Fale materii, zwane też falami de Broglie'a jest to, alternatywny w stosunku do klasycznego (czyli korpuskularnego), sposób opisu obiektów materialnych. Według hipotezy de Broglie'a dualizmu korpuskularno-falowego. Każdy obiekt materialny może być opisywany na dwa sposoby: jako zbiór cząstek, albo jako fala (materii). Obserwuje się efekty potwierdzające falową naturę materii w postaci dyfrakcji cząstek elementarnych a nawet całych jąder atomowych.

Wzór pozwalający wyznaczyć długość fali materii dla cząstki o określonym pędzie ma postać

λ - długość fali cząstki, h - stała Plancka, p - pęd cząstki.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga. Fundamentalna zasada fizyki kwantowej mówiąca o tym, że iloczyn niepewności jednoczesnego poznania pewnych wielkości (zwanych kanonicznie sprzężonymi)nie może być mniejszy od stałej Plancka h podzielonej przez podwójną liczbę "Pi".

Położenie oraz pęd cząstki elementarnej nie mogą być znane jednocześnie. Przyczyną tego jest fakt, że jeśli elektron można utrzymać w spoczynku dostatecznie długo, by możliwe było określenie jego położenia, to nie można już określić jego pędu. Szczególna właściwość każdego pomiaru polega na tym, że iloczyn dwóch nieokreśloności ma zawsze co najmniej pewną minimalną wartość. Zasada ta jest konsekwencją dualizmu korpuskularno-falowego.

MECHANIKA KWANTOWA

Równanie Schrödingera jest postulatem mechaniki kwantowej określającym tzw. dynamikę. Zadaje ono (przy odpowiednio dobranym warunku początkowym) ewolucję funkcji falowej opisującej stan układu fizycznego. Najbardziej ogólna postać równania Schrödingera:

Rozwiązaniem tego równania jest zależna od czasu i współrzędnych przestrzennych funkcja falowa ψ. Mając to rozwiązanie wiemy w jakim stanie kwantowym cząstka znajduje się w dowolnym czasie i jak ów stan będzie się z czasem zmieniał.

Cząstka swobodna W nierelatywistycznej mechanice kwantowej cząstkę swobodną opisuje czasowe równanie Schrödingera

z potencjałem U(x)=0 (na cząstkę nie działa żadna siła). Rozwiązaniem tego równania jest kombinacja liniowa fal płaskich (paczką falową)

gdzie jest pędem cząstki, () a jest wektorem falowym skierowanym wzdłuż wektora jednostkowego e dla fali monochromatycznej o długości λ. Energia takiej fali jest równa

Równanie to opisuje zależność dyspersyjną energii od wektora falowego, zależność ta określa prędkość grupową paczki falowej

Dla cząstki nierelatywistycznej otrzymujemy

Tunelowy efekt, zjawisko tunelowe, zjawisko kwantowe polegające na przenikaniu cząstki przez barierę potencjału (co wyklucza fizyka klasyczna). Jedno z dopuszczalnych wyjaśnień efektu tunelowego polega na odwołaniu się do zasady nieoznaczoności: pęd i energia potencjalna cząstki nie dadzą się ściśle określić w tym samym czasie, czyli możliwe są fluktuacje energii pozwalające na pokonanie bariery potencjału.Innym, obrazowym wyjaśnieniem efektu tunelowego jest przedstawienie owej bariery jako tworu zbudowanego z cząstek wirtualnych: oddziaływanie na nie cząstki przenikającej następuje wówczas zgodnie z pewnym skończonym prawdopodobieństwem.
Efekt tunelowy wyjaśnia wiele procesów fizycznych pozornie tak różnych, jak rozpad alfa czy działanie diody tunelowej.

Zasada Pauliego. Reguła Pauliego, zwana też zakazem Pauliego, została zaproponowana przez Wolfganga Pauliego w 1925 dla wyjaśnienia zachowania się fermionów - cząstek o spinie połówkowym.

Głosi ona, że w danym stanie kwantowym może znajdować się jeden fermion - albo inaczej, że żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w dokładnie tym samym stanie kwantowym. Zakaz Pauliego odgrywa ważną rolę przy opisie własności jąder atomowych i atomów. Stanowi punkt wyjścia dla zasady rozbudowy powłok elektronowych oraz wyjaśnienia okresowości konfiguracji elektronowych atomów.

Co to jest spin - Spin jest to własny moment pędu (moment) danej cząstki w układzie, w którym cząstka spoczywa. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Spin jest pojęciem czysto kwantowym.

Rodzaje wiązań cząsteczkowych (krótki opis).W zależności od zachowania elektronów na ostatnich powłokach składowych atomów cząsteczki, możemy wyróżnić trzy rodzaje wiązań atomowych: jonowe, kowalencyjne i metaliczne.

jonowe: zewnętrzny elektron jednego atomu, słabiej z nim związany niż odpowiednie elektrony ostatniej powłoki drugiego atomu, zostaje przez ten drugi atom „przywłaszczony”; tworzą się w ten sposób dwa jony oddziaływujące ze sobą elektrostatycznie, co daje trwałe wiązanie między tymi atomami;

kowalencyjne: (rozpowszechnione w cząsteczkach organicznych) polegają na „uwspólnieniu” elektronów z zewnętrznych powłok przez oba atomy, wiążące się ze sobą;

metaliczne : wiązanie charakterystyczne dla metali – pierwiastków, które posiadają słabo związane z resztą struktury atomu tzw. elektrony walencyjne. Takie elektrony są właściwie niezwiązane z żadnym rdzeniem atomowym i mogą być traktowane jako swobodne (elektrony przewodnictwa).

Model pasmowy półprzewodnika.W kryształach o wiązaniach kowalencyjnych (german, krzem) odległość wzajemna studni atomowych jest taka, że powstałe pasma energetyczne elektronów walencyjnych nie nakładają się na siebie. Między zapełnionym pasmem zawierającym elektrony walencyjne (elektrony ostatniej powłoki) a następnym, wyższym, niezapełnionym pasmem, istnieje przerwa energetyczna (dla krzemu: ≈ 1.09eV, dla germanu: ≈ 0.72eV). Aby taki kryształ przewodził prąd elektryczny, w tym wyższym, niezapełnionym paśmie energetycznym musi znajdować się „nieco” elektronów. W temperaturze pokojowej jest ich tam naprawdę niewiele... Dlatego pierwiastki takie nazywamy półprzewodnikami.

B_C – pasmo przewodnictwa; B_V – pasmo walencyjne; B_g – przerwa energetyczna;

Energia Fermiego to maksymalna energia elektronów w T=0°K czyli w temp. 0 bezwgl elektrony będą obsadzały wszystkie stany energetyczne od 0 do E_F0. W określonej temp T>0°K poziom Fermiego jest określany jako poziom energetyczny którego prawdop. obsadzenia wynosi ½. dn=g(E)dE => Tyle elektronów zmieści się na poziomie Fermiego w temp 0°K. Powierzch. Fermiego

Kwantowy oscylator harmoniczny Oscylator harmoniczny jest układem fizycznym, który ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki.

Jest to ciało o masie m, na które działa siła proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem F = − kx. Ponieważ siła to układ opisany jest przez potencjał

Jego energia całkowita jest równa

gdzie pęd p = mv.

W mechanice kwantowej pęd p przechodzi w operator spełniający regułę komutacyjną . Wygodnie jest zdefiniować zamiast x, p dwa operatory

nazywane operatorami anihilacji i kreacji. Stąd operator położenia x to