Wydział: Budowy Maszyn i Informatyki Data: 17.10.2013

Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn

Studia: stacjonarne, inżynierskie

Semestr: 5

Specjalność: SiS

Rok Akademicki: 2013/2014 Sekcja laboratoryjna: 4

LABORATORIUM

DRGAŃ MECHANICZNYCH

ĆWICZENIE NR 2

DRGANA UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY PRZY POMIJALNIE MAŁYM TŁUMIENIU

Lp.	Nazwisko i Imię
1	Drzewiecki Michał
2	Harężlak Paweł
3	Kijak Krzysztof
4	Swakoń Łukasz
5	Dybał Łukasz
6

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było zapoznanie się ze zjawiskiem drgań mechanicznych układu o jednym stopniu swobody przy pomijalnie małym tłumieniu. Doświadczenie polegało na wyznaczeniu okresu drgań układu w trzech jego położeniach oraz zbadanie wpływu kierunku siły ciężkość na częstość drgań własnych tego układu.

Przebieg ćwiczenia:

1. Trzykrotnie zmierzenie i zanotowanie wymiaru l przedstawionego na schemacie stanowiska.

2. Zmierzenie w trzech równomiernie od siebie oddalonych miejscach wymiarów b oraz h sprężyny oraz ich zanotowanie.

3. Odpisanie masy obciążnika.

4. Obliczenie współczynnik k sztywności sprężyny.

5. Na podstawie zależności (1), (2) oraz (3) obliczenie teoretycznych wartości częstości drgań własnych badanego układu, odpowiadające trzem różnym położeniom.

6. Przeprowadzenie trzykrotnego pomiar czasu trwania 10 wahnięć masy m w każdym z rozpatrywanych położeń, przy czym max. wychylenie od położenia równowagi nie może przekroczyć 30˚.

7. Obliczenie okresów drgań układu występujących w każdym z rozpatrywanych położeń.

8. Na podstawie średnich wartości okresu drgań wyznaczenie doświadczalne wartości częstości drgań własnych badanego układu, odpowiadające poszczególnym położeniom.

10. Porównanie otrzymanych wyniki doświadczalnych z wynikami teoretycznymi.

Schemat stanowiska laboratoryjnego:

Schemat stanowiska pomiarowego w 3 różnych położeniach. Przyjmujemy że wychylenie jest małe i wynosi mniej niż 30^o. Układ z przykładu pierwszego możemy zastąpić modelem matematycznym zastępczym przedstawionym poniżej:

1

2

3

Na rysunkach przedstawiono schemat układu drgającego o jednym stopniu swobody, w trzech różnych położeniach, głównymi elementami są:

- podstawa;

- płaska sprężyna o wymiarach b x h;

- obciążnik o masie m.

Dane wejściowe:

Masa obciążnika m = 203 [g] = 0,203 [kg]

Wymiary b x h sprężyny płaskiej:

h1=0,7 [mm]	b1=18,5 [mm]
h2=0,65 [mm]	b2=18,1 [mm]
h3=0,6 [mm]	b3=18,3 [mm]
Wyniki średnie:
h=0,65 [mm]	b=18,3 [mm]

Wymiar l (długość) sprężyny płaskiej:

l₁ = 212,5 [mm]

l₂ = 212,7 [mm]

l₃ = 212,3 [mm]

Wymiar średni:

l = 212,5 [mm]

Zestawienie wyników pomiarów:

Przeprowadzony został pomiar czasu trwania 10 wahnięć masy m w każdym z rozpatrywanych położeń, przy czym max. wychylenie od położenia równowagi nie mogło przekroczyć 30˚.

Wyniki pomiarów:

-położenie „1a” :

a) 10 wahnięć w 9 sekund;

b) 10 wahnięć w 9 sekund;

c) 10 wahnięć w 9 sekund;

Średni czas 10 wahnięć to 9s

-położenie „1b” :

a) 10 wahnięć w 6,5 sekund;

b) 10 wahnięć w 6,1 sekund;

c) 10 wahnięć w 6,3 sekund;

Średni czas 10 wahnięć to 6,3s

-położenie „1c” :

a) 10 wahnięć w 5 sekund;

b) 10 wahnięć w 5,1 sekund;

c) 10 wahnięć w 5,2 sekund;

Średni czas 10 wahnięć to 5,1

Przebieg obliczeń, zestawienie wyników obliczeń:

Położenie 1a:

Okres dziesięciu wahnięć:

T_10I = 9 [s]

Okres jednego wahnięcia:

$$T_{1} = \frac{T_{10I}}{10} = \frac{9}{10} = 0,9\ \left\lbrack s \right\rbrack$$

Częstość drgań własnych układu:

$$\alpha_{1} = \frac{2\pi}{T_{1}} = \frac{2\pi}{0,9} = 6,98\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Obliczenia modelu matematycznego:

Przyjmujemy że wychylenie jest małe i wynosi mniej niż 30^o. Model z przykładu pierwszego możemy zastąpić modelem zastępczym układu przedstawionym na poniższym rysunku:

Sztywność sprężyny k wyznaczamy ze wzoru:

$$k = \frac{3EI}{l^{3}}$$

gdzie:

E=2,1•10¹¹ [Pa]

$$I = \frac{b \bullet h^{3}}{12} = \frac{0,0183 \bullet {0,00065}^{3}}{12} = 4,19 \bullet 10^{- 13}\left\lbrack m^{4} \right\rbrack$$

$$k = \frac{3EI}{l^{3}} = \frac{3 \bullet 2,1 \bullet 10^{11} \bullet 4,19 \bullet 10^{- 13}}{{0,2125}^{3}} = 27,5\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

zmierzone wymiary w milimetrach b, h oraz l zostały przeliczone dla ułatwienia obliczeń na metry:

h=0,65 [mm] = 0,00065 [m]

b=18,3 [mm] = 0,0183 [m]

l = 212,5 [mm] = 0,2125 [m]

Korzystamy z II Prawa Newtona:

J • φ = −k • φ • l² + m • g • l • sinφ ≈ −k • φ • l² + m • g • l • φ

gdzie:

J = m • l² - masowy moment bezwładności

m – masa obciążnika;

l – długość sprężyny płaskiej.

Masowy moment bezwładności:

J = m • l² = 0, 203 • (0, 2125²) = 0, 0092 [kg•m²]

po przeniesieniu wyrazów na lewą stronę otrzymamy:

J • φ + k • l² • φ − m • g • l • φ = 0

po podzieleniu równania przez masowy moment bezwładności J otrzymamy:

$$\varphi + \frac{k \bullet l^{2} - m \bullet g \bullet l}{J} \bullet \varphi = 0$$

Równanie to jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego opisującym drgania swobodne bez tłumienia układu liniowego o jednym stopniu swobody. Szukana częstość drgań własnych α_I układu w pozycji „1” jest określona przez współczynnik φ następująco:

$$\alpha_{I} = \sqrt{\frac{k \bullet l^{2} - m \bullet g \bullet l}{J}} = \sqrt{\frac{27,5 \bullet {0,2125}^{2} - 0,203 \bullet 9,81 \bullet 0,2125}{0,0092}} = 9,45\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Położenie 1b:

Okres dziesięciu wahnięć:

T_10II = 6, 3 [s]

Okres jednego wahnięcia:

$$T_{2} = \frac{T_{10II}}{10} = \frac{6,3}{10} = 0,63\ \left\lbrack s \right\rbrack$$

Częstość drgań własnych układu:

$$\alpha_{2} = \frac{2\pi}{T_{2}} = \frac{2\pi}{0,63} = 9,97\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Obliczenia modelu matematycznego:

Sztywność sprężyny k wyznaczamy ze wzoru:

$$k = \frac{3EI}{l^{3}}$$

gdzie:

E=2,1•10¹¹ [Pa]

$$I = \frac{b \bullet h^{3}}{12} = \frac{0,0183 \bullet {0,00065}^{3}}{12} = 4,19 \bullet 10^{- 13}\left\lbrack m^{4} \right\rbrack$$

$$k = \frac{3EI}{l^{3}} = \frac{3 \bullet 2,1 \bullet 10^{11} \bullet 4,19 \bullet 10^{- 13}}{{0,2125}^{3}} = 27,5\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

zmierzone wymiary w milimetrach b, h oraz l zostały przeliczone dla ułatwienia obliczeń na metry:

h=0,65 [mm] = 0,00065 [m]

b=18,3 [mm] = 0,0183 [m]

l = 212,5 [mm] = 0,2125 [m]

Korzystamy z II Prawa Newtona:

J • φ = −k • φ • l² ≈ −k • φ • l²

gdzie:

J = m • l² - masowy moment bezwładności

m – masa obciążnika;

l – długość sprężyny płaskiej.

Masowy moment bezwładności:

J = m • l² = 0, 203 • (0, 2125²) = 0, 0092 [kg•m²]

po przeniesieniu wyrazów na lewą stronę otrzymamy:

J • φ + k • l² • φ = 0

po podzieleniu równania przez masowy moment bezwładności J otrzymamy:

$$\varphi + \frac{k \bullet l^{2}}{J} \bullet \varphi = 0$$

Równanie to jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego opisującym drgania swobodne bez tłumienia układu liniowego o jednym stopniu swobody. Szukana częstość drgań własnych α_II układu w pozycji „2” jest określona przez współczynnik φ następująco:

$$\alpha_{\text{II}} = \sqrt{\frac{k \bullet l^{2}}{J}} = \sqrt{\frac{27,5 \bullet {0,2125}^{2}}{0,0092}} = 11,64\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Położenie 1c:

Okres dziesięciu wahnięć:

T_10III = 5, 1 [s]

Okres jednego wahnięcia:

$$T_{3} = \frac{T_{10III}}{10} = \frac{5,1}{10} = 0,51\ \left\lbrack s \right\rbrack$$

Częstość drgań własnych układu:

$$\alpha_{3} = \frac{2\pi}{T_{3}} = \frac{2\pi}{0,51} = 12,32\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Obliczenia modelu matematycznego:

Sztywność sprężyny k wyznaczamy ze wzoru:

$$k = \frac{3EI}{l^{3}}$$

gdzie:

E=2,1•10¹¹ [Pa]

$$I = \frac{b \bullet h^{3}}{12} = \frac{0,0183 \bullet {0,00065}^{3}}{12} = 4,19 \bullet 10^{- 13}\left\lbrack m^{4} \right\rbrack$$

$$k = \frac{3EI}{l^{3}} = \frac{3 \bullet 2,1 \bullet 10^{11} \bullet 4,19 \bullet 10^{- 13}}{{0,2125}^{3}} = 27,5\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

zmierzone wymiary w milimetrach b, h oraz l zostały przeliczone dla ułatwienia obliczeń na metry:

h=0,65 [mm] = 0,00065 [m]

b=18,3 [mm] = 0,0183 [m]

l = 212,5 [mm] = 0,2125 [m]

Korzystamy z II Prawa Newtona:

J • φ = −k • φ • l² − m • g • l • sinφ ≈ −k • φ • l² − m • g • l • φ

gdzie:

J = m • l² - masowy moment bezwładności

m – masa obciążnika;

l – długość sprężyny płaskiej.

Masowy moment bezwładności:

J = m • l² = 0, 203 • (0, 2125²) = 0, 0092 [kg•m²]

po przeniesieniu wyrazów na lewą stronę otrzymamy:

J • φ + k • l² • φ + m • g • l • φ = 0

po podzieleniu równania przez masowy moment bezwładności J otrzymamy:

$$\varphi + \frac{k \bullet l^{2} + m \bullet g \bullet l}{J} \bullet \varphi = 0$$

Równanie to jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego opisującym drgania swobodne bez tłumienia układu liniowego o jednym stopniu swobody. Szukana częstość drgań własnych α_III układu w pozycji „3” jest określona przez współczynnik φ następująco:

$$\alpha_{\text{III}} = \sqrt{\frac{k \bullet l^{2} + m \bullet g \bullet l}{J}} = \sqrt{\frac{27,5 \bullet {0,2125}^{2} + 0,203 \bullet 9,81 \bullet 0,2125}{0,0092}} = 13,48\ \left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$

Zestawienie wyników teoretycznych z doświadczalnymi:

	Częstość drgań teoretyczna $\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$	Częstość drgań doświadczalna $\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$	$$\frac{Doswiadczalne}{\text{Teoretyczne}} \bullet 100\%$$
Położenie 1	9,45	6,98	73,86%
Położenie 2	11,64	9,97	85,65%
Położenie 3	13,48	12,32	91,39%

Wnioski:

Możemy zauważyć, że im szybciej układ wykona 10 wahnięć tym bardziej częstość doświadczalna jest zbliżona do częsości teoretycznej. Najkrótszy okres drgań występował podczas gdy układ był skierowany ciężarkiem w dół co spowodowane było tym ze na sprężynę płaską nie działała siła ściskająca bądź zginająca powodująca jej tłumienie drgań a co za tym idzie opóźnienie w okresie drgań. W pozycji bocznej siła zginająca nie wpływała tak bardzo na sprężynę i tłumienie było tylko częściowe, natomiast w pozycji gdy obciążnik był u góry siła ściskająca powodowała największe tłumienie.