I. Temat problemu

Tematem problemu jest dokładne zapoznanie się ze zjawiskiem występowania indukcyjności własnej oraz wzajemnej uzwojeń, podstawowymi prawami nim rządzącymi, a także metodami wyznaczania podstawowych parametrów w obwodach, w których ów zjawisko występuje.

II. Rozpatrywane zagadnienia

1) Indukcyjność nieskończenie długiego przewodnika prostoliniowego;

2) Indukcyjność wzajemna dwóch cewek nawiniętych na wspólnym rdzeniu;

3) Indukcyjność własna oraz wzajemna dwóch cewek nawiniętych na wspólnym

rdzeniu (obwód magnetyczny zamknięty, rozgałęziony);

Ad 1) Indukcyjność nieskończenie długiego przewodnika prostoliniowego

Współczynnik indukcyjności własnej obliczamy:

$$L = \frac{\mu_{}}{4\pi S^{2}}\iint_{\text{VxVy}}^{}{\frac{1}{r(x,y)}\text{dV}_{x}\text{dV}_{y}}$$

gdzie:

$J = \frac{i}{S}$ gdzie $S = \pi{r_{0}}^{2}\ ;\ \ r = \sqrt{\rho^{2} + \left( y_{3} - x_{3} \right)^{2}}$

dV_x = dSxdlx ;   dV_y = dSydly

stąd:

$L = \frac{\mu_{}}{4\pi S^{2}\ }\int_{\text{Sx}}^{}{\int_{\text{Sy}}^{}{\int_{0}^{l}{\int_{0}^{l}\frac{\text{dx}_{3}\text{dy}_{3}}{\sqrt{\rho^{2} + \left( x_{3} - y_{3} \right)^{2}}}}}}$ (1)

l – długość przewodu;

ponieważ zachodzi dla całki nieoznaczonej:

$$\int_{}^{}{\frac{\text{dy}_{3}}{\sqrt{\rho^{2} + \left( x_{3} - y_{3} \right)^{2}}} = ln(y_{3} - x_{3} +}\sqrt{\rho^{2} + \left( x_{3} - y_{3} \right)^{2}}) + const$$

to:

$$\int_{0}^{l}\frac{\text{dy}_{3}}{\sqrt{\rho^{2} + \left( x_{3} - y_{3} \right)^{2}}} = ln\frac{l - x_{3} + \sqrt{\rho^{2} + \left( y_{3} - l \right)^{2}}}{- x_{3} + \sqrt{\rho^{2} + x_{3}^{2}}}$$

następnie wykonując drugie całkowanie po x₃ we wzorze (1), otrzymuje się:

$$\int_{0}^{l}\ln\frac{l - x_{3} + \sqrt{\rho^{2} + \left( x_{3} - l \right)^{2}}}{- x_{3} + \sqrt{\rho^{2} + {x_{3}}^{2}}}dx_{3} = 2lln\frac{l + \sqrt{\rho^{2} + l^{2}}}{\rho} + 2\sqrt{\rho^{2} + l^{2}} + 2\rho$$

przyjmujemy, iż l ≪ ρ

$2lln\left( \frac{l + \sqrt{\rho^{2} + l^{2}}}{\rho} \right) - 2\sqrt{\rho^{2} + l^{2}} + 2\rho \cong 2d\ ln(\frac{2d}{\rho} - l)$

zatem:

$$L = \frac{\mu_{0}}{4\pi S^{2}\ }\int_{\text{Sx}}^{}{\int_{\text{Sy}}^{}{(ln}}\frac{2l}{\rho} - 1)dS_{x}dS_{y}$$

Ostatnie dwa całkowania (zapisane wyżej) po powierzchniach przekroju przewodu – po obszarach kół z uwagi na tożsamości:

$$\int_{}^{}{\rho^{n}\ln\left( \rho \right)d\rho = \frac{\rho^{n + 1}}{n + 1}\ln\left( \rho \right) - \frac{\rho^{n + 1}}{\left( n + 1 \right)^{2}} + const}$$

oraz:

∫_S(…)dS = 2π∫₀^r₀(…)ρdρ

Prowadzą do zależności:

$$L = \frac{\text{μl}}{2\pi\ }\left( \ln\frac{2l}{r_{0}} - \frac{3}{4} \right)$$

dla dużych długości przewodu (l>>r0) można przyjąć uproszczenia w postaci:

$$ln2 - 0,75 \approx - 0,0569 \ll ln(\frac{l}{r_{0}})$$

$$L \cong \frac{\mu_{0}l}{2\pi\ }\ln\frac{l}{r_{0}}$$

Ad 2) Indukcyjność wzajemna dwóch cewek nawiniętych na wspólnym rdzeniu

W celu uproszczenia dalszych rozważań wyprowadźmy podstawowe wielkości dla sprzężenia dwóch cewek bez rdzenia.

Prąd przepływa przez element 1 Prąd przepływa przez element 2

Φ₁₁ = Φ_s1 + Φ_g1

Φ_s1 – strumień rozproszenia cewki pierwszej;

Φ_g1 – strumień główny cewki pierwszej;

Φ₁₁ – całkowity strumień magnetyczny cewki pierwszej;

Analogicznie dla przypadku drugiego.

Indukcyjności własne:

$L_{1} = \frac{\Psi_{11}}{i_{1}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ L}_{2} = \frac{\Psi_{22}}{i_{2}}$

Indukcyjności wzajemne:

$M_{12} = \frac{\Psi_{12}}{i1}\text{\ \ \ \ \ M}_{21} = \frac{\Psi_{21}}{i2}$

Stosunek strumienia głównego do strumienia całkowitego nazywamy współczynnikiem sprzężenia elementu pierwszego z drugim (i na odwrót):

$k_{1} = \frac{\Phi_{g1}}{\Phi_{11}}\text{\ \ \ \ \ \ }k_{2} = \frac{\Phi_{g2}}{\Phi_{22}}$

Współczynnikiem sprzężenia obu elementów określamy jako średnią geometryczną współczynników k₁ oraz k₂:

$k = \sqrt{k_{1}k_{2}}$

Mnożąc przez siebie indukcyjności własne L₁ oraz L₂ w rezultacie otrzymujemy:

$M = k\sqrt{L_{1}L_{2}}$

Przejdźmy teraz do układu dwóch cewek nawiniętych na wspólnym rdzeniu

Jeżeli cewki znajdują się w ośrodku o takiej samej przenikalności magnetycznej, to:

M₁₂ = M₂₁ = M

$$M = k\sqrt{L_{1}L_{2}}$$

Ad 3) Indukcyjność własna oraz wzajemna dwóch cewek nawiniętych na wspólnym

rdzeniu (obwód magnetyczny zamknięty, rozgałęziony);

Dane:

Z₁ = 100 l₁ = 0,3[m]

Z₂ = 50 l₂ = 0,3[m]

I₁ = 1[A] l₃ = 0,1[m]

I₂ = 3[A]

μ = 4π*10^-7[H/m]

S = 25[cm²] = 25*10^-4[m]

Φ₁ = Φ₂ + Φ₃

$L_{1} = \frac{Z_{1}\Phi_{1}}{i_{1}}$ $M_{12} = \frac{z_{2}\Phi_{1}}{i_{1}}\ $

$L_{2} = \frac{Z_{2}\Phi_{2}}{i_{2}}$ $M_{21} = \frac{z_{1}\Phi_{2}}{i_{2}}\ $

Schemat zastępczy obwodu magnetycznego

Zakładamy, że prądy nie powodują nasycenia materiału ferromagnetycznego (charakterystyka jest liniowa).

$$Rm = \frac{l}{\text{μS}}$$

$\text{Rm}_{1} = \frac{l_{1}}{\text{μS}} = 955 \bullet 10^{5}\left\lbrack \frac{1}{H} \right\rbrack$ θ₁ = I₁ • Z₁ = 100[A]

$\text{Rm}_{2} = \frac{l_{3}}{\text{μS}} = 955 \bullet 10^{5}\left\lbrack \frac{1}{H} \right\rbrack$ θ₂ = I₂ • Z₂ = 150[A]

$\text{Rm}_{3} = \frac{l_{2}}{\text{μS}} = 318 \bullet 10^{5}\left\lbrack \frac{1}{H} \right\rbrack$

Φ₁ = Φ₂ + Φ₃

θ₁ = Rm₁Φ₁ + Rm₃Φ₃

θ₂ = Rm₂Φ₂ + Rm₃Φ₃

$$\text{Vm}\left( \frac{1}{\text{Rm}_{1}} + \frac{1}{\text{Rm}_{2}} + \frac{1}{\text{Rm}_{3}} \right) = \frac{\theta_{1}}{\text{Rm}_{1}} - \frac{\theta_{2}}{\text{Rm}_{2}}$$

Vm5, 24 • 10⁻⁸ = −5, 24 • 10⁻⁷

Vm = −10

$$\Phi_{1} = \frac{\Theta_{1} - Vm}{\text{Rm}_{1}} = \frac{110}{955 \bullet 10^{5}} = 1,15 \bullet 10^{- 6}\lbrack Wb\rbrack$$

$$\Phi_{2} = \frac{Vm + \Theta_{2}}{\text{Rm}_{2}} = \frac{140}{955 \bullet 10^{5}} = 1,47 \bullet 10^{- 6}\lbrack Wb\rbrack$$

$L_{1} = \frac{100 \bullet 1,15 \bullet 10^{- 6}}{1} = 115\lbrack\mu H\rbrack$

$L_{2} = \frac{50 \bullet 1,47 \bullet 10^{- 6}}{3} = 24,5\lbrack\mu H\rbrack$

$M_{12} = \frac{50 \bullet 1,15 \bullet 10^{- 6}}{1} = 5\lbrack\mu H\rbrack$

$M_{21} = \frac{100 \bullet 1,47 \bullet 10^{- 6}}{3} = 5\lbrack\mu H\rbrack$

M₁₂ = M₂₁

$M = k\sqrt{L_{1}L_{2}}\ $

$k = \frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}} = 0,94$

Literatura:

[1] Baron Bernard, Spałek Dariusz, „Wybrane problemy z teorii pola elektromagnetycznego”,

Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2006

[2] Szulkin Paweł, Pogorzelski Seweryn, „Podstawy teorii pola elektromagnetycznego”,

Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1964

[3] Bolkowski Stanisław, „Elektrotechnika”, WSiP, Warszawa 2005

[4] Bolkowski Stanisław, „Elektrotechnika teoretyczna Tom 1”, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,

Warszawa 1982

[5] Janeczek Andrzej, artykuł w Elektronika dla wszystkich, „Jak określić indukcyjność cewek, część 2”,

numer: Czerwiec 2003