Matematyka w Fizyce, zadania, zestaw 4.
1. Zbadać przebieg zmienności funkcji (zad. 2-6) w następujących krokach, określając:
- dziedzinÄ™ funkcji
- zakres wartości funkcji
- miejsca zerowe funkcji
- monotoniczność
- wartości ekstremalne; minimum, maksimum
- punkty przegięcia
- wypukłość i wklęsłość
- zachowania funkcji na granicach dziedziny, asymptoty
Sporządzić tabelkę przebiegu funkcji pomiędzy miejscami zerowymi, przedstawić graficzną
ilustracjÄ™ przebiegu funkcji.
2. Zbadać przebieg funkcji: y = x2 − 3x − 4
3. Zbadać przebieg funkcji: y = x3
4. Zbadać przebieg funkcji: y = x3 + 3x2 − 9x − 2 (wskazówka: pierwiastkiem może być x=±2)
5. Zbadać przebieg funkcji: $y = \frac{2x - 3}{x + 1}$
6. Zbadać przebieg funkcji: y = sin2x + cosx
7. Jakie wymiary powinno mieć naczynie kształtu otwartego walca obrotowego o danej pojemności V
gdy przy danej grubości ścianek a chcemy zużyć jak najmniej materiału ?
8. Statek płynący na południe z prędkością 10 węzłów przecina w punkcie A kurs drugiego statku,
który płynie na wschód z prędkością 15 węzłów. Gdy pierwszy statek był w punkcie A, drugi
znajdował się w odległości 30 mil morskich przed tym punktem. W którym momencie odległość
między statkami jest najmniejsza ? (1 węzeł = 1 mila morska/godz = 1.852 km/h)
9. W kulę o promieniu R jest wpisany prostopadłościan, którego podstawa ma powierzchnię S.
Obliczyć wymiary prostopadłościanu o największej objętości.
10. W stożek obrotowy o promieniu podstawy R i wysokości H jest wpisany prostopadłościan.
Stosunek boków podstawy (np. 2x i 4x) wynosi 2. Obliczyć wymiary prostopadłościanu o
maksymalnej objętośći.
11. Działo, którego lufa jest nachylona do płaszczyzny poziomej pod kątem α, wystrzeliwuje pocisk z
prędkością początkową ϑ. Znaleźć kąt α maksymalnego zasięgu wystrzału.
12. Z trzech desek o szerokości a, a, i 2a należy zrobić żłób o największej objętości. Podać formę
przekroju poprzecznego tego żłobu.