Zestaw 2 zad 5

Oki, no to zacznijmy od a)
Aby coś było grupą musi spełniać takie warunki, że 
- jest zamknięte na działanie, 
- łączne
- istnieje element neutralny,
- dla dowolnego elementu istnieje element przeciwny.

Wypiszmy sobie te izometrie z D3.
To jest oczywiście identyczność: I, poza tym mamy obroty: Sk o odpowiednio 2kπn, dla k=1,2,...,n.
Na koniec symetrie. Tutaj symetrii też jest zawsze n. W przypadku gdy n jest nieparzyste, wszystkie symetrie są względem symetralnych odcinków, a w przypadku gdy n jest parzyste, połowa jest symetralnymi odcinków, a druga połowa dwusiecznymi kątów. (Jeśli nie wiadomo do końca o co chodzi z przypadkami, to ładnie różnicę widać na trójkącie równobocznym oraz kwadracie.)
Teraz zauważamy sobie, że mamy zamkniętość ze względu na składanie odwzorowań:
oczywiście złożenie dwóch obrotów jest obrotem. Złożenie symetrii z obrotem też da się ładnie pokazać, że jest symetrią. Podobnie jak złożenie dwóch symetrii jest obrotem.
Łączność wynika wprost z łączności składania odwzorowań. Elementem neutralnym jest oczywiście identyczność (obrót o kąt 0).
Elementem odwrotnym do obrotu o 2kπn, jest oczywiście obrót o wartość 2(n−k)πn,
a elementem odwrotnym do symetrii jest ta sama symetria.
b) Dlaczego to jest podgrupa Sn?
A no dlatego, że każdy z elementów tej grupy jest pewną permutacją zbioru wierzchołków. Czyli możemy taką izometrię sobie rozumieć w taki sposób, że mamy ustalony ten n-kąt foremny z pewnymi oznaczeniami wierzchołków i nasza izometria po prostu je nam zamienia.
c) Nie jest to grupa cykliczna. Dlaczego? No bo weźmy sobie jakiś dowolny obrót, to dostaniemy tylko co najwyżej wszystkie obroty. Nie otrzymamy w ten sposób symetrii. Czyli obrót nie może być generatorem tej grupy.
Analogicznie, jak weźmiemy sobie jakąś symetrię, to dostaniemy tylko tą symetrię oraz identyczność, podczas składania tego kilkakrotnie. A jako, że nie mamy innych elementów w grupie to nie może być w niej generatora, czyli grupa nie jest cykliczna.

Oczywiście to jest szkic rozwiązania.
Tak formalnie, to ciężko jest pokazać, że np. Dn ma dokładnie 2n elementów. No i ogólnie trochę tutaj pomachałem rękami, ale raczej chciałem rozjaśnić niż podać gotowe na tacy. 

Aby pokazać, że zbiór Dn ma 2n elementów wystarczy zauważyć, żę każdą symetrię można zapisać jako złożenie b∘a , gdzie b to symetria (np. względem osi symetrii przechodzącej przez pierwszy odcinek), a to obrót o kąt 2kπn . Kolejna symetria to b∘a2, aż w końcu dojdziemy do b∘an−1. Zatem otrzymaliśmy zbiór zawierający wszystkie symetrie - jest ich n, oprócz tego mamy zbiór obrotów, który ma też nelementów (wraz z identycznością), czyli w sumie mamy 2n elementów.

Masz częściową rację.
Założyłeś, że elementy tej grupy to tylko obroty i symetrie. Nie wiem oczywiście jak była ona u Was definiowana, standardowo jest to grupa izometrii wielokąta foremnego. Wtedy dowód jest "ciut trudniejszy" i możesz go znaleźć np. tutaj: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/dihedral.pdf