POLITECHNIKA WROCŁAWSKA ZAKŁAD AUTOMATYKI i STEROWANIA w ENERGETYCE	Sprawozdanie wykonał:	Wydział: Elektryczny Rok studiów: 3 Rok Akademicki : 2012/2013 Termin:
LABORATORIUM MODELOWANIA CYFROWEGO
Data wykonania ćwiczenia: 2012	Nr ćwiczenia: 1 Temat: Jednofazowe obwody RLC
Data oddania sprawozdania: 2012
Prowadzący:

Spis treści

1. Cel ćwiczenia ……………………………………………………………………………2

2. Wyprowadzenie wzorów i obliczenia………………………………………………...2

1. stan normalny…………………………………………………………………….2

2. stan rezonansu…………………………………………………………………...3

1. Wykresy…………………………………………………………………………………...5

2. Wnioski……………………………………………………………………………………6

I. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zagadnieniem rezonansu w szeregowym obwodzie RLC. W przypadku szeregowego rezonansu RLC mówimy o rezonansie napięć.

II. Wyprowadzenie wzorów i obliczenia

Rysunek Jednofazowy szeregowy układ RLC.

1. normalny stan pracy

Gdy do szeregowego obwodu RLC przyłożymy napięcie U o pulsacji ω=2πf, słuszne są zależności:

Napięcie na zaciskach dwójnika można opisać zależnością:

X_L = ω • L

$X_{C} = \frac{1}{\omega \bullet C}$

Parametry obwodu:

• R = 6 Ω

• L = 60 mH

• C = 60 μF

• $f = 50\ Hz,\ \omega = 2 \bullet \pi \bullet f = 2\pi \bullet 50 = 314,16\frac{\text{rad}}{s}$

• $u\left( t \right) = 230\sqrt{2} \bullet sin\left( 314,16 \bullet t \right)$

Obliczenia:

$$= \frac{}{} = \frac{230}{5 + j\left( 314,16 \bullet 60 \bullet 10^{- 3} - \frac{1}{314,16 \bullet 60 \bullet 10^{- 6}} \right)} = \left( 1,14 + j6,52 \right)\ \lbrack A\rbrack = 6,62e^{j\frac{4}{9}\pi}\lbrack\ A\rbrack$$

$i\left( t \right) = 6,62\sqrt{2} \bullet sin\left( 314,16 \bullet t + \frac{4}{9}\pi \right)$ [A]

$$= R \bullet = 6 \bullet \left( 1,14 + j6,52 \right) = \left( 6,84 + j39,12 \right)\lbrack V\rbrack = 39,71e^{j\frac{4}{9}\pi}\lbrack V\rbrack$$

$$u_{R}\left( t \right) = 39,71\sqrt{2} \bullet sin\left( 314,16 \bullet t + \frac{4}{9}\pi \right)\lbrack V\rbrack$$

$$= jX_{L} \bullet = j18,85 \bullet \left( 1,14 + j6,52 \right) = \left( - 122,9 + j21,49 \right)\left\lbrack V \right\rbrack = 124,77e^{j\frac{17}{18}\pi}\lbrack V\rbrack$$

$$u_{L}\left( t \right) = 124,77\sqrt{2} \bullet \sin\left( 314,16 \bullet t + \frac{17}{18}\pi \right)\lbrack V\rbrack$$

$$= - jX_{C} \bullet = - j53,05 \bullet \left( 1,14 + j6,52 \right) = \left( 345,89 - j60,48 \right)\left\lbrack V \right\rbrack = 351,13e^{- j\frac{62}{1125}\pi}\lbrack V\rbrack$$

$$u_{C}\left( t \right) = 351,13\sqrt{2} \bullet \sin\left( 314,16 \bullet t - \frac{62}{1125}\pi \right)\lbrack V\rbrack$$

1. stan rezonansu

Gdy do szeregowego obwodu RLC przyłożymy napięcie U o pulsacji rezonansowej ω_r=2πf_r, słuszne są zależności:

Napięcie na zaciskach dwójnika można opisać zależnością:

X_L = ω_r • L

$X_{C} = \frac{1}{\omega_{r} \bullet C}$

Zgodnie z definicją, rezonans napięć wystąpi wówczas, gdy X=0, tzn

Czyli:

$$f_{r} = \frac{1}{2\pi \bullet \sqrt{\text{LC}}}$$

W stanie rezonansu:

Parametry obwodu:

• R = 6 Ω

• L = 60 mH

• C = 60 μF

$$f_{r} = \frac{1}{2\pi \bullet \sqrt{60 \bullet 10^{- 3} \bullet 60 \bullet 10^{- 6}}} = 83,88\lbrack Hz\rbrack$$

$$\omega_{r} = 2\pi \bullet f_{r} = 527\lbrack\frac{\text{rad}}{s}\rbrack$$

X_L = ω_r • L = 527 • 60 • 10⁻³ = 31, 62[Ω]

$$X_{C} = \frac{1}{\omega_{r} \bullet C} = \frac{1}{527 \bullet 60 \bullet 10^{- 6}} = 31,62\lbrack\Omega\rbrack$$

=6 + j(31,62−31,62) = 6[Ω]

$$u\left( t \right) = 230\sqrt{2} \bullet sin\left( 527 \bullet t \right)$$

$$= \frac{}{} = \frac{230}{6} = 38,3\lbrack A\rbrack$$

$i\left( t \right) = 38,3\sqrt{2} \bullet \sin\left( 527 \bullet t \right)$[A]

=R • =6 • 38, 3 = 229, 8[V]

$$u_{R}\left( t \right) = 229,8\sqrt{2} \bullet \sin{\left( 527 \bullet t \right)\lbrack V\rbrack}$$

$$= jX_{L} \bullet = j31,62 \bullet 38,3 = j1211,05\left\lbrack V \right\rbrack = 1211,05e^{j\frac{\pi}{2}}\lbrack V\rbrack$$

$$u_{L}\left( t \right) = 1211,05\sqrt{2} \bullet \sin\left( 527 \bullet t + \frac{\pi}{2} \right)\left\lbrack V \right\rbrack$$

$$= - jX_{C} \bullet = - j31,62 \bullet 38,3 = - j1211,05\left\lbrack V \right\rbrack = 1211,05e^{- j\frac{\pi}{2}}\left\lbrack V \right\rbrack$$

$$u_{C}\left( t \right) = 1211,05\sqrt{2} \bullet \sin\left( 527 \bullet t - \frac{\pi}{2} \right)\left\lbrack V \right\rbrack$$

III. Wykresy

Rysunek Wykres u(t) w szeregowym układzie RLC w stanie normalnej pracy. Czerwony - napięcie na rezystorze, niebieski - napięcie na kondensatorze, zielony - napięcie na cewce.

Rysunek Wykres u(t) w szeregowym układzie RLC w stanie rezonansu. Czerwony - napięcie na rezystorze, niebieski - napięcie na kondensatorze, zielony - napięcie na cewce.

IV. Wnioski

• Na podstawie wykresów można stwierdzić, że wartość częstotliwości rezonansowej wynoszącej 83,88[Hz] została poprawnie obliczona. W przypadku obwodu RLC połączonego szeregowo zachodzi rezonans napięć, wartości maksymalne odczytane z wykresu dla napięcia na rezystorze, napięcia na cewce oraz napięcia na kondensatorze wynoszą: U_R=66,6V , U_L=179,68V oraz U_C=499,1V. Wartości obliczone wynoszą: U_R=56,2V , U_L=176,5V oraz U_C=496,6V.

• Na wykresie rezonansu szeregowego napięcia na L i C oznaczono kolorem odpowiednio zielonym oraz niebieskim.

• Występowanie rezonansu szeregowego jest niepożądanym zjawiskiem, może ono prowadzić do przepięć co widać na wykresie (Rys. 3), przy zasilaniu sieciowym 230V i rezonansie szeregowym wartość napięcia na elementach L oraz C wynosi ok. 1,7kV co może prowadzić do przebicia kondensatora.