R.37. Teoria fal. Fale poprzeczne.

1. Fale poprzeczne mają kierunek drgań prostopadły do kierunku rozchodzenia się (np. fala na sznurze, fale elektromagnetyczne). W falach podłużnych drgania odbywają się w tym samym kierunku, w którym następuje ich propagacja (np. fale dźwiękowe). W przypadku fal rozchodzących się na wodzie mamy do czynienia z superpozycją drgań poprzecznych i podłużnych.

Fale poprzeczne mogą być spolaryzowane, co oznacza, że kierunek drgań jest w pewien sposób uporządkowany, na przykład odbywają się one w jednej płaszczyźnie (polaryzacja liniowa). Fale radiowe generowane przez anteny są spolaryzowane. Większość źródeł fal świetlnych generuje fale niespolaryzowane, w których drgania w różnych kierunkach się nakładają.

1. Impuls falowy powstaje gdy źródłem jest jednorazowe zaburzenie w ośrodku: na przykład gdy wrzucimy kamień do wody lub gdy jednorazowo odchylimy koniec napiętej liny (Rys. 2.).

Rys. 2. Przykład fali poprzecznej

1. Równanie falowe to matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące ruch falowy.

Ogólną postacią równania falowego jest:

gdzie oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. W równaniu funkcja jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie w chwili . Zadane są początkowe położenie fali oraz początkowy impuls . Fizycznie stała oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C). Symbol to Laplasjan.

1. Równanie fali: $x = Asin\lbrack\frac{2P}{T} \times \left( t - \frac{r}{V} \right)\rbrack$

gdzie:

A [m] – amplituda fali T [s] – okres drgań t [s] – czas r [m]– odległość od źródła fali

v [m/s] – prędkość rozchodzenia się fali

Równanie falowe opisuje proces rozprzestrzeniania się zaburzeń w pewnym ośrodku ze skończoną prędkością.

$$\frac{\partial^{2}\psi\left( x,t \right)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}}\frac{\partial\psi\left( x,t \right)}{\partial t^{2}}$$

gdzie:

ψ(x,t) - funkcja falowa opisująca zależność zaburzenia od zmiennych przestrzeni czasu

v - prędkość przemieszczania się zaburzenia.

1. Polaryzacja – właściwość fali poprzecznej polegająca na zmianach kierunku oscylacji rozchodzącego się zaburzenia w określony sposób.

W poprzecznej fali niespolaryzowanej oscylacje rozchodzącego się zaburzenia zachodzą z jednakową amplitudą we wszystkich kierunkach prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali. Fala niespolaryzowana może być traktowana jako złożenie bardzo wielu fal spolaryzowanych w różny sposób.

Polaryzacja występuje tylko dla takich rodzajów fal i takich warunków, w których oscylacje mogą odbywać się w różnych kierunkach prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali. W innych przypadkach rozważanie zjawiska polaryzacji nie ma sensu - dotyczy to na przykład drgań rozchodzących się na powierzchni membrany i na granicach ośrodków o różnej gęstości (między innymi fale morskie). Fale dźwiękowe również nie podlegają zjawisku polaryzacji, gdyż są falami podłużnymi.

1. Fala harmoniczna powstaje gdy źródło wykonuje drgania harmoniczne: na przykład gdy cyklicznie wychylamy koniec napiętej liny (Rys. 3.)

Rys. 3. Przykład fali poprzecznej harmonicznej

Najprostszym rodzajem fali jest fala harmoniczna biegnąca, zwana też falą sinusoidalną, rozchodząca się w ośrodku jednowymiarowym (np. lince).

Falę harmoniczną opisuje równanie fali biegnącej, które jest rozwiązaniem równania falowego w jednym wymiarze (wzdłuż np. osi z). Wielkością drgającą jest pewna wielkość fizyczna y (np. wysokość nad poziomem morza, gęstość, natężenie pola elektrycznego). Dla fali o okresie T i długości λ rozwiązanie równania falowego można przedstawić w postaci:

co można zapisać prościej:

gdzie:

A – amplituda fali,

T – okres drgań,

λ – długość fali,

ω – częstość kołowa zwana krótko częstością lub pulsacją fali, ,

k – liczba falowa,

φ – faza początkowa

Argument funkcji sinus   to faza fali.

Punkt o danej fazie porusza się z prędkością, zwaną prędkością fazową:

Jeżeli amplituda fali zmienia się, to zmiana amplitudy może rozchodzić się z inną prędkością niż prędkość fazowa. Prędkość rozchodzenia zmiany amplitudy nazywana jest prędkością grupową fali v_g określona jest wzorem:

Z prędkością zmiany amplitudy (czoła fali) poruszają się modulacje fali, oznacza to że informacje przenoszone przez falę rozchodzą się z prędkością grupową. Jeżeli prędkość fazowa nie zależy od liczby falowej fali, prędkość fazowa i grupowa są sobie równe a falę taką określa się jako niedyspersyjną, w przeciwnym przypadku fala ulega zjawiskom z tym związanym zwanymi dyspersją.

W ośrodkach wielowymiarowych kształt czoła fali zależy od warunków jej wytworzenia. Może być np. płaszczyzną (fala płaska), kołem (fala kolista) powierzchnią kuli (fala kulista) a nawet stożkiem (gdy źródło fali porusza się z prędkością większą od prędkości grupowej).

1. Rozchodzenie się fal w przestrzeni

Rozważmy rozchodzenie się impulsu falowego (fali) wzdłuż długiego naprężonego sznura w kierunku x jak na Rysunku 2.

Przyjmijmy, że w chwili t = 0 kształt sznura jest opisany funkcją

y = f(x) (1)

gdzie y jest poprzecznym wychyleniem sznura w jego punkcie x.

W czasie t impuls falowy (fala) poruszający się z prędkością v przesuwa się o odcinek równy vt wzdłuż sznura to jest wzdłuż osi x, bez zmiany kształtu. Zatem po czasie t równanie opisujące kształt sznura ma postać

y = f(x - vt) (2)

Równanie (2) opisuje falę biegnącą w kierunku dodatnim osi x (w prawo) o kształcie danym właśnie przez funkcję f(x,t). Zauważmy, że kształt jest taki sam w chwili t w punkcie x = vt jaki był w chwili

t = 0 w punkcie x = 0 (argument funkcji ma tę samą wartość równą zeru). Zatem równanie opisujące falę biegnącą w kierunku ujemnym osi x (w lewo) będzie miało postać

y = f(x + vt) (3)

Zauważmy, że dla danego t mamy równanie f(x) opisujące kształt sznura w danej chwili, a dla danego miejsca sznura x mamy równanie f(t) opisujące poprzeczne drgania cząstki sznura w punkcie x.

Z równań (1) i (2) wynika, że dowolna funkcja zmiennej x - vt lub x + vt opisuje falę biegnącą odpowiednio w prawo lub lewo, jednak do opisania rzeczywistej sytuacji musimy dokładnie określić postać funkcji f Dlatego teraz zajmiemy się falą o szczególnym kształcie. Rozważać będziemy poprzeczną falę harmoniczną postaci

$y = Asin\frac{2\pi}{\lambda}(x - vt)$ (4)

która przedstawia przenoszenie się drgań harmonicznych w kierunku x, i która pokazana jest na rysunku (4). Stała A (opisująca maksymalne wychylenie) jest amplitudą fali,

a wyrażenie $\frac{2\pi}{\lambda}(x - vt)$przedstawia fazę.

Zauważmy, że wartość wychylenia poprzecznego y dana wzorem (4) jest taka sama w punktach o współrzędnych x, x+λ, x + 2λ, x + 3λ, itd. Oznacza to, że te punkty mają taką samą fazę.

Wielkość λ nazywamy długością fali Reprezentuje ona odległość między punktami o tej samej fazie na przykład między dwoma grzbietami (maksimami) tak jak na Rysunku 4.

Rys. 4. Długość fali λ

Czas, w którym fala przebiega odległość równą λ nazywamy okresem T

$T = \frac{\lambda}{v}$ (5)

Stąd $\ y = Asin2\pi\left( \frac{x}{\lambda} - \frac{t}{T} \right)$ (6)

Widzimy, że w danej chwili t taka sama faza jest w punktach x, x + X, x + 2X, itd., oraz, że w danym miejscu x faza powtarza się w chwilach t, t + T, t + 2T, itd. Często równanie fali bieżącej (13.6) wyraża się poprzez dwie inne wielkości: liczbę falową k ^ i częstość kołową co ^ (lub częstotliwość/^), które są zdefiniowane jako

$k = \frac{2\pi}{\lambda}\text{\ oraz\ }\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (7)

co po podstawieniu do równania (6) daje

y = Asin2π(kx−ωt) (8)

Prędkość fali v możemy wyrazić jako

$$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f = \frac{\omega}{k}$$

1. Prędkość rozchodzenia się fal, równanie falowe

Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali v to śledzimy jak przemieszcza się w czasie wybrana część fali czyli określona faza. Dlatego prędkość fali określa się jako prędkość fazową. Dla wybranej fazy fali

y = f(x-vt) poruszającej się w prawo sprowadza się to do warunku

x — vt = const. (10)

Różniczkując to równanie względem czasu otrzymujemy

$\frac{\text{dx}}{\text{dt}} - v = 0$ (11)

czyli $\frac{\text{dx}}{\text{dt}} = v$ (12)

Tak wyraża się prędkość fazowa fali.

W przypadku gdy zaburzenie falowe jest złożeniem fal sinusoidalnych o różnych częstotliwościach to prędkość przenoszenia energii (prędkość fali modulowanej) może być inna niż prędkości fal składowych. Taką prędkość nazywa się prędkością grupową.

W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, że dowolna funkcja f(x - vt) lub fx + vt) opisuje falę biegnącą odpowiednio w prawo lub lewo wzdłuż osi x i jako przykład rozważaliśmy poprzeczną falę harmoniczną. Teraz poznamy, równanie ruchu falowego, które stosuje się do wszystkich rodzajów fal: zarówno fal mechanicznych takich jak fale dźwiękowe, fale na wodzie, fale w strunach, w sprężynach, jak i do fal elektromagnetycznych takich jak na przykład światło.

Równanie ruchu falowego możemy wyprowadzić wychodząc od ogólnego równania fali y = f (x - vt) . W tym celu obliczamy przyspieszenie poprzecznych drgań punktu ośrodka o współrzędnej x, to znaczy obliczamy drugą pochodną y względem czasu.

$\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} = f"(x - vt)v^{2}\text{\ \ \ \ }$ (13)

gdzie v² jest pochodną funkcji wewnętrznej. (Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cząstkowe, oznaczane symbolem ∂, bo wychylenie y jest funkcją dwóch zmiennych y = f (x,t)).

Równocześnie

$\frac{\partial^{2}Y}{\partial x^{2}} = f"(x - vt)\text{\ \ \ \ }$ (14)

Łącząc oba powyższe równania otrzymujemy równanie różniczkowe ruchu falowego

$\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}$ (15)

To równanie spełnia każda funkcja f(x - vt) jak również f(x + vt).

Prędkość v rozchodzenia się fali jest niezależna od amplitudy i częstotliwości, natomiast w przypadku fal mechanicznych zależy od sprężystości ośrodka i jego bezwładności. Na przykład prędkość fali harmonicznej rozchodzącej się wzdłuż naprężonego sznura (struny) jest dana wyrażeniem

$v = \sqrt{\frac{F}{u}}$ (16)

gdzie sprężystość sznura jest określona poprzez napinającą go siłę F (im większa siła tym szybciej wychylone elementy sznura wracają do położenia równowagi), a jego bezwładność zależy od masy µ przypadającej na jednostkę długości sznura.

Równanie ruchu falowego można wyprowadzić bezpośrednio z zasad dynamiki Newtona obliczając prędkość fal w naprężonym sznurze.