PROJEKT Z HYDROGEOLOGII

Określenie współczynnika filtracji i współczynnika przepuszczalności na podstawie wzorów empirycznych

Rybka Piotr

Wiśniowicz Michał

II rok WWNiG – GiG

Studia stacjonarne

I. Zadania, dane projektowe, przedstawienie metodyki obliczeń projektowych

1.Obliczyć współczynnik porowatości próbki.

2. W oparciu o wyniki analizy sitowej wykreślić krzywe uziarnienia na załączonym formularzu.

3. Odczytać z wykresu średnice miarodajne d₁₀, d₂₀, d₅₀, d₆₀, d_e i wskaźnik u.

4. Sprawdzić kryteria stosowalności poszczególnych wzorów empirycznych w zależności od wyników analizy sitowej (tj. punktów charakterystycznych krzywych uziarnienia)

5. W oparciu o podane wzory empiryczne obliczyć współczynnik filtracji K

6. Dokonać przeliczenia współczynnika filtracji na współczynnik przepuszczalności w Darcy.

7. Obliczyć błąd bezwzględny współczynnika przepuszczalności obliczonego z danych wzorów empirycznych w stosunku do wzoru Terzaghi'ego.

Dane projektowe:

1.Ciężar próbki suchej P₁= 1000 [g]

2.Ciężar próbki wilgotnej P₂= 1017 [g]

3.Objętość próbki V= 524 [cm³]

4.Współczynnik lepkości dynamicznej w temp. 10⁰C η= 0,0131 [P]

5. Wyniki analizy sitowej dla próbki nr.57

Wymiar [mm]	Ciężar pozostałości na sitach [g]
10<d<25	-
5,0	2,4
2,0	12,6
1,0	25,2
0,5	93,8
0,25	265,1
0,10	402,9
0,071	153,5
d<0,071	44,1
Razem	999,6

1. Metodyka wyznaczenia parametrów hydrogeologicznych skał. Wyznaczenie współczynnika porowatości całkowitej w [%]

1. Pomiar objętości V : próbkę izoluje się parafiną nieprzedostającą się do porów, następnie zanurza się ją w wodzie destylowanej znajdującej się w menzurce. Podniesienie się zwierciadła wody wyraża całkowitą objętość próbki pod odjęciu objętości parafiny.

2. Wyznaczenie ciężaru próbki suchej P₁: próbkę pozbawia się parafiny i suszy w temp. 105^oC – 110^oC aż do ustalenia się temperatury, a następnie waży się próbkę .

3. Wyznaczenie cięższej, wilgotnej próbki P₂ : próbkę zanurza się stopniowo w wodzie destylowanej a następnie waży, zanurzenie trwa aż do ustalenia się ciężaru P₂.

4. Wyznaczenie porowatości całkowitej : wzrostu ciężaru P₂-P₁ odpowiada obj. porów V_p

$$n = \frac{V - V_{z}}{V}\ \bullet 100 = \frac{V_{p}}{V}\ \bullet 100\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 1 \right)$$

gdzie:

n- współczynnik porowatości w [%]

V_P- objętość wolnych przestrzeni w [cm³]

V- objętość próbki skalnej w [cm³]

V_z- objętość szkieletu skały (ziaren) w [ cm³]

$$n = \frac{P_{2} - P_{1}}{V}\ \bullet 100 = \frac{V_{p}}{V}\ \bullet 100\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 2 \right)$$

gdzie:

n- współczynnik porowatości w [%]

V_P- objętość wolnych przestrzeni w [cm³]

V- objętość próbki skalnej w [cm³]

P₁- ciężar próbki suchej w [g]

P₂ – ciężar próbki wilgotnej w [g]

1. Metodyka obliczenia współczynnika filtracji na podstawie wzorów empirycznych

1. Wzór Hazena

K₁₀ = c  •  d₁₀² (3)

gdzie:

K₁₀ – współczynnik filtracji wody w temp. 10^oC w [m/doba]

d₁₀ – średnica miarodajna w [mm]

c – współczynnik liczbowy określony wzorem :

c = 400 + 40(n−26) (4)

n - współczynnik porowatości w [%]

Stosowanie wzoru Hazena ograniczone jest warunkami wynikającymi ze składu granulometrycznego skały. Średnica miarodajna d₁₀ musi być zawarta w przedziale od 0,1 do 3,0 [mm] a współczynnik nierównomierności uziarnienia $u = \frac{d_{60}}{d_{10}}$ nie może być większy od 5.

Jeżeli współczynnik liczbowy c < 0  to korzystamy z zależności c od u :

u → 1 wtedy  c = 1200

2 < u < 4  wtedy  c = 800

u → 5 wtedy   c = 400 

1. Wzór Krügera

$$K_{10} = 322\lbrack\frac{n}{\left( 1 - n \right)^{2}}\rbrack d_{e}^{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left( 5 \right)$$

gdzie:

n – współczynnik porowatości wyrażony w ułamku jedności

K₁₀ – współczynnik filtracji wody w temp. 10^oC w [m/doba]

d_e – średnica miarodajna w [mm]

$$d_{e} = \frac{100}{\sum_{1}^{N}\frac{a_{i}}{d_{i}}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left( 6 \right)$$

gdzie:

N – liczba frakcji w analizie granulometrycznej

a_i – procentowa zawartość poszczególnych frakcji w [%]

d_i – przeciętna średnica danej frakcji w [mm]

Średnica miarodajna d_e oznacza umowną średnicę ziaren, którą przyjmuje się jako reprezentatywną dla danej skały. Pojęcie to wprowadził do hydrogeologii A-Hazen. Stwierdził on, że skała wodonośna zbudowana z różnych ziaren ma taką samą przepuszczalność.

1. Wzór Seelheima

K₁₀ = 0, 357  •  d₅₀² (7)

gdzie:

K₁₀ – współczynnik filtracji wody w temp. 10^oC w [m/doba]

d ₅₀ – średnica miarodajna w [mm]

1. Wzór Amerykański

K₁₀ = 0, 36  •  d₂₀^2, 3  (8)

gdzie:

K₁₀ – współczynnik filtracji wody w temp. 10^oC w [m/doba]

d ₂₀ – średnica miarodajna w [mm]

1. Wzór Terzaghi'ego

$$K_{t} = \frac{c}{\eta}\left( \frac{n - 0,13}{\left( 1 - n \right)^{\frac{1}{3}}} \right)^{2\ } \bullet \ d_{e}^{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left( 9 \right)$$

gdzie:

η – współczynnik lepkości dynamicznej zależny od temperatury w [P]

n – współczynnik porowatości wyrażony w ułamku jedności

K_t – współczynnik filtracji wody w temperaturze ^oC w [cm/s]

d_e – średnica miarodajna w [cm]

c – współczynnik empiryczny

1. Metodyka obliczenia błędu bezwzględnego

$$k = \left| \frac{k_{t} - k_{x}}{k_{t}} \right| \bullet 100\%\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 10 \right)$$

gdzie:

Δk – błąd bezwzględny

k_t – współczynnik przepuszczalności obliczony z wzoru Terzaghi'ego

k_x – współczynnik przepuszczalności obliczony z pozostałych wzorów

II. Wykonanie projektu

1. Obliczenie współczynnika porowatości n , próbki nr.57 na podstawie wzoru (2)

$$n = \frac{1017 - 1000}{524} \bullet 100 = 3,2\ \lbrack\%\rbrack$$

1. Wykreślenie krzywej uziarnienia

Tabela 1. Wyniki analizy sitowej

Wymiar w [mm]	Ciężar pozostałości na sitach [g]	Zawartość poszczególnych frakcji w [%]	Zawartość frakcji o średnicy mniejszej od d w [%]
10<d<25	-	-	-
5	2,4	0,2	100,0
2	12,6	1,3	99,8
1	25,2	2,5	98,5
0,5	93,8	9,4	96,0
0,25	265,1	26,5	86,6
0,1	402,9	40,3	60,1
0,071	153,5	15,4	19,8
d<0,071	44,1	4,4	4,4
Σ	999,6	100,0

1. Odczytanie średnic miarodajnych.

d₁₀= 0,078 [mm]

d₂₀₌0,11 [mm]

d₅₀=0,18 [mm]

d₆₀=0,24 [mm]

d_e=0,083 [mm]

Obliczenie średnicy d_e ze wzoru (6)

Tabela 2.

Lp.	dx – dy	di	ai	ai/di
8	5,0 - 10,0	-	-	-
7	2,0-5,0	3,5	0,2	0,068599
6	1,0-2,0	1,5	1,3	0,840336
5	0,5-1,0	0,75	2,5	3,361345
4	0,25-0,5	0,375	9,4	25,02334
3	0,1-0,25	0,175	26,5	151,5463
2	0,071-0,1	0,0855	40,3	471,4166
1	0-0,071	0,0355	19,8	556,8425
		Σ	100,0	1209,099

gdzie:

d_x – dolna średnica danej frakcji

d_y – górna średnica danej frakcji

a_i – procentowa zawartość poszczególnych frakcji w [%]

d_i – przeciętna średnica danej frakcji w [mm]

$$\mathbf{d}_{\mathbf{e}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{100}}{\mathbf{1209,099}}\mathbf{= 0,083\ }\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack$$

1. Sprawdzenie kryteria stosowalności poszczególnych wzorów empirycznych w zależności od wyników analizy sitowej.

Z odczytanych wartości średnic miarodajnych wynika że nie możemy zastosować wzoru Hazena do obliczenia współczynnika filtracji ponieważ średnica miarodajna d₁₀ = 0,078 [mm] nie zawiera się w przedziale od 0,1 do 3,0 [mm].

Współczynnik filtracji zostanie obliczony za pomocą wzoru Krügera (5), Seelheima(7), Amerykańskiego (8) oraz Terzaghi'ego (9)

1. Obliczenie współczynnika filtracji K

1. Na podstawie wzoru Krügera (5):

$$K_{10} = 322 \bullet \left\lbrack \frac{0,032}{\left( 1 - 0,032 \right)^{2}} \right\rbrack \bullet {0,083}^{2} = 0,076\ \lbrack\frac{m}{\text{doba}}\rbrack$$

1. Na podstawie wzoru Seelheima(7):

$$K_{10} = 0,357\ \bullet \ {0,18}^{2} = 0,012\ \left\lbrack \frac{m}{\text{doba}} \right\rbrack$$

1. Na podstawie wzoru Amerykańskiego (8):

$$K_{10} = 0,36\ \bullet \ {0,11}^{2,3} = 0,002\ \ \left\lbrack \frac{m}{\text{doba}} \right\rbrack$$

1. Na podstawie wzoru Terzaghy'ego (9)

$$K_{10} = \frac{10}{0,0131}\left( \frac{0,032 - 0,13}{\left( 1 - 0,032 \right)^{\frac{1}{3}}} \right)^{2\ } \bullet \ {0,078}^{2} = 0,045\ \left\lbrack \frac{\text{cm}}{s} \right\rbrack$$

1. Przeliczenie współczynnika przepuszczalności na jednostkę [Darcy]

Korzystając z zależności 1m/s = 1,3510⁵ darcy, obliczamy współczynnik przepuszczalności k:

KK=	0,076	[m/doba]	=	0,000000883	[m/s]	=	0,119266	[D]
KS=	0,012	[m/doba]	=	0,000000134	[m/s]	=	0,018073	[D]
KA=	0,002	[m/doba]	=	0,000000026	[m/s]	=	0,012555	[D]
KT=	0,045	[cm/s]	=	0,000451841	[m/s]	=	60,99857	[D]

KH= 0,14

1. Obliczenie błędu bezwzględnego współczynnika przepuszczalności obliczonego z danych wzorów empirycznych w stosunku do wzoru Terzaghy'ego na podstawie wzoru (10)

$$k_{K} = \left| \frac{60,999 - 0,119}{60,999} \right| \bullet 100\% = 99,8\ \lbrack\%\rbrack$$

$$k_{S} = \left| \frac{60,999 - 0,018}{60,999} \right| \bullet 100\% = 99,97\ \lbrack\%\rbrack$$

$$k_{A} = \left| \frac{60,999 - 0,004}{60,999} \right| \bullet 100\% = 99,99\ \left\lbrack \% \right\rbrack$$

III. Zestawienie wyników

Symbol	Objaśnienie	Wartość	Jednostka
P1	Ciężar próbki suchej	1000	[g]
P2	Ciężar próbki wilgotnej	1017	[g]
V	Objętość próbki	524	[cm^3]
η	Współczynnik lepkości dynamicznej w temp. 100C	0,0131	[P]
n	Współczynnik porowatości	3,2	[%]
d10	Średnica miarodajna	0,078	[mm]
d20	Średnica miarodajna	0,11	[mm]
d50	Średnica miarodajna	0,18	[mm]
d60	Średnica miarodajna	0,24	[mm]
de	Średnica miarodajna	0,083	[mm]
KK	Współczynnik filtracji obliczony na podstawie wzoru Krügera	0,119	[D]
Ks	Współczynnik filtracji obliczony na podstawie wzoru Seelheima	0,018	[D]
KA	Współczynnik filtracji obliczony na podstawie wzoru Amerykańskiego	0,004	[D]
KT	Współczynnik filtracji obliczony na podstawie wzoru Terzaghi'ego	60,999	[D]
∆kK	Błąd bezwzględny dla wzoru Krügera	99,8	[%]
∆kS	Błąd bezwzględny dla wzoru Seelheima	99,97	[%]
∆kT	Błąd bezwzględny dla wzoru Amerykańskiego	99,99	[%]