ĆWICZENIE NR 77

1. Wstęp

1. Schemat doświadczenia.

2. Zestaw przyrządów

1. ława optyczna o dokładności 0,1 cm;

2. zestaw soczewek: skupiająca nr 5 i rozpraszająca nr 3;

3. źródło światła z zasilaczem.

1. Opis ćwiczenia

1. Wyznaczenie odległości ogniskowej soczewki skupiającej metodą wzoru soczewkowego.

Dla kilku różnych odległości przedmiotu od soczewki x należy zmierzyć doświadczalnie odpowiednie odległości wytworzonych obrazów od soczewki y i obliczyć ogniskową obrazową soczewki na podstawie wzoru soczewkowego.

1. Wyznaczenie odległości ogniskowej soczewki skupiającej metodą Bessela.

Ustawiamy na ławie optycznej przedmiot i ekran w odległości d. Przesuwając konik z soczewką wzdłuż ławy optycznej znaleźć takie położenie soczewki C₁, w którym na ekranie powstanie ostry, powiększony obraz przedmiotu. Powtórzyć 5 razy pomiar w położeniu C₁. Znaleźć położenie C­₂ soczewki odpowiadające obrazowi pomniejszonemu. Wyznaczyć odległość C między obu położeniami soczewki. Zmierzyć odległość d przedmiotu od ekranu i obliczyć ogniskową soczewki.

W celu wyznaczenia odległości ogniskowej soczewki rozpraszającej fr należy umieścić ją w oprawie razem z tak dobraną soczewką skupiającą (o wyznaczonej uprzednio ogniskowej f_s ), aby otrzymany układ soczewek był skupiający. Metodą wzoru soczewkowego wyznaczyć odległość ogniskową układu dwóch soczewek : skupiającej i rozpraszającej. Obliczyć odległość ogniskową soczewki rozpraszającej ze wzoru:

$$\frac{1}{f_{u}} = \frac{1}{f_{s}} + \frac{1}{f_{r}}$$

1. Tabelki pomiarowe

	I	II	III	IV	V	Wartości średnie
	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]
x	26,2	37,2	23,4	18,6	42,3	29,54
y	27	20,8	30,9	47,6	18,9	29,04
f	13,296	13,341	13,316	13,374	13,063	13,273

1. d = 61,2 cm

	I	II	III	IV	V	Wartości średnie
	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]
C1	20,1	20,2	19,9	20,1	20	20,06
C2	41,3	41,7	41,5	41,4	41,6	41,50
f	13,464	13,412	13,394	13,447	13,394	13,422

$$f_{sr} = \ \frac{f_{1} + \ f_{2}}{2} \approx 13,348$$

	I	II	III	IV	V	Wartości średnie
	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]
x	43,9	35	48,2	32,6	57,2	43,38
y	48,1	69,9	46,7	81,4	40,7	57,36
fu	22,952	23,322	23,719	23,278	23,780	23,4102
fr	31,47452	30,80435	30,13807	30,88145	30,04016	30,66771

1. Przykładowe obliczenia

1. Obliczanie odległości ogniskowej soczewki skupiającej metodą wzoru soczewkowego.

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$$

$$f = \frac{\text{xy}}{x + y}$$

$$f_{1} = \ \frac{26,2*27}{26,2 + 27} = \frac{707,4}{53,2} = 13,296\ cm$$

1. Obliczanie odległości ogniskowej soczewek metodą Bessela.

1. soczewki skupiającej :

c = | c₁ − c₂|

$$f = \frac{1}{4}\left( \ d - \frac{c^{2}}{d} \right)$$

$$f = \frac{1}{4}\left( \ 61,2 - \frac{\left| \ 20,1 - 41,3 \right|^{2}}{61,2} \right) = \frac{1}{4}*\left( 61,2 - \frac{449,44}{61,2} \right) = \frac{1}{4}*\left( 61,2 - 7,343791 \right) = \frac{1}{4}*53,85621 \approx 13,464\ cm$$

1. soczewki rozpraszającej:

Używamy układu dwóch soczewek: poprzednio badanej skupiającej i rozpraszającej o nieznanej długości ogniskowej.

$$\frac{1}{f_{u}} = \frac{1}{f_{s}} + \frac{1}{f_{r}}$$

$$\frac{1}{f_{r}} = \frac{1}{f_{u}} - \frac{1}{f_{s}}$$

$$f_{r} = \ \frac{f_{s}*f_{u}}{f_{s} - \ f_{u}}$$

$$f_{u} = \ \frac{x*y}{x + \ y}$$

$$f_{u1} = \ \frac{43,9*48,1}{43,9 + \ 48,1} = \frac{2111,59}{92} \approx 22,952$$

$$f_{r1} = \ \frac{13,273*22,952}{13,273 - 22,952} \approx - \ 8,410$$

1. Do obliczenia średniej wartości ogniskowej soczewki skupiającej posłużyłem się wzorem na średnią arytmetyczną:

$$\overline{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{1}}{n}$$

$$f_{sr1} = \ \frac{f_{1} + \ f_{2} + f_{3} + f_{4} + f_{5}}{5} = 13,273\ cm$$

$$f_{sr2} = \ \frac{f_{1} + \ f_{2} + f_{3} + f_{4} + f_{5}}{5} = 13,422\ cm$$

$$f_{sr} = \ \frac{f_{1} + \ f_{2}}{2} = 13,348\ \pm 0,1\ cm$$

Wyniki ostateczne:

f_r=30, 67±1, 41 cm 

f_s=13, 35±2, 38 cm

1. Niepewności pomiarowe

1. Odchylenie standardowe dla wartości mierzonych soczewki skupiającej obliczyłem ze wzoru:

$$_{e}\overline{x} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( \overline{x} - x_{i} \right)^{2}}{n(n - 1)}}$$

a)

$$_{e}\overline{x} = \sqrt{\frac{\left( 26,2 - 29,54 \right)^{2} + \left( 37,2 - 29,54 \right)^{2} + \left( 23,4 - 29,54 \right)^{2} + \left( 18,6 - 29,54 \right)^{2} + \left( 42,3 - 29,54 \right)^{2}}{5\left( 5 - 1 \right)}} \approx 4,4161\ \text{cm}$$

$$_{e}\overline{y} = \sqrt{\frac{\left( 27 - 29,04 \right)^{2} + \left( 20,8 - 29,04 \right)^{2} + \left( 30,9 - 29,04 \right)^{2} + \left( 47,6 - 29,04 \right)^{2} + \left( 18,9 - 29,04 \right)^{2}}{5\left( 5 - 1 \right)}} \approx 5,1128\ cm\ $$

Błąd przyrządu wynosi:

$$_{p}x = \frac{0,1}{\sqrt{3}} = 0,057735\ \text{cm}$$

Błąd ostateczny obliczamy ze wzorów:

$$\overline{x} = \sqrt{{_{p}x}^{2} +_{e}{\overline{x}}^{2}} = \ \sqrt{0,0033333 + 19,5016} \cong 4,4164\ cm$$

$$\overline{y} = \sqrt{{_{p}x}^{2} +_{e}{\overline{y}}^{2}} = \ \sqrt{0,0033333 + 26,1406} \cong 5,1131\ cm$$

$$\frac{\text{df}_{s1}}{\text{dx}} = \frac{x^{2}}{\left( x + y \right)^{2}}$$

$$\text{df}_{s1} = \frac{x^{2}\text{\ dx}}{\left( x + y \right)^{2}} = \frac{{29,54}^{2}*\ x}{\left( 29,54 + 29,04 \right)^{2}} = \ \frac{872,6116*\ 4,4164}{3431,6164} \cong 1,1230\ cm$$

$$\frac{\text{df}_{s2}}{\text{dy}} = \frac{y^{2}}{\left( x + y \right)^{2}}$$

$$\text{df}_{s2} = \frac{y^{2}\text{\ dy}}{\left( x + y \right)^{2}} = \ \frac{843,3216*\ y}{3431,6164} \cong 1,2566\ cm\ $$

df_s = df_s1 +  df_s2 =  1, 123038 + 1, 256551 ≅ 2, 3796 cm

b)

$$_{e}\overline{x} = \sqrt{\frac{\left( 43,9 - 43,38 \right)^{2} + \left( 35 - 43,38 \right)^{2} + \left( 48,2 - 43,38 \right)^{2} + \left( 32,6 - 43,38 \right)^{2} + \left( 57,2 - 43,38 \right)^{2}}{5\left( 5 - 1 \right)}} \approx 4,4773\ cm\backslash n$$

$${_{e}\overline{y} = \sqrt{\frac{\left( 48,1 - 57,36 \right)^{2} + \left( 69,9 - 57,36 \right)^{2} + \left( 46,7 - 57,36 \right)^{2} + \left( 81,4 - 57,36 \right)^{2} + \left( 40,7 - 57,36 \right)^{2}}{5\left( 5 - 1 \right)}} \approx 7,7850\ cm\backslash n}{_{p}x = \frac{0,1}{\sqrt{3}} = 0,057735\ cm}$$

$$\overline{x} = \sqrt{{_{p}x}^{2} +_{e}{\overline{x}}^{2}} = \ \sqrt{0,0033333 + 20,0464} \cong 4,4777\ cm$$

$$\overline{y} = \sqrt{{_{p}x}^{2} +_{e}{\overline{y}}^{2}} = \ \sqrt{0,0033333 + 60,6056} \cong 7,7852\ cm$$

$$\frac{\text{df}_{1}}{\text{dx}} = \frac{x^{2}}{\left( x + y \right)^{2}}$$

$$\text{df}_{u1} = \frac{x^{2}\text{\ dx}}{\left( x + y \right)^{2}} = \frac{{43,38}^{2}*\ 4,477693}{\left( 43,38 + 57,36 \right)^{2}} \cong 0,8302\ cm$$

$$\frac{\text{df}_{2}}{\text{dy}} = \frac{y^{2}}{\left( x + y \right)^{2}}$$

$$\text{df}_{u2} = \frac{y^{2}\text{\ dy}}{\left( x + y \right)^{2}} = \ \frac{{57,36}^{2}*\ 7,785174}{(43,38 + 57,36)\hat{}2} \cong 2,5239\ cm\ $$

df_u = df_u1 +  df_u2 =  0, 830220396 + 2, 523892016 ≅ 3, 3541 cm

$$\frac{\text{df}_{r}}{\text{df}_{s}} = \frac{{- f_{u}}^{2}}{\left( f_{s} + \ f_{u} \right)^{2}}$$

$$\frac{\text{df}_{r}}{\text{df}_{u}} = \frac{{f_{s}}^{2}}{\left( f_{s} + \ f_{u} \right)^{2}}$$

$$\text{df}_{r1} = \ \frac{{- f_{u}}^{2}\ {*df}_{s}}{\left( f_{s} + \ f_{u} \right)^{2}} = \frac{- \left( {23,4102}^{2} \right)*\ 2,379589}{\left( 13,273 + 23,4102 \right)^{2}} \cong 0,9691\ cm\ \ $$

$$\text{df}_{r2} = \ \frac{{f_{s}}^{2}\ {*df}_{u}}{\left( f_{s} + \ f_{u} \right)^{2}} = \ \frac{- \left( {13,273}^{2} \right)*\ 3,354112412}{\left( 13,273 + 23,4102 \right)^{2}} \cong \ 0,4391\ cm$$

df_r = df_r1 +  df_r2 =  0, 96912 + 0, 439118 = 1, 408238 cm

1. WNIOSKI

W powyższym ćwiczeniu mierzyliśmy ogniskową soczewki dwiema metodami: wzoru soczewkowego i Bessela. Ta druga okazała się być dokładniejsza. Wpływ na to mógł mieć fakt, że w metodzie Bessela powtarza się pomiar tylko dla wartości C, natomiast w metodzie wzoru soczewkowego wielokrotnie mierzymy dwie wartości: x oraz y.

Wpływ na niedokładny pomiar mogły mieć:

1. niedoskonałość ludzkiego oka, co pociąga za sobą niedokładności związane ze znalezieniem ostrego obrazu,

2. niedokładność związana z pominięciem grubości soczewek,

3. możliwość ruchu soczewki w oprawie.