Sprawozdanie z laboratorium z fizyki i biofizyki

Ćwiczenie nr 2

Temat: Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego.

Data wykonania ćwiczenia: 6.03.2009r.

Sekcja nr 7 składzie:

1. Anna Michałowska

2. Joanna Talik

Data oddania sprawozdania: ………………..

Ocena: ….

1. Wstęp teoretyczny:

Bryła sztywna to ciało fizyczne, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Wszystkie te punkty mają taką samą prędkość i przyspieszenie kątowe.

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności zależy od masy ciała oraz jej rozmieszczenia względem osi obrotu. Można go wyrazić wzorem:

$$I = \sum_{}^{}{m_{i}R_{i}^{2}}$$

Gdzie: I-moment bezwładności

m_i- masy poszczególnych punktów

R_i- odległości poszczególnych punktów od osi obrotu

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie:

I = ∫R²dm

Gdzie: I- moment bezwładności

R- odległość prostopadła do osi obrotu

dm- mała część ciała

Ruch obrotowy to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły sztywnej poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Np. ruch Ziemi wokół własnej osi. Jest to ruch złożony z ruchu postępowego środka masy danego ciała oraz ruchu obrotowego względem pewnej osi. Środek masy ciała można uważać za punkt materialny.

Ruch postępowy charakteryzuje się tym, że wszystkie punkty ciała przemieszczają się z prędkościami o jednakowych kierunkach, zwrotach i wartościach.

1. Przebieg ćwiczenia:

1. Opis wykonywanych czynności.

Do wykonania doświadczenia wykorzystałyśmy tarczę zawieszoną na trzech niciach o długościach 84 cm. Nici te są tak przymocowane do tarczy, że gdyby połączyć odległości między nimi powstałby trójkąt równoboczny. Tarcza ważyła 167 g a jej promień wynosił 12,5 cm.

Do zmierzenia mieliśmy pięć brył: dwa drewniane prostopadłościany oraz metalowy walec i dwa metalowe krążki o różnych masach i wymiarach. Mierzyłyśmy każdą bryłę, a następnie kładłyśmy na tarczy tak, aby oś główna bezwładności bryły pokrywała się z osią tarczy, wychylałyśmy tarczę o 5º i wprawiałyśmy w ruch. Za pomocą stopera mierzyłyśmy czas potrzebny na wykonanie pięćdziesięciu wahnięć. Pomiar powtórzyłyśmy sześć razy dla każdego przedmiotu.

B. Tabele wyników

Średni czas liczymy za pomocą średniej arytmetycznej podanych czasów, natomiast okres liczymy za pomocą wzoru:

$$\mathbf{T =}\frac{\mathbf{t}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{50}}$$

Typ ciała	Czas t dla 10 wahnięć [s]	Średni czas tś [s]	Okres T [1/s]
	t1	t2	t3
Metalowy walec 110g	53	52	53
Metalowy krążek 200g	49	49	48
Metalowy krążek 400g	42	43	42
Drewniany prostopadłościan 120g	56	56	56
Drewniany prostopadłościan 140g	52	52	52

C. Obliczenia

Wymiary tarczy używanej podczas doświadczenia są następujące:

• Masa: m=0,167kg

• Długość nici: l=0,84m

• Promień tarczy: r=0,125m.

Tabela zawierająca dane wymiarowe dotyczące brył sztywnych używanych podczas doświadczenia:

Typ ciała	Masa m	Promień r	Długość L	Szerokość W	Wysokość H
Metalowy walec	0,11kg	0,0175m	-	-	0,035m
Metalowy krążek	0,20kg	0,0375m	-	-	0,015m
Metalowy krążek	0,40kg	0,0400m	-	-	0,030m
Drewniany prostopadłościan	0,12kg	-	0,11m	0,11m	0,020m
Drewniany prostopadłościan	0,14kg	-	0,08m	0,08m	0,045m

Wzór na bezwładność prostopadłościanu o wymiarach W x L jest następujący: $$\mathbf{I =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{12}}\mathbf{m}\left( \mathbf{L}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{W}^{\mathbf{2}} \right)$$	Wzór na bezwładność dla walca przyjmuje postać: $$\mathbf{I =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{m}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}$$

Moment bezwładności tarczy I₀ obliczamy za pomocą wzoru: $\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{0}}\mathbf{R}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$

Gdzie m₀ to masa tarczy, a R₀ to promień tarczy.

$$I_{0} = \frac{0,167 \bullet {0,125}^{2}}{2}$$

I₀=0, 0013 kg•m²

Za pomocą poniższego wzoru obliczyłyśmy momenty bezwładności poszczególnych brył:

$\mathbf{I =}\frac{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{m}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\mathbf{m}_{\mathbf{1}} \right)}{\mathbf{C}^{\mathbf{2}}}\mathbf{-}\mathbf{I}_{\mathbf{0}}$ gdzie $C = \frac{2\pi}{R}\sqrt{\frac{l}{g}}$

Podstawiając znane nam wartości obliczyłyśmy stałą C:

$$C = \frac{2\pi}{0,125}\sqrt{\frac{0,84}{g}}$$

$$\mathbf{C = 14,70\ }\frac{\mathbf{s}}{\mathbf{m}}$$

Momenty bezwładności poszczególnych brył:

• Metalowy walec 110g: $I = \frac{{1,06}^{2}(0,167 + 0,11)}{{14,70}^{2}} - 0,0013$

I = 0, 00014  kg•m²

• Metalowy krążek 200g: $I = \frac{{0,97}^{2}\left( 0,167 + 0,20 \right)}{{14,70}^{2}} - 0,0013$

I = 0, 00030  kg•m²

• Metalowy krążek 400g: $I = \frac{{0,84}^{2}\left( 0,167 + 0,40 \right)}{{14,70}^{2}} - 0,0013$

I = 0, 00055  kg•m²

• Drewniany prostopadłościan 120g: $I = \frac{{1,13}^{2}\left( 0,167 + 0,12 \right)}{{14,70}^{2}} - 0,0013$

I = 0, 00040  kg•m²

• Drewniany prostopadłościan 140g: $I = \frac{{1,04}^{2}\left( 0,167 + 0,14 \right)}{{14,70}^{2}} - 0,0013$

I = 0, 00024  kg•m²

Momenty bezwładności poszczególnych brył z wykorzystaniem ich wymiarów zawartych w tabeli:

$$I = \frac{1}{2} \bullet 0,11{\bullet 0,0175}^{2}$$

I = 0, 000017  kg•m²

$$I = \frac{1}{2} \bullet 0,20{\bullet 0,0375}^{2}$$

I = 0, 00014  kg•m²

$$I = \frac{1}{2} \bullet 0,40{\bullet 0,0400}^{2}$$

I = 0, 00032  kg•m²

• Drewniany prostopadłościan 120g: $\mathbf{I =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{12}}\mathbf{m}\left( \mathbf{L}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{W}^{\mathbf{2}} \right)$

$$I = \frac{1}{12} \bullet 0,12\left( {0,11}^{2} + {0,11}^{2} \right)$$

I = 0, 00024  kg•m²

• Drewniany prostopadłościan 140g: $\mathbf{I =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{12}}\mathbf{m}\left( \mathbf{L}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{W}^{\mathbf{2}} \right)$

$$I = \frac{1}{12} \bullet 0,14\left( {0,08}^{2} + {0,08}^{2} \right)$$

I = 0, 00015  kg•m²

D. Analiza błędów

Błąd pomiaru obliczyłyśmy za pomocą różniczki zupełnej:

$$\mathbf{dI =}\sqrt{\left| \frac{\mathbf{\partial I}}{\mathbf{\partial T}} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{d}\mathbf{T}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left| \frac{\mathbf{\partial I}}{\mathbf{\partial l}} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{d}\mathbf{l}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left| \frac{\mathbf{\partial I}}{\mathbf{\partial R}} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{d}\mathbf{R}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left| \frac{\mathbf{\partial I}}{\mathbf{\partial}\mathbf{R}_{\mathbf{0}}} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{d}\mathbf{R}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{2}}}$$

• Dla metalowego walca 110 g

$$dI = \sqrt{\left| \frac{0,00014}{1,06} \right|^{2}{0,01}^{2} + \left| \frac{0,00014}{0,84} \right|^{2}{0,01}^{2} + \left| \frac{0,00014}{0,0175} \right|^{2}{0,0001}^{2} + \left| \frac{0,00014}{0,125} \right|^{2}{0,001}^{2}}$$

dI = 2, 3•10⁻⁶

• Dla metalowego krążka 200 g

$$dI = \sqrt{\left| \frac{0,00030}{0,97} \right|^{2}{0,01}^{2} + \left| \frac{0,00030}{0,84} \right|^{2}{0,01}^{2} + \left| \frac{0,00030}{0,0375} \right|^{2}{0,0001}^{2} + \left| \frac{0,00030}{0,125} \right|^{2}{0,001}^{2}}$$

dI=5, 4•10⁻⁶

• Dla metalowego krążka 400 g

$$dI = \sqrt{\left| \frac{0,00055}{0,84} \right|^{2}{0,01}^{2} + \left| \frac{0,00055}{0,84} \right|^{2}{0,01}^{2} + \left| \frac{0,00055}{0,0400} \right|^{2}{0,0001}^{2} + \left| \frac{0,00055}{0,125} \right|^{2}{0,001}^{2}}$$

dI=1,3•10⁻⁵

• Dla drewnianego prostopadłościanu 120 g

$$dI = \sqrt{\left| \frac{0,00040}{1,13} \right|^{2}{0,01}^{2} + \left| \frac{0,00040}{0,84} \right|^{2}{0,01}^{2} + \left| \frac{0,00040}{0,06} \right|^{2}{0,01}^{2} + \left| \frac{0,00040}{0,125} \right|^{2}{0,001}^{2}}$$

dI=7,3•10⁻⁵

• Dla drewnianego prostopadłościanu 140 g

$$dI = \sqrt{\left| \frac{0,00024}{1,04} \right|^{2}{0,01}^{2} + \left| \frac{0,00024}{0,84} \right|^{2}{0,01}^{2} + \left| \frac{0,00024}{0,04} \right|^{2}{0,01}^{2} + \left| \frac{0,00024}{0,125} \right|^{2}{0,001}^{2}}$$

dI=4, 2•10⁻⁵

E. Wyniki końcowe.

Wyniki końcowe przedstawiamy w postaci sumy średniej arytmetycznej obliczonych momentów bezwładności oraz wyliczonego błędu za pomocą różniczki zupełnej:

$$\mathbf{I =}\overset{\overline{}}{\mathbf{\text{I\ }}}\mathbf{\pm dI}$$

• Dla metalowego walca 110 g

I = 0, 0000785 ±  2, 3×10⁻⁶

• Dla metalowego krążka 200 g

I = 0, 00022 ± 5, 4×10⁻⁶

• Dla metalowego krążka 400 g

I = 0, 000435 ±  1, 03×10⁻⁵

• Dla drewnianego prostopadłościanu 120 g

I = 0, 00032 ±  7, 03×10⁻⁵

• Dla drewnianego prostopadłościanu 140 g

I = 0, 000195 ±  4, 02×10⁻⁵

F. Wnioski

Wyniki momentu bezwładności obliczonego za pomocą okresu znacznie odbiegają od wyników uzyskanych przy obliczeniach z podanych wzorów. Błędy mogły być spowodowane kilkoma czynnikami. Mogło to wynikać z niedokładności pomiaru czasu przy liczeniu wychyleń, co spowodowało niedokładność wyliczonego okresu. Przy każdym pomiarze niedokładny mógł być również mógł być kąt, o który wychylaliśmy tarczę. Błędne też mogły być wymiary brył oraz tarczy oraz długości linek na których zawieszona była tarcza.