Temat: R.25 Teoria płynięcia plastycznego

Teoria płynięcia plastycznego jest aktualnie najpowszechniej używanym sposobem opisu materiałów wykazujących cechy plastyczne.

Teorię płynięcia plastycznego formułuje się nie w odkształceniach a w prędkościach odkształceń. Jednak, ponieważ zachowanie plastyczne jest uważane za niezależne od czasu rzeczywistego więc czas w plastyczności jest pseudoczasem, czyli dowolną monotoniczną funkcją. Prędkości odkształceń rozumiane są jako pochodne nie względem czasu rzeczywistego ale pseudoczasu.

Powierzchnia plastyczności jest geometrycznym przedstawieniem równania opisującego kryterium uplastycznienia. Warunek plastyczności jest warunkiem zależnym od stanu naprężenia

F(σ_ij) = 0

więc powierzchnia plastyczności jest hiperpowierzchnią w przestrzeni sześciu naprężeń. Takiej powierzchni nie można narysować, natomiast możemy rysować jej przekroje, rzuty bądź przypadki szczególne.

Interpretacja powierzchni plastyczności mówi, że punkt reprezentujący stan naprężenia może być wewnątrz powierzchni (F(σ_ij) < 0) i wtedy materiał jest w stanie sprężystym, bądź na powierzchni F(σ_ij) = 0,  wtedy może wystąpić proces plastyczny. Punkt reprezentujący stan naprężenia nie może wyjść poza powierzchnię, więc równanie powierzchni plastyczności może być jednocześnie traktowane jako ograniczenie dla stanu naprężenia.

W przypadku plastyczności idealnej powierzchnia jest stała. W przypadku materiału ze wzmocnieniem (bądź osłabieniem) równanie powierzchni musi zawierać opis jej ewolucji co geometrycznie odpowiada rozszerzaniu się, przesuwaniu lub kurczeniu powierzchni.

Jeśli w teorii małych sprężysto-plastycznych odkształceń obowiązują związki między naprężeniami, a odkształceniami plastycznymi to w teorii płynięcia plastycznego mamy do czynienia ze związkiem pomiędzy dewiatorami odkształceń, a prędkościami odkształceń plastycznych.
Teoria płynięcia plastycznego opiera się na trzech podstawowych założeniach:
1.Prawo zmiany objętości
$\theta = \frac{1}{K} \bullet \sigma_{0}$ (1)

2.Prawo przechodzenia materiału w stan plastyczny; materiał przechodzi w stan plastyczny, składowe dewiatora naprężeń spełniają równanie powierzchni plastyczności.

 F(σ₁ − σ₀, σ₂ − σ₀, σ₃ − σ₀) (2)

3.Związki fizyczne: składowe tensora przyrostów odkształceń plastycznych są proporcjonalne do składowych gradienta funkcji powierzchni plastyczności

$d\varepsilon^{\bigwedge_{}^{}(p)} = d\lambda \bullet grad\ F$ (3)

Za funkcję F powierzchni plastyczności zwykle wybiera się kryterium Hubera-Misesa-Hencky’ego.

F(σ₁,σ₂,σ₃) = (σ₁₁ − σ₂₂)² + (σ₁₁ − σ₃₃)² + (σ₂₂ − σ₃₃)² + 6 • (σ₁₂²+σ₁₃²+σ₂₃²) − 2σ_p² (4)

Rozpiszmy związki fizyczne (3)

$$d\varepsilon_{11}^{(p)} = d\lambda\frac{\partial F}{\partial\sigma_{11}};\varepsilon_{22}^{(p)} = d\lambda\frac{\partial F}{\partial\sigma_{22}};\varepsilon_{33}^{(p)} = d\lambda\frac{\partial F}{\partial\sigma_{33}}$$

Różniczkując wyrażenie (4) otrzymujemy:

$\frac{\partial F}{\partial\sigma_{11}} = 2 \bullet \left( \sigma_{11} - \sigma_{22} \right) + 2 \bullet \left( \sigma_{11} - \sigma_{33} \right) = 4\sigma_{11} - 2 \bullet (\sigma_{22} + \sigma_{33})$ (5)

Wyrazimy tą pochodną przez składowe dewiatora naprężeń.W tym celu dodajemy i odejmujemy od wyrażenia (5) 2σ₁₁

4σ₁₁ − 2 • (σ₂₂+σ₃₃) + 2σ₁₁ − 2σ₁₁ = 6σ₁₁ − 2(σ₁₁+σ₂₂+σ₃₃) = 6(σ₁₁ − σ₀) (6)

więc

$\frac{\partial F}{\partial\sigma_{11}} = 6\left( \sigma_{11} - \sigma_{0} \right);\frac{\partial F}{\partial\sigma_{22}} = 6\left( \sigma_{22} - \sigma_{0} \right);\frac{\partial F}{\partial\sigma_{33}} = 6\left( \sigma_{33} - \sigma_{0} \right)$ (7)

$$\frac{\partial F}{\partial\sigma_{12}} = 12\partial\sigma_{12};\frac{\partial F}{\partial\sigma_{13}} = 12\partial\sigma_{13};\frac{\partial F}{\partial\sigma_{23}} = 12\partial\sigma_{23}$$

Podstawiamy te wyrażenia do związków fizycznych (3).Mamy:

dε₁₁^(p) = dλ(σ₁₁−σ₀), …dε₁₂^(p) = 2dλσ₁₂ (8)

Tutaj mnożnik σ dołączono do mnożnika dλ ,który jest nieokreślny. W celu jego określenia rozważamy wyrażenie na intensywność odkształceń

$$\varepsilon_{i}^{(p)} = \frac{\sqrt{2}}{3} \bullet \sqrt{{(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{22})}^{2} + {(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{2} + {(\varepsilon_{22} - \varepsilon_{33})}^{2} + 6 \bullet \left( \varepsilon_{12}^{2} + \varepsilon_{13}^{2} + \varepsilon_{23}^{2} \right)}$$

Zastąpimy w tym wyrażeniu składowe tensora odkształceń sprężystych przyrostami odkształceń plastycznych , a także intensywnością odkształceń ε_i – przyrost intensywności odkształceń plastycznych.

ε_ij ⇒ dε_ij^(p); ε_i ⇒ dε_i^(p)

$$\varepsilon_{i}^{(p)} = \frac{\sqrt{2}}{3} \bullet \sqrt{\left( d\varepsilon_{11}^{\left( p \right)} - d\varepsilon_{22}^{\left( p \right)} \right)^{2} + \left( d\varepsilon_{11}^{\left( p \right)} - d\varepsilon_{33}^{\left( p \right)} \right)^{2} + \left( d\varepsilon_{22}^{\left( p \right)} - d\varepsilon_{33}^{\left( p \right)} \right)^{2} + 6 \bullet \left( {(d\varepsilon_{12}^{\left( p \right)})}^{2} + {(d\varepsilon_{13}^{\left( p \right)})}^{2} + {(d\varepsilon_{23}^{\left( p \right)})}^{2} \right)}$$

Dalej korzystamy ze związków (8). Otrzymujemy

$${\varepsilon_{i}^{(p)} = \frac{\sqrt{2}}{3} \bullet d\lambda = \ }^{}\sqrt{\left( \sigma_{11} - \sigma_{22} \right)^{2} + {(\sigma_{11} - \sigma_{33})}^{2} + {(\sigma_{22} - \sigma_{33})}^{2} + 6 \bullet \left( \sigma_{12}^{2} + \sigma_{13}^{2} + \sigma_{23}^{2} \right)}$$

Porównajmy to wyrażenie z wyrażeniem dla intensywności naprężeń:

$$\text{dε}_{i}^{(p)} = \frac{2}{3} \bullet d\lambda \bullet \sigma_{i},i$$

$$d\lambda = \frac{3d\varepsilon_{i}^{(p)}}{2\sigma_{i}}$$

Po strukturze ten mnożnik napomina mnożnik $2G = \frac{2\sigma_{i}}{3\varepsilon_{i}}$ w teorii małych sprężysto-plastycznych odkształceń. Różnica polega na tym, że występuje tam intensywność odkształceń sprężystych, tutaj przyrost odkształceń plastycznych.
Ostatecznie otrzymujemy związki fizyczne

$$\text{dε}_{11}^{(p)} = \frac{3}{2} \bullet \frac{\text{dε}_{i}^{\left( p \right)}}{\sigma_{i}} \bullet \left( \sigma_{11} - \sigma_{0} \right),\ldots\text{dε}_{12}^{(p)} = \frac{3}{2} \bullet \frac{\text{dε}_{i}^{\left( p \right)}}{\sigma_{i}} \bullet \sigma_{12}$$

Dzieląc obie strony tych wyrażeń przed dt otrzymujemy prędkości ich odkształceń.

Literatura:

Zdzisław Gabryszewski: Teoria sprężystości i plastyczności. Wrocław: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 2001.