Egzamin z polibudy II – 11

1. Zbadaj zbieżność szeregu: $\sum_{1}^{\infty}\frac{3^{n}\text{cosn}}{\left( 2n \right)!}$ ; $\sum_{1}^{\infty}\frac{2n^{2} + 3}{4n^{3} + n + 1}$

2. Oblicz sumę częściową szeregu $\sum_{1}^{\infty}\frac{3^{n} - 1}{6^{n}}$

3. Za pomocą całkowania lub różniczkowania wyznacz sumę szeregu: $\sum_{1}^{\infty}\frac{n + 1}{{n4}^{n}}$

4. Wyznacz promień i przedział zbieżności szeregu: $\sum_{1}^{\infty}{\frac{2^{n} + 2}{4^{n} + 3}{(x + 2)}^{n}}$

5. Rozwiń funkcję w szereg Maclaurina f(x) = $\frac{1}{3x^{2} - x - 4}$

6. Wyznacz pochodne cząstkowe: f(x,y)= lnxe^xy

7. Oblicz pochodną kierunkową f(x,y) =$\sqrt[3]{x^{2}y} + \text{lnx}y^{2}$..(x₀;y₀) = (2,3) i v = (-$\frac{3}{5},\frac{4}{5})$

8. Wyznacz wersor wskazujący kierunek, w którym pochodna f(x,y)= $\frac{x}{y} - \sin x^{2}y$; w punkcie (x,y)=(0,1) przyjmuje wartość 0

9. Oblicz pochodną z definicji f(x,y)=$\sqrt{{(x - 1)}^{2}y}$ w punkcie (1,1)

10. Wyznacz extrema lokalne funkcji na prostokącie [-3,3]*[-3,0]; f(x,y) = xy²+4xy − 4x = 0,

11. Wyznacz ekstrema funkcji a) f(x,y)=1+x³-12x-6xy+y²+9y

12. ……………………………b) f. uwikłanej f(x,y) = x²+y²-xy-2x+4y=0

13. Oblicz różniczkę: $\frac{{1,98}^{3}}{{4.002}^{4}}$

14. Wyznacz styczną do krzywej lny-ylnx=1w punkcie przecięcia się tej krzywej z prostą y=x

15. Napisz równanie płaszczyzny stycznej w punkcie (4;2,z) do powierzchni z=(lnx − 2lny)²

16. Oblicz całki podwójne: $\iint_{}^{}\begin{matrix} \left( 2x + 3y \right)\text{dxdy},\ \text{dla}\ D:\ y = 1\left| x \right|,y = - 1 \\ \\ \end{matrix}$

17. Obliczyć poprzez zastosowanie współrzędnych biegunowych: ∬(x−y)dxdy;

Na wskazanym obszarze: A(1,2); B(5,2); C(3,4)

1. Oblicz pole między funkcjami: -x+ y-2=0; y-x² + 2x − 2 = 0

2. Oblicz pole płata: f(x,y)=1-x²-y², z=-1, z=-3 [zastosować współrzędne biegunowe]

3. Zamień kolejność całkowania $\int_{- 1}^{3}{\text{dx}\int_{- 2}^{\sqrt{9 - x^{2}}}{f(x,y)\text{dy}}}$

4. Oblicz objętość bryły ograniczonych powierzchniami: z=1; z=6-x; x² + y² = 16

5. Oblicz wartość średnią f(x,y) = e^x ; x-y = 0; x = 1; y = 2x

6. Oblicz masę obszaru: δ(x,y) = x + y,  x = y²;  x = 4y; x = 1

7. Oblicz współrzędne środka masy bryły U ograniczonej płaszczyzną z=0; oraz powierzchniami: z=$- \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}};z = - \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}$; jeżeli objętościowa gęstość masy dana jest wzorem $\gamma\left( x,y,z \right) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$[współ. sferyczne]

8. Oblicz moment statyczny: względem xOz obszaru U o masie M określonego nierównościami:$\gamma = 1;z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.$; y=0; z=$\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$

9. Oblicz moment bezwładności jednorodnej bryły względem (OZ); ograniczonej powierzchniami : z=$\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$ oraz z=$\sqrt{x^{2} + y^{2};\ }\gamma = 1$. Zastosować współrzędne sferyczne.

10. Zbadaj zbieżność całki: $\int_{0}^{\infty}\frac{\text{cosxdx}}{x^{2} + 4}$

11. Obliczyć granicę

12. Narysować dziedzinę i wyznaczyć zbiór wartości funkcji, oraz poziomice:

F(x,y)= $\arcsin\frac{y - 1}{x^{2}}$

1. Znaleźć zbiory punktów nieciągłości funkcji f(x,y) = $\left\{ \begin{matrix} \frac{\sin 2\text{xy}}{x}\ \text{dla}\left( x,y \right) \neq (0,0) \\ 0\ \text{dla}\ \left( x,y \right) = (0,0) \\ \end{matrix} \right.\ $

2. Oblicz całkę potrójną ∭ycosπxdxdydz; gdzie obszar całkowania jest ograniczony powierzchniami: z=1-y²; z=0; x=0; x=1