Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

Drgania płyt

W celu wyjaśnienia problemu drgania płyty należy najpierw wyjaśnić definicję słowa kluczowego. Drgania są to procesy fizyczne opisywane funkcjami na przemian rosnącymi i malejącymi. Drgania klasyfikuje się na podstawie matematycznych własności funkcji opisujących je. Wyróżnia się drgania probabilistyczne - jeśli przyszły stan nie daje się jednoznacznie ściśle określić i deterministyczne. Te ostatnie dzielą się na okresowe i nieokresowe tzn. periodyczne i nieperiodyczne.

• Drgania periodyczne

• Drgania nieperiodyczne

Okresem drgań nazywamy czas potrzebny do wykonania jednego cyklu drgań. Jeśli amplituda maleje w czasie, drgania nazywamy gasnącymi. Drgania można też dzielić na swobodne i wymuszone (wywołane zewnętrzną, zmienną w czasie siłą). Drgania deterministyczne opisywane są równaniami różniczkowymi.

Badania układów o skończonej liczbie swobody pozwoliło na zapoznanie się z podstawowymi własnościami drgań. W technice spotyka się jednak powszechnie układy o parametrach rozłożonych. Układy takie mają nieskończoną liczbę stopni swobody. Drgania takich układów mają wiele cech wspólnych z drganiami układów o skończonej liczbie stopni swobody. Metody analizy układów ciągłych różnią się jednak znacznie od metoda analizy układów dyskretnych.

Fale rozchodzące się w cienkich płytach i prętach w istotny sposób różnią się od fal rozchodzących się we wszystkich kierunkach w ośrodku nieorganicznym. Mówimy tu o falach, których długość jest znaczna w porównaniu z grubością pręta lub płyty.

Konieczne jest rozróżnienie fal, w których drgania zachodzą równolegle do osi pręta lub płaszczyzny płyty, od fal o drganiach prostopadłych do tych kierunków.

Model drgań poprzecznych cienkiej płyty sprężystej:

Oznaczenia:

a, b – długość i szerokość płyty,

h – grubość płyty,

µ - masa płyty przypadająca na jednostkę powierzchni,

T – siła tnąca w płycie,

M_g – moment zginający w płycie,

Równania drgań poprzecznych płyty mają postać:

$$\mu\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} + \frac{E}{1 - v^{2}}\frac{h^{2}}{12}\left( \frac{\partial^{4}w}{\partial x^{4}} + 2\frac{\partial^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}} + \frac{\partial^{4}w}{\partial y^{4}} \right) = f(t,x,y)$$

A w formie operatorowej:

$$u\ddot{w} + D\Delta^{2}w = f$$

gdzie:

$$D = \frac{E}{1 - v^{2}}\frac{h^{2}}{12}$$

Warunki brzegowe:

1.Brzegi utwierdzone (brak przemieszczenia i ugięcia):

$$w = 0,\ \ \frac{\partial w}{\partial n} = 0$$

2.Brzegi podparte ( brak przemieszczenia i momentu zginającego):

$$w = 0,\ \ \ \ \ \ \ M_{g} = \frac{\partial^{2}w}{\partial n^{2}} = 0$$

3.Brzegi swobodne (brak siły tnącej i momentu zginającego):

M_g = w_,nn = 0,       T = w_,nnn = 0

Zakładamy rozwiązanie w postaci:

w(t,x,y) = T(t)W(x, y)

Po podstawieniu do równania drgań otrzymujemy równanie:

$$\frac{d^{2}T}{dt^{2}}W - T\frac{D}{u}\Delta^{2}W = 0$$

Które można rozseparować i przyrównać do wspólnej stałej:

$$\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)} = \frac{D}{\mu}\frac{\Delta^{2}W(x,y)}{W(x,y)} = - \varpi^{2}$$

Równanie części przestrzennej ma postać:

$$\Delta^{2}W\left( x,y \right) = - \varpi^{2}\frac{\mu}{D}W(x,y)$$

Rozwiązaniem powyższego równania jest ciąg wartości własnych:

$$\varpi_{\text{km}} = \frac{D}{\mu}\left\lbrack \left( \frac{\text{kπ}}{a} \right)^{2} + \left( \frac{\text{mπ}}{b} \right)^{2} \right\rbrack,\ \ \ \ \ \ k,m = 1,2,\ldots,\infty$$

I odpowiadający mu ciąg postaci własnych (funkcji własnych):

$$W_{\text{km}}\left( x,y \right) = \sin{\left( \frac{\text{kπ}}{a} \right)\sin\left( \frac{\text{mπ}}{b} \right)},\ \ \ \ k,m = 1,2,\ldots,\infty$$

Postacie własne drgań giętnych płyty prostokątnej utwierdzonej:

• ϖ₁₁ = (a²+b²)π²D/(ua²b²)

• ϖ₂₁ = (4a²+b²)π²D/(ua²b²)

• ϖ₁₂ = (a²+4b²)π²D/(ua²b²)

• ϖ₂₂ = (4a²+4b²)π²D/(ua²b²)

Przy drganiach układów ciągłych dwuwymiarowych pojawiają się tzw. linie węzłowe.

Są to takie linie, których amplituda drgań przy danej postaci jest równa zeru.

Linie węzłów pełnią ważną rolę w badaniach rezonansowych konstrukcji.

Wnioski:

1.Częstości i postacie drgań własnych płyty zależą od warunków brzegowych.

2.Uzyskane rozwiązanie równania drgań giętnych płyty prostokątnej jednorodnej jest ścisłe.

3.Rozwiązanie ścisłe można wyznaczyć tylko w przypadku płyt jednorodnych i mających proste kształty geometryczne.

4.Nie można wyznaczyć ścisłych rozwiązań równań drgań płyt o dowolnym kształcie i zmiennych parametrach.

5.Analiza drgań płyt o dowolnych kształtach jest możliwa przy użyciu metod przybliżonych (MES).