Zestaw A

Część teoretyczna- wykłady

Pyt 1/I
Trzy postacie liczby zespolonej:
-postać kanoniczna:
z=a+ib
a-część rzeczywista (Re)
b-część urojona (Im)
Dla liczby zespolonej z=a+ib określamy moduł:
|z|=$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

-postać trygonometryczna:
z=|z|(cosφ + isinφ)
cosφ=$\frac{a}{|z|}$
sinφ=$\frac{b}{|z|}$

-postać wykładnicza:

Pyt 2/I

Rodzaje macierzy kwadratowej

Macierz kwadratowa stopnia n jest to macierz o wymiarze nxn. Liczbę wierszy n równą liczbie kolumn n nazywamy stopniem macierzy.

Elementy macierzy mające ten sam numer wiersza i kolumny tworzą (główną) przekątną macierzy.

Macierz diagonalna stopnia n jest to macierz kwadratowa stopnia n, w której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe 0.

Macierz jednostkowa stopnia n jest to macierz diagonalna, której przekątna składa się z samych jedynek. Oznaczamy ją I_n lub I.

Wektor kolumnowy jest to macierz o wymiarze mx1.

Wektor wierszowy jest to macierz o wymiarze 1xn.

Macierzą dolnotrójkątną nazywamy macierz, w której elementy leżące nad górną przekątną są równe 0. Analogicznie w macierzy trójkątnej górnej elementy pod dolną przekątną są równe 0.

Macierz zerowa oznaczona 0 lub 0_mxn jest macierzą wymiaru mxn składającą się z samych zer.

Pyt 3/I

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego

Układ równań liniowych postaci

posiada przynajmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy:
rzA=rzU
Tzn. rząd macierzy współczynników i rząd macierzy uzupełnionej układu są sobie równe

Ponadto, jeżeli wprowadzimy następujące oznaczenia:

r=rzA=rzU

n-liczba niewiadomych

to gdy

r=n – ma dokładnie jedno rozwiązanie
r<n ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od n-r parametrów

Pyt 4/I

Twierdzenie Cayleya–Hamiltona 

Każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego.

Dokładniej; jeżeli A jest macierzą n×n oraz I_n  jest macierzą identycznościową n×n to wielomian charakterystyczny A jest zdefiniowany jako:

gdzie "det" oznacza wyznacznik.

Twierdzenie Cayleya–Hamiltona mówi, że podstawienie A do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie macierz złożoną z samych zer:

Ważnym wnioskiem z teorii Cayleya–Hamiltona jest fakt, że wielomian minimalny danej macierzy jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego. Jest to bardzo przydatne podczas znajdowania postaci Jordana danej macierzy.

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Pyt 1/II

Iloczyn skalarny i własności:

iloczyn skalarny oznaczamy symbolem np.
dwie zależności:

Własności:

• przemienność (symetryczność),

• rozdzielność względem dodawania wektorów (dwuaddytywność),

• zgodność z mnożeniem przez skalar (dwujednorodność),

• niezdegenerowanie,

• dodatnia określoność,

Pyt 2/II

Okrąg

Niech  będzie ustalonym punktem, zaś  ustaloną liczbą dodatnią. Okręgiem nazywamy zbiór punktów płaszczyzny euklidesowej spełniającej równość

Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego

gdzie parametr 

w przestrzeni trójwymiarowej:
Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:

współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie;

identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie;

styczne – mają dokładnie jeden punkt wspólny;

rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu;

rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.

Pyt 3/II

Prosta

W prostokątnym układzie współrzędnych weĽmy pod uwagę punkt P(x₁, y₁) i wektor niezerowy v→=[A,B]. Ponieważ wektor v→ jest niezerowy, więc jego współrzędne A i B nie mogą jednocześnie być równe zeru. Istnieje jedna i tylko jedna prosta l przechodząca przez punkt P i prostopadła do wektora v→ określona równaniem 
Ax + By + C = 0.

Dla A, B, C ∈ R, przy czym A i B nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność:
Ax + By + C = 0
Liczby A, B, C nazywamy współczynnikami liczbowymi równania prostej.

Wektor o współrzędnych [-B, A] jest wektorem kierunkowym prostej. Jest on do tej prostej równoległy. Wektor [A, B] jest prostopadły do prostej.

Jeśli A = 0, to prosta jest równoległa do osi OX, jeśli B = 0 to prosta jest równoległa do osi OY, jeśli C = 0, to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Gdy B = 0, równanie Ax + By + C = 0 przybiera postać Ax + C = 0, a ponieważ A ≠ 0, można je napisać w postaci
x=−CA. 
Przedstawia ono prostą równoległą do osi OY i przecinającą oś OX w punkcie o odciętej −CA.

Gdy B ≠ 0, równanie Ax + By + C = 0 można napisać w postaci
y=−ABx−CB. 
Jest to równanie kierunkowe prostej, gdzie
m=−AB   i   b=−CB.

Pyt 4/II

Płaszczyzny równoległe	Płaszczyzny prostopadłe
Płaszczyzny pokrywające się	Płaszczyzny przecinające się