Ruch Jednostajny Przyśpieszony: v=vo+at; x=vot+½at² wzory te wyprowadzamy korzystając z definicji: v=$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$. Wektor Wodzący: Wektor położenia – określa położenie ciała w układzie współrzędnych. Długość wektora wodzącego czyli prmień, jest odległością punktu od początku układu współrzędnych $\overrightarrow{r}$=$\hat{e}$xx+$\hat{e}$yy+$\hat{e}$zz. Prędkość: $\overrightarrow{v}$=$\frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}$; vx=$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$; vy=$\frac{\text{dy}}{\text{dt}}$; vz=$\frac{\text{dz}}{\text{dt}}$. Przyśpieszenie: $\overrightarrow{a}$=$\frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}}$; ax =$\frac{\text{dvx}}{\text{dt}}$; ay=$\frac{\text{dvy}}{\text{dt}}$; az=$\frac{\text{dvz}}{\text{dt}}$. Przyśpieszenie (siła) Coriolisa: $\overrightarrow{a}$c=2$\overrightarrow{v}$x$\overrightarrow{O}$ lub $\overrightarrow{F}$c=2m$\overrightarrow{v}$x$\overrightarrow{O}$. Zasady Dynamiki Newtona: I Każde ciało, na które nie oddziałuje żadna siła, albo oddziałujące siły się równoważą, porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. II $\overrightarrow{F}$=mx$\overrightarrow{a}$; ale ponieważ prędkość to pochodna wektora wodzącego to: $\overrightarrow{F}$=m•$\frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}$=m•$\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$; gdy F nie jest stałe : Fx(t)=m•$\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}$; Fy(t)=m•$\frac{d\overrightarrow{y}}{dt}$; Fz(t)=m•$\frac{d\overrightarrow{z}}{dt}$; III $\overrightarrow{F}$AB=-$\overrightarrow{F}$BA. Układ Odniesienia (inercjalny): Dwa układy odniesienia przesunięte względem siebie. Przejście między jednym a drugim znajdujemy korzystając z transformacji Galileusza: $\overrightarrow{r}$=$\overrightarrow{r}$o+$\overrightarrow{v}$ot+$\overrightarrow{r}$, gdy v jest równoległe do osi X a ro=0; x=vot+x`; y=y`; z=z`. W przypadku gdy układ O` będzie obrucony mamy: $\overrightarrow{r}$=$R\overrightarrow{r}$+$\overrightarrow{v}$t+$\overrightarrow{r}$o. Układ odniesienia (nieinercjalny): Obliczając dwukrotną pochodną równania na transformację Galileusza otrzymamy: $\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$o+$\overrightarrow{a}$ gdzie $\overrightarrow{a}$o – przyśpieszenie układu. Nawet gdy $\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$=0 ciało ma zerowe przyśpieszenie. Nawet gdy na ciało nie działa (a=0) to nie działa siła zwana siłą bezwładności: $\overrightarrow{F}$=-m•$\overrightarrow{a}$. Praca: $\overrightarrow{F}$•$\overrightarrow{v}$•dt=dT po scałkowaniu ∫_T1^T2dT=$\int_{t1}^{t2}\overrightarrow{F}$•$\overrightarrow{v}$•dt=$\int_{r1}^{r2}\overrightarrow{F}$•d$\overrightarrow{r}$; wielkość (W) W(1-2)=$\int_{r1}^{r2}\overrightarrow{F}$•d$\overrightarrow{r}$ nazywamy pracą jaką należy wykonać przy przesunięciu ciała z punktu 1 so punktu 2. Nieskończenie małe przesunięcie: dW=$\overrightarrow{F}$•d$\overrightarrow{r}$; gdy F jest stała i tworzy kąt α z przesunięciem: W=F•d•cos(α). Energia Potencjalna: W(1→2)=$\int_{r1}^{r2}\overrightarrow{F}$•dr=$\int_{r1}^{r0}\overrightarrow{F}$•dr+$\int_{r0}^{r2}\overrightarrow{F}$•d$\overrightarrow{r}$=(-$\int_{r0}^{r1}\overrightarrow{F}$)-(-$\int_{r0}^{r2}\overrightarrow{F}$•d$\overrightarrow{r}$)=>U($\overrightarrow{r1}$)=-$\int_{r0}^{r1}\overrightarrow{F}$•d$\overrightarrow{r}$; U($\overrightarrow{r2}$)=-$\int_{r0}^{r2}\overrightarrow{F}$•d$\overrightarrow{r}$ otrzymamy: W(1→2)=U($\overrightarrow{r2}$)-U($\overrightarrow{r1}$)=U czyli praca W(1→2) wykonana przy przesunięciu ciała z punktu 1 do punktu 2 jest równa U różnicy energii potencjalnej w tych dwóch punkach. Energia potencjalna w punkcie r równa jest pracy wykonanej przez siłę F przy przesunięciu ciałą z punktu odniesienia rref do punktu r: U($\overrightarrow{r}$)=-$\int_{\text{rref}}^{r}\overrightarrow{F}$•d$\overrightarrow{r}$. Siły Zachowawcze: Pole siły Fjest polem zachowawczym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje energia potencjalna spełniająca równanie $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r}$)=-∇U($\overrightarrow{r)}$=-gradU($\overrightarrow{r}$) np. A) pole grawitacyjne; B) pole ładunku punktowego. Praca siły zachowawczej zależy jedynie od położenia punktu początkowego i końcowego: $\oint_{}^{}\overrightarrow{F}$($\overrightarrow{r}$)•d$\overrightarrow{r}$=0. Zasada Zachowania Energii: $\overrightarrow{F}$•$\overrightarrow{v}$=$\frac{\text{dT}}{\text{dt}}$ przekształcamy: ∫_T1^T2dT=$\int_{r1}^{r2}\overrightarrow{F}$•$\overrightarrow{v}$dt=$\int_{r1}^{r2}{\overrightarrow{F}}$d$\overrightarrow{r}$ i otrzymamy T₂-T₁=-(U₂-U₁) lub T₂+U₂=T₁+U₁; zależność T+U=const nazywamy zasadą zachowania energii. Pęd i Zasada Zachowania Pędu: $\overrightarrow{F}$=$\frac{d\overrightarrow{p}}{\text{dt}}$ II zasada dynamiki Newtona, gdzie pęd to: $\overrightarrow{p}$=m•$\overrightarrow{v}$; jeśli działające siły są =0 $\overrightarrow{F}$=0 => $\frac{d\overrightarrow{p}}{\text{dt}}$=0 oznacza to, że $\overrightarrow{p}$=const. Jeśli na układ nie działa żadna siła (lub działające siły się równoważą) to całkowity oęd ukłądu nie ulega zmianie. Moment Pędu: $\overrightarrow{L}$=$\overrightarrow{r}$x$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{r}$xm•$\overrightarrow{v}$ policzmy pochodną: $\frac{\text{dL}}{\text{dt}}$=$\frac{d}{\text{dt}}$($\overrightarrow{r}$x$\overrightarrow{p}$)=$\frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}$x$\overrightarrow{p}$+$\overrightarrow{r}$x$\frac{d\overrightarrow{p}}{\text{dt}}$ wiemy, że $\frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}$x$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{v}$x$\overrightarrow{p}$=0 z równania pochodnej mamy: $\frac{d\overrightarrow{L}}{\text{dt}}$=$\overrightarrow{r}$x$\frac{d\overrightarrow{p}}{\text{dt}}$=$\overrightarrow{r}$x$\overrightarrow{p}$=M czyli: $\overrightarrow{M}$=$\frac{d\overrightarrow{L}}{\text{dt}}$ pochodna po czasie momentu pędu jest równa momentowi siły. Zasada Zachowania Momentu Pędu: Jeżeli $\overrightarrow{M}$=0=>$\frac{d\overrightarrow{L}}{\text{dt}}$=0 to: $\overrightarrow{L}$=const; czyli $\overrightarrow{M}$=0=>$\overrightarrow{L}$=const. Pole Grawitacyjne: Przykład siły centralnej (izotropowej) zatem istnieje dla niego potencjał U. $\overrightarrow{v}$=[$\frac{\text{dr}}{\text{dt}}$, rω] Prawa Keplera: I Planety krążą wokół słońca po elipsach. II Prędkość polowa ruchu planet jest stała. Promień wodzący łączący słońce umieszczony w jednym z ognisk elipsy z planetą w jednakowych odstępach czasu zakreśla jednakowe pole. III $\frac{T}{a}$=$\frac{4\pi}{\text{GM}}$=const czyli: T²=C•r³; log(T)≈³/₂ log(r). Moment Bezwładności Bryły Sztywnej: $\overrightarrow{L}$i=$\overrightarrow{r}$x$\overrightarrow{p}$i=$\overrightarrow{r}$ixmi•$\overrightarrow{v}$i związek między prędkością liniową i kątową punktu i-tego $\overrightarrow{v}$=$\overrightarrow{\omega}$x$\overrightarrow{r}$i otrzymamy $\frac{\overrightarrow{\text{Li}}}{\text{mi}}$=$\overrightarrow{r}$ix$\overrightarrow{v}$i=rix($\overrightarrow{\omega}$x$\overrightarrow{r}$i) Moment bezwładności: Î=$\sum_{k}^{}\text{mk}$(r_k²δ_ij-${\overrightarrow{r}}_{\text{ki}}{\overrightarrow{r}}_{\text{kj}}$) gdzie δ_ij to delta Kronekera zdefiniowana: δ_ij=1 gdy i=j, δ_ij=0 gdy i≠j. Energia Kinetyczna Bryły Sztywnej: Suma energii kinetycznej punktów materialnych. T=$\sum_{}^{}\text{mv}_{i}^{2}$=$\sum_{}^{}$m($\overrightarrow{\omega}$x$\overrightarrow{r}$i)($\ \overrightarrow{\omega}$x$\overrightarrow{r}$i) wielkość trudna do obliczenia, zależna od tensora momentu bezwładności. Wówczas mamy: T=½$\overrightarrow{\omega}$•Î•$\overrightarrow{\omega}$=½(I₁₁ω₁²+I₂₂ω₂²+I₃₃ω₃²) lub: T=$\frac{L_{1}^{2}}{{2I}_{11}}$+$\frac{L_{2}^{2}}{{2I}_{22}}$+$\frac{L_{3}^{2}}{{2I}_{33}}$ gdy obra się względem jednej osi otrzymamy: T=$\frac{}{\omega^{2}}$. Równanie Dynamiki Ruchu Obrotowego: $\overrightarrow{M}$=$\frac{d\overrightarrow{L}}{\text{dt}}$, dla bryły sztywenej $\overrightarrow{L}$=Ε$\overrightarrow{\omega}$, mamy więc $\overrightarrow{M}$=$\frac{d\overrightarrow{L}}{\text{dt}}$=$\frac{d(I \overrightarrow{\omega)}}{\text{at}}$=Î$\frac{d\overrightarrow{\omega}}{\text{dt}}$=Î$\overrightarrow{\varepsilon}$ ostrzymaliśmy inną postać II Zasady Dynamiki Ruchu Obrotowego: $\overrightarrow{M}$=Ε$\overrightarrow{\varepsilon}$ gdzie $\overrightarrow{\varepsilon}$=$\frac{d\overrightarrow{L}}{\text{dt}}$. Postulaty Szczególnej Względności: 1)Prawa fizyki są takie smae we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. 2)Prędkość światła Cjest stała i nie zależy od prędkości źródła. Transformacje Lorenza: W chwili początkowej t=t₀=0, początki obu układów pokrywają się. Punkt x porusza się razem z układem (x`y`z`) wzory opisujące przejście z układu 0 do 0`: x`=$\frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v}{c}}}$; y`=y; z`=z t`=$\frac{t - \frac{v}{cx}}{\sqrt{1 - \frac{v}{c}}}$. Relatywistyczne Składanie Prędkości: v=$\frac{v_{1} + v2}{1 + \frac{v_{1v_{2}}}{c2}}$; Dylatacja Czasu: t`=γ(t-$\frac{\beta}{c}$x), x`=γ(x-vt) oraz t=γ(t`+$\frac{\beta}{c}$x`), x=γ(x`+vt`). Relatywistyczne Skrócenie Czasu: Zakładając, że t`=0 pomiar długości czyli: x`=$\frac{x}{\gamma}$ lub L=$\frac{L_{0}}{\gamma}$=L₀$\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$. Masa, Pęd relatywistyczny: zależy od prędkości układu [m] masy mogą byś różne, ale nie są one niezależne od siebie związek między nimi to: m=$\frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$=γm₀. Pęd jest to funkcja prędkości. Jeżeli działa stała, przyśpiesza: $\overrightarrow{p}$=mv=$\frac{m_{0v}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$=γm₀v

Energia Relatywistyczna: Przekształcając równanie masy relatywistycznej ptrzymamy: m²c²=m₀²c⁴+m²v²c² to po lewej stronie mamy: p²c²=m²v²c² i ma wymiar energii => E²=m²c => E²=m₀²c⁴+p²c² => związek między energią, masą i pędem E to całkowita energia. Człon T²=p²c² to kwadrat energii kinetycznej, m₀²c⁴- niezmiennik. Czyli prowadzi do E=m₀c². Deficyt Masy: Definiujemy jako m=Zm_p+(A-Z)m_n-M_J - zgodnie z E=m₀c² => E=mc². Reakcja Rozpadu: Jądro Urano po trafieniu neutronem staje się niestabilne i rozpada się na dwa jądra potomne, pewną liczbę cząstek oraz ogromną ilość energii. Reakcja jest spontaniczna. Jeśli stężenie Uranu jest dość wysokie aby wytworzone neutrony trafiły w kolejne jądra Uranu, wtedy następuje reakcja łańcuchowa, która będzie trwać dopóki będą jądra Uranu. Nie da się zatrzymać. Prawo Coulomba: Dwa ładunki q₁, q₂ odległe od siebie o r: $\overrightarrow{F}$=k$\frac{q_{1q_{2}}}{r^{3}}\hat{r}$=k$\frac{q_{1q_{2}}}{r^{3}}\overrightarrow{r}$ gdzie k=$\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}$=8,988x$10^{- 9}\left\lbrack \frac{N^{2}m^{2}}{c^{2}} \right\rbrack$ stała Coulomba, w próżni przyjmie postać: $\overrightarrow{F}$=$\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_{1}q_{2}}{r^{3}}\overrightarrow{r}$; w ośrodku różnym od próżni: ε=ε₀ε_r, między elektrycznymi i magnetycznymi właściwościami próżni a prędkością światła: c=$\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0\mu_{0}}}}$. Pole Elektryczne: definiuje się jako siłę na jednostę ładunku: $\overrightarrow{F}$=q•$\overrightarrow{E}$; $\overrightarrow{E}$=$\frac{\overrightarrow{E}}{q}$, w przypadku gdy ładunki są nieruchome. Jeśli się poruszają wtedy $\overrightarrow{F}$=q($\overrightarrow{E}$+$\overrightarrow{v}$xB), przy wielu ładunkach całkowite pole elektryczne jest równe: $\overrightarrow{E}$=$\overrightarrow{E_{1}}$+$\overrightarrow{E_{2}}$+$\overrightarrow{E_{3}}$+...=$\sum_{i}^{}\overrightarrow{E}$. Przy praktycznie nieskończonej liczbie ładunków: $\overrightarrow{E}$=$\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{}^{}\frac{\rho}{r^{2}}\hat{r}$d³$\hat{r}$. Natężenie Pola Elektrycznego: spełnia prawo odwrotności odległości: E$\approx \frac{1}{r^{2}}$. Potencjał Pola Elektrycznego: Jest polem wektorowym, ale róznież skalarnym. Praca wykonana przez pole elektryczne nie zależy od drogi lecz od położenia punktu początkowego i końcowego. Dlatego praca wykonana dla drogi zamkniętej =0; $\oint_{}^{}\overrightarrow{F}$d$\overrightarrow{r}$=q$\oint_{}^{}\overrightarrow{E}$d$\overrightarrow{r}$=0. Energia potencjalna w punkcie $\overrightarrow{r}$, czyli U($\overrightarrow{r}$) definiujemy jako: U($\overrightarrow{r}$)=$\int_{r}^{\infty}\overrightarrow{F}$dr=q $\int_{r}^{\infty}\overrightarrow{E}$d$\overrightarrow{r}$=-q $\int_{\infty}^{r}\overrightarrow{E}$d$\overrightarrow{r}$. Prawo Gaussa: Stosowane dla pola grawitacyjnego oraz pola elektrycznego. Strumień pola elektrycznego w ośrodku przenikalności elektrycznej ośrodka ε definiujemy: φ_E=$\overrightarrow{E}$•$\overrightarrow{A}$=E•Acosα($\overrightarrow{E}$,$\overrightarrow{A}$), przy dowolnej powierzchni: φ_E=$\oint_{}^{}\overrightarrow{E}$d$\overrightarrow{A}$=$\frac{1}{\varepsilon}\oint_{A}^{}\overrightarrow{D}$d$\overrightarrow{A}$; postać całkowita: φ_E=$\oint_{}^{}\overrightarrow{E}$d$\overrightarrow{A}$=$\frac{1}{\varepsilon}$ ∫_vρ(r)dv=$\frac{Q}{\varepsilon}$; różniczkowa: div$\overrightarrow{D}$=ρ(r) lub div$\overrightarrow{E}$=$\frac{\rho(r)}{\varepsilon 0\varepsilon}$. Prawo Gaussa Dla Pola megnetycznego: $\int_{A}^{}\overrightarrow{B}$d$\overrightarrow{A}$=0 lub div$\overrightarrow{B}$=0. Strumień indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy 0, pole magnetyczne jest polem bezźródłowym. Dipol Elektryczny: układ dwóch ładunków: +q, -q odległych o stałą odległość d. Prąd Elektryczny: (Prawo Ohma) W pewnej grupie wektorów, zwanych przewodnikami, przyłożone jest pole elektryczne które wywołuje przepływ elektronów zgodnie z różnicą potencjałów: U-I•R. Związek między napięciem a natężeniem prądu: I=$\frac{U}{Z}$. Prąd elektryczny, wielkość zwana natężeniem prądu elektrycznego równa: I=$\frac{\text{dQ}}{\text{dt}}$. Kondensator: Magazynuje energię w postaci pola elektrycznego. Praca przy umieszczeniu ładunku wynosi: dW=Udq=CudU => energia kondensatora o pojemności C i napięciu U=E=C∫₀^UUdU=½CU ²=½QU =$\frac{a^{2}}{2C}$, kondensator płaski: C=$\varepsilon 0\varepsilon\frac{S}{d}$, kulisty: C=4$\pi\varepsilon 0\varepsilon\frac{R_{1R_{2}}}{R_{1 - R_{2}}}$. Pole Magnetyczne: (Prawo Lorenza) siły działające na cząstkę o ładunku q poruszają się w polu elektrycznym i magnetycznym: $\overrightarrow{F}$=q($\overrightarrow{E}$+$\overrightarrow{v}$x$\overrightarrow{B}$). Indukcja pola magnetycznego jest proporcjonalna dla odległości: B=$\frac{\mu 0}{2\pi}$ $\frac{I}{r}$. Prawo Ampera: Krążenie pola magnetycznego przez powierzchnię wyznaczoną przez tenże kontur l. ∮Hdl=$\sum_{}^{}\text{Li}$. Dipol Magnetyczny: pole magnetyczne wytworzone przez obwód kołowy, w którym płynie prąd I moment magnetyczny: $\overrightarrow{\mu}$=I•$\overrightarrow{A}$. Na dipol magnetyczny działa moment siły: $\overrightarrow{M}$=$\overrightarrow{\mu}$x$\overrightarrow{B}$. Energia potencjalna: U=-$\overrightarrow{\mu}$•$\overrightarrow{B}$. Prawo Indukcji Faradaya: Cyrkulacja pola elektrycznego: $\int_{A}^{B}\overrightarrow{E}$d$\overrightarrow{l}$=∫_A^BEcos($\overrightarrow{E}$,d$\overrightarrow{l}$)dl; prawo Faradaya mówi, że cyrkulacja pola elektrycznego wywołana jest zmianą pola magnetycznego: $\oint_{}^{}\overrightarrow{E}$d$\overrightarrow{l}$=-$\frac{d\varphi_{B}}{\text{dt}}$ po podstawieniu otrzymamy: $\oint_{C}^{}\overrightarrow{E}$d$\overrightarrow{l}$=-$\frac{d}{\text{dt}}$ $\int_{A}^{}\overrightarrow{B}$d$\overrightarrow{A}$ albo różniczkowa rot$\overrightarrow{E}$=-$\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial L}$. Indukcja Własna: Jeśli prąd przepływający przez uzwojenie zmienia się to strumień pola magnetycznego równa się: ε_SEM=-N$\frac{d\varphi_{B}}{\text{dt}}$, ostatecznie: ε_SEM=-L$\frac{\text{dl}}{\text{dt}}$. Indukcja Wzajemna: Zmiana prądu w jednej cewce może powodować indukowanie siły elektromotorycznej SEM w drugiej. Strumień przechodzący przez drugą jest proporcjonalnt do zmiany prądu w pierwszej (i na odwrót) ε₁=-$M_{12}\frac{\text{dl}_{2}}{\text{dt}}$; ε₂=-$M_{21}\frac{\text{dl}}{\text{dt}}$. Równania Maxwella: I Prawo Gaussa (dla pola elektrycznego) div$\overrightarrow{D}$=ρ; $\oint_{A}^{}\overrightarrow{D}$dA=Q; II Prawo Gaussa )dla pola magnetycznego) div$\overrightarrow{B}$=0; $\oint_{A}^{}\overrightarrow{D}$dA=0; III Prawo Faradaya: rot$\overrightarrow{E}$=$\frac{\partial B}{\partial t}$; $\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}$d$\overrightarrow{l}$=-$\frac{d}{\text{dt}}$ $\int_{A}^{}\overrightarrow{B}$d$\overrightarrow{A}$; IV Prawo Ampera: (uzupełnione przez Maxwella) rot$\overrightarrow{H}$=$\overrightarrow{j}$+$\frac{\partial D}{\partial t}$; $\oint_{l}^{}\overrightarrow{H}$d$\overrightarrow{l}$=$\int_{A}^{}\overrightarrow{j}$d$\overrightarrow{A}$+$\int_{A}^{}\frac{\partial D}{\partial t}$d$\overrightarrow{A}$