ICH-DI 04.04.2014r.

Ćw. nr 32

Badanie pola magnetycznego solenoidu

Agnieszka Nocoń

L2

I. Wstęp teoretyczny

Indukcja magnetyczna

Wartość siły F działającej na ładunek elektryczny q poruszający się w polu magnetycznym z prędkością V prostopadłą do kierunku linii pola jest wprost proporcjonalna do iloczynu ładunku q i prędkości V a jej kierunek jest prostopadły zarówno do kierunku linii pola jak i do kierunku prędkości.

F = B q V

F = B q V sin a

F = q (B V sin a )

Współczynnik proporcjonalności B charakteryzuje właściwości pola magnetycznego i nosi nazwę indukcji magnetycznej.

Jeśli na znajdujący się w określonym punkcie pola magnetycznego ładunek elektryczny q poruszający się z prędkością V działa siła F prostopadła do kierunku prędkości to w tym punkcie istnieje pole magnetyczne o indukcji B, której kierunek jest prostopadły do wektorów V i F, zwrot tego wektora jest zgodny ze zwrotem linii pola.

B = F / V * q

[ B ] = 1 T (tesla)

1 T = 1N / 1m/s* 1C = 1N*s / 1C*m

Prawo Biota - Savarta - Laplace'a

Element o bardzo małej długości Dl przewodu wiodącego prąd I wytwarza w dowolnym punkcie pole magnetyczne o elementarnej indukcji magnetycznej DB = m * I * Dl * sina / 4P * r^2 lub B = m * I / 2Pr

m - przenikalność magnetyczna bezwzględna, charakteryzuje właściwości magnetyczne środowiska.

m = 2rB / I

[ m ] = m * T / A

m = m_o * m_r

gdzie:

m_o - przenikalność magnetyczna próżni

m_r - przenikalność magnetyczna względna - jest to liczba wskazująca ile razy przenikalność magnetyczna danego ośrodka jest większa lub mniejsza od przenikalności magnetycznej próżni.

Prawo Ampère'a

. (1)

Współczynnik proporcjonalności zwany jest przenikalnością magnetyczną próżni. Równanie to nosi nazwę prawa Ampère'a.  Oczywiście, całka w tym równaniu  ma wartość zero, jeśli w przewodniku obejmowanym przez dany kontur prąd nie płynie lub kiedy kontur nie obejmuje przewodnika.

Prawo Ampère'a umożliwia łatwe wyznaczenie wartości wektora indukcji magnetycznej w zadanej odległości od nieskończenie długiego przewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu I. W tym celu obliczamy całkę po okręgu o promieniu r współśrodkowym z przewodnikiem. Otrzymamy

.

Skorzystaliśmy tu z faktu, że  wektory i są w tym przypadku zawsze do siebie równoległe, bo linie wektora indukcji są okręgami współśrodkowymi z przewodnikiem tak samo jak kontur po którym wykonujemy całkowanie. 

Wartość wektora indukcji w odległości r od przewodnika wynosi więc

.

Wektor ten jest styczny w danym punkcie do okręgu,  po którym wykonane zostało całkowanie. 

Pole magnetyczne solenoidu

Widzimy, że pola pomiędzy sąsiednimi zwojami kompensują się, natomiast pola od strony wewnętrznej  i na zewnątrz solenoidu  dodają się. Pole wewnątrz i na zewnątrz jest symetryczne względem osi solenoidu. Kierunek wektora indukcji magnetycznej pokrywa się z kierunkiem tej osi.

Rys 1. Pole magnetyczne solenoidu; strzałki niebieskie  pokazują kierunek pola magnetycznego; ramki i strzałki zielone - obwody po których liczymy cyrkulację

Rysunek 1. przedstawia w przekroju fragment solenoidu który będziemy traktować jako nieskończenie długi.  Dla wyznaczenia wartości wektora  indukcji skorzystamy z prawa Ampere'a obliczając całkę z wektora wzdłuż zamkniętego konturu zgodnie ze wzorem (1). Dla uproszczenia naszych rozważań nadamy konturowi postać prostokątnej ramki, której boki a i c ułożone są równolegle do osi solenoidu, a boki b i d są do tej osi prostopadłe. Zauważamy natychmiast, że całka ta liczona zarówno dla ramki znajdującej się całkowicie wewnątrz solenoidu jak i dla tej na zewnątrz równa jest zeru, bowiem w obu przypadkach ramki nie obejmują przewodników z prądem. (Co nie znaczy bynajmniej, że nie ma tam pola magnetycznego.) Zauważany też, że wkład do całki od boków b i d jest we wszystkich przypadkach równy zeru, bowiem wektor jest prostopadły do tych boków i iloczyn skalarny we wzorze (1) równy jest zeru. Wynika z tego bardzo ważny wniosek. Wkłady od boków a i c kompensują się wewnątrz i na zewnątrz solenoidu co oznacza, że panuje tam jednorodne pola magnetyczne. 

Wniosek ten zawiera faktycznie dwa stwierdzenia. Pierwsze, że pole magnetyczne w całej przestrzeni wewnątrz solenoidu jest jednorodne, czyli takie samo co do wartości i kierunku. Drugie, że pole w całej przestrzeni zewnętrznej też jest jednorodne. Brzmi to paradoksalnie, bowiem przestrzeń ta rozciąga się do nieskończoności. Oczekiwalibyśmy raczej, że pole zmniejsza się ze wzrostem odległości od solenoidu. Co więcej - pamiętamy, że linie wektora indukcji magnetycznej są  zamknięte i ten sam skończony strumień przenika przez ograniczoną powierzchnię przekroju poprzecznego wewnątrz solenoidu, co i przez nieskończoną powierzchnię wokół solenoidu na zewnątrz. Oba te warunki mogą być spełnione równocześnie tylko wtedy, kiedy  pole magnetyczne na zewnątrz solenoidu równe jest zeru. 

Pamiętajmy jednak, że rozważamy tu solenoid o nieskończonej długości. W rzeczywistych solenoidach o długościach skończonych występują też składowe pola wzdłuż boków b i d. Pole na zewnątrz rzeczywistego solenoidu nie jest więc dokładnie równe zeru, choć znacznie mniejsze niż wewnątrz. Wartość tego pola zależna od położenia punktu względem osi i środka solenoidu.

Powróćmy do wyznaczenia wartości indukcji magnetycznej wewnątrz solenoidu o nieskończonej długości. W tym celu umieśćmy ramkę tak by jej bok a znajdował się wewnątrz solenoidu, a bok c na zewnątrz. Wiemy już teraz, że niezerowy wkład wnosi wyłącznie bok a.

Przyjmijmy, że na jednostkę długości solenoidu przypada n zwojów. W takim przypadku wzór (1) sprowadza się do całkowania wzdłuż tego tylko boku w rezultacie czego otrzymujemy wzór na wartość wektora indukcji magnetycznej wewnątrz solenoidu . Pole magnetyczne wewnątrz solenoidu proporcjonalne jest do natężenia prądu i gęstości zwojów solenoidu. Ten prosty wzór obowiązuje ściśle dla solenoidu o nieskończonej długości. W praktyce, przybliża on nieźle wartość indukcji pola magnetycznego  punktach znajdujących się w środkowej części solenoidów o długościach skończonych.

II. Metodologia wykonania pomiarów

1. Ustawić wskazany przez prowadzącego solenoid na stoliku pomiarowym.

2. Połączyć układ pomiarowy według schematu.
   Włączyć teslomierz. Ustawić zakres pomiarowy 20mT i wyzerować wskazania.

3. Umieścić sondę w osi cewki.

4. Włączyć zasilacz (nie przekraczać wartości natężenia prądu 1A)

5. Zmierzyć rozkład indukcji magnetycznej wzdłuż osi cewki B = f(x) zmieniając położenie sondy co 0,5cm dla stałej wartości prądu aż do osiągnięcia wartości B = 0.

6. Ustawić sondę w środku cewki i zbadać zależność B = f(i) indukcji magnetycznej od natężenia prądu zmieniając prąd co 0,1A.

7. Ustawić na stoliku cewkę zawierającą różne ilości zwojów .Umieścić sondę w środku cewki i wyznaczyć zależność indukcji magnetycznej od ilości zwojów cewki B = f(z) .Pomiary wykonać dla ustalonej wartości natężenia prądu.

III. Tabela pomiarowa.

L.p.	I [A]	x [cm]	B(x) [mT]	I [A]	B(I) [mT]	I [A]	z	B (z) [mT]
1	0,8	0	3,35	1	10,74	1	20	0,07
2		1	4,8	0,9	9,75		30	0,26
3		2	6,1	0,8	8,69		60	0,64
4		3	7,32	0,7	7,71		150	1,5
5		4	8,39	0,6	7,54
6		5	8,58	0,5	6,53
7		6	7,2	0,4	5,4
8		7	4,8	0,3	4,24
9		8	2,84	0,2	3,18
10		9	1,66	0,1	2,05
11		10	1	0	0,15
12		11	0,62
13		12	0,4
14		13	0,26
15		14	0,17
16		15	0,1
17		16	0,06
18		17	0,03
19		18	0,01
20		19	0

B = ±0, 15mT ∖ nI = ±0, 1mA

$${u\left( B \right) = \frac{0,15\ mT}{\sqrt{3}} = 0,09\ mT\backslash n}\backslash n\backslash n\backslash n\backslash n$$