Całka nieoznaczona.

Poszukiwanie funkcji F(x), gdy znana jest jej pochodna F’(x)=f(x)
nazywa się całkowaniem. Szukaną funkcję określoną i ciągłą w przedziale I nazywa się funkcją pierwotną funkcji f(x). Dla danej funkcji ciągłej y=f(x) istnieje nieskończenie

wiele funkcji pierwotnych, róŜniących się między sobą tylko stałą c:

[F(x)+c]’=F’(x)= f(x)

Definicja 1

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji nazywamy całką nieoznaczoną tej funkcji i oznaczamy symbolem

∫f (x)dx = F(x)+ c

Funkcję f(x) nazywamy funkcją podcałkową, a c-stałą całkowania.

Twierdzenia o całkowaniu

Jeżeli funkcje f(x) i g(x) mają funkcje pierwotne, to

∫(f (x)± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx

∫af (x)dx = a∫ f (x)dx ∧ a ∈ R

∫F'(x)dx=F(x)+c, c∈R

Całka oznaczona

Twierdzenie Newtona-Leibnitza.
JeŜeli funkcja jest ciągła w przedziale <a,b>, natomiast F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x) w tym przedziale to

Różnicę F(b)-F(a) zapisujemy także w postaci:

Twierdzenie to możemy traktować jako definicję całki oznaczonej w odniesieniu do funkcji ciągłej w przedziale <a,b>.

W oparciu o powyższe twierdzenie można sformułować algorytm postępowania przy obliczaniu całki oznaczonej.


1 krok-

obliczamy całkę nieoznaczoną (F(x)),

2 krok-

obliczamy różnicę wartości dowolnej funkcji pierwotnej (np. dla c=0) w górnej i dolnej granicy całkowania

Ważne twierdzenia

Jeżeli g(x) jest całkowalna w przedziale domkniętym <a,b> oraz

to funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale domkniętym <a,b>

Funkcja nieograniczona w przedziale <a,b> nie jest całkowalna

Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale domkniętym <a,b>, to jest całkowalna w każdym przedziale częściowym <α, β> ⊂<a, b>.

Własności całek oznaczonych

1. Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale domkniętym <a, b>, to funkcje: f(x)+g(x), oraz f(x) g(x) są również całkowalne w przedziale domkniętym <a,b>, przy czym

2. Jeżeli funkcja jest całkowalna w przedziale

domkniętym <a,b> i c∈<a, b> (c jest punktem wewnętrznym przedziału <a, b> , to

3. Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w

przedziale <a, b>, to funkcja αf(x), gdzie α jest dowolną stałą rzeczywistą, jest także całkowalna w przedziale <a, b>, oraz

4. Jeżeli funkcja f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale <a, b>, to również różnica tych funkcji f(x)-g(x) jest funkcją całkowalną w tym przedziale oraz

5. Jeżeli f(x) jest funkcją całkowalną i ograniczoną (m ≤ f(x) ≤ M ), w przedziale <a, b>

6. Jeżeli f(x) jest całkowalna w przedziale domkniętym <a, b>, to

7. Jeżeli f(x) jest ciągła w przedziale <a, b>, to

istnieje taka liczba c∈(a,b), że

definicja

Wyrażenie

nazywamy wartością średnią funkcji f(x) w

przedziale <a, b>

8. Jeżeli f(x) jest całkowalna w przedziale <a, b> to

9 Jeżeli granica całkowania górna i dolna jest taka sama to