Sprawozdanie z ćwiczenia nr 57
Temat: Badanie efektu Halla.
Wstęp teoretyczny:
Efekt Halla polega on na wystąpieniu różnicy potencjałów w przewodniku, w którym płynie prąd elektryczny, gdy przewodnik znajduje się w poprzecznym do płynącego prądu polu magnetycznym. Jeżeli płytkę z metalu włączymy w obwód prądu stałego i umieścimy w polu magnetycznym , którego wektor indukcji B jest prostopadły do powierzchni płytki i do kierunku płynącego prądu elektrycznego , to między punktami A i B wytworzy się różnica potencjałów UH , zwana napięciem Halla , lub zjawiskiem galwanometrycznym.
Załóżmy , że nośnikami prądu są elektrony. Jeżeli do punktów C i D przyłożymy napięcie , to w razie braku pola magnetycznego przez próbkę będzie płynąc prąd o natężeniu I. Wytworzone w próbce pole elektryczne o natężeniu Ex będzie skierowane zgodnie z kierunkiem płynącego prądu , natomiast elektrony poruszać się będą w kierunku przeciwnym polu z prędkością Vx. Gęstość prądu płynącego przez płytkę jest określona wzorem :
j = e • n • Vx
Natężenie prądu „I” można określić jako iloczyn gęstości prądu „j” i powierzchni „S” prostopadłej do wektora gęstości prądu „j”, czyli :
I = e • n • Vx • a • d
W obecności pola magnetycznego o indukcji „B” , na elektrony poruszające się w tym polu z prędkością „Vx” , działa siła Lorentza :
FL = −e • Vx • B
Tak więc każdy elektron w płytce , poruszający się z prędkością „Vx” , zostaje odchylony od swego początkowego kierunku ruchu zgodnie z powyższym wzorem. Wskutek zmiany torów elektrony gromadzą się na jednej krawędzi płytki , natomiast na drugiej wytwarza się niedobór elektronów. Dzięki temu powstaje pole elektryczne o natężeniu :
$$E_{y} = \frac{U_{H}}{a}$$
Proces gromadzenia się ładunków trwa tak długo , aż powstałe pole poprzeczne „Ey” , działające na elektrony z siłą :
Fy = −eEy
zrównoważy siłę Lorentza , czyli:
Fy = FL
Pamiętając , że wektory „Vx” oraz „B” są do siebie prostopadłe oraz korzystając z powyższych zależności , otrzymujemy wyrażenie określające napięcie Halla :
UH = γ • I • B
gdzie:
$$\gamma = \frac{1}{e \bullet n \bullet d}$$
Mierząc natężenie prądu „I” płynącego przez płytkę , napięcie Halla „UH” oraz znając współczynnik , można wyznaczyć indukcję magnetyczną „B”.
Cel ćwiczenia:
Wyznaczenie charakterystyki hallotronu. Wyznaczenie czułości hallotronu. Wyznaczenie koncentracji elektronów swobodnych.
Tabela pomiarów:
| Is[mA] | Im[mA] | UH[V] | ∆ UH[V] | B[mA] |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 20 | 0,0102 | 0,0001051 | 68,79 |
| 6 | 0,0139 | 0,0001070 | ||
| 8 | 0,0190 | 0,0001095 | ||
| 10 | 0,0257 | 0,0001129 | ||
| - | - | 0,0172 | 0,0001086 | - |
| 4 | 40 | 0,0194 | 0,0001097 | 136,39 |
| 6 | 0,0269 | 0,0001135 | ||
| 8 | 0,0358 | 0,0001179 | ||
| 10 | 0,0448 | 0,0001224 | ||
| - | - | 0,0317 | 0,0001159 | - |
| 4 | 60 | 0,0287 | 0,0001144 | 203,00 |
| 6 | 0,0408 | 0,0001204 | ||
| 8 | 0,0547 | 0,0001274 | ||
| 10 | 0,0693 | 0,0001347 | ||
| - | - | 0,0484 | 0,0001242 | - |
| 4 | 80 | 0,0375 | 0,0001188 | 271,59 |
| 6 | 0,0513 | 0,0001257 | ||
| 8 | 0,0683 | 0,0001342 | ||
| 10 | 0,0853 | 0,0001427 | ||
| - | - | 0,0606 | 0,0001304 | - |
| 4 | 100 | 0,0458 | 0,0001229 | 339,19 |
| 6 | 0,0643 | 0,0001322 | ||
| 8 | 0,0856 | 0,0001428 | ||
| 10 | 0,1067 | 0,0001534 | ||
| - | - | 0,0756 | 0,0001304 | - |
| 4 | 120 | 0,0537 | 0,0001269 | 406,79 |
| 6 | 0,0729 | 0,0001365 | ||
| 8 | 0,0971 | 0,0001486 | ||
| 10 | 0,1221 | 0,0001611 | ||
| - | - | 0,0865 | 0,0001433 | - |
| 4 | 140 | 0,0605 | 0,0001303 | 474,39 |
| 6 | 0,0825 | 0,0001413 | ||
| 8 | 0,1100 | 0,0001550 | ||
| 10 | 0,1372 | 0,0001686 | ||
| - | - | 0,0976 | 0,0001488 | - |
| 4 | 150 | 0,0641 | 0,0001321 | 508,19 |
| 6 | 0,0874 | 0,0001437 | ||
| 8 | 0,1166 | 0,0001583 | ||
| 10 | 0,1457 | 0,0001729 | ||
| - | - | 0,1035 | 0,0001518 | - |
UH = 0, 0005 • UH + 0, 0001 = 0, 0001326 [V]
$$I_{s} = \frac{0,5 \bullet 30}{100} = 0,15\lbrack mA\rbrack$$
$$I_{m} = \frac{0,5 \bullet 150}{100} = 0,75\lbrack mA\rbrack$$
Czułość hallotronu:
$$\gamma = \frac{U_{H}}{I_{s} \bullet B} = \frac{0,06514}{0,0005} = 130,28\ \lbrack\frac{V}{A \bullet T}\rbrack$$
Błąd czułości hallotronu:
$$\gamma = \gamma \bullet \left( \frac{U_{H}}{U_{H}} + \frac{I_{m}}{I_{s}} + \frac{B}{B} \right) = 130,28 \bullet \left( 0,0020218 + 0,107429 + 0,02 \right) = 16,86485 \approx 16,865\ \lbrack\frac{V}{A \bullet T}\rbrack$$
Koncentracja elektronów:
$$n = \frac{1}{1,6 \bullet 10^{- 19} \bullet 16,865 \bullet 0,05} = 0,74118 \bullet 10^{19}\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$
Niepewność koncentracji elektronów:
$$n = n \bullet \left( \frac{\gamma}{\gamma} + \frac{d}{d} + 1 \right) = 0,74118 \bullet 10^{19 \bullet}\left( 0,1294519 + 0,05 + 1 \right) \approx 8,742 \bullet 10^{18}\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$
Wykres:
Wykres zależności UH=f(B) przy Is=const.:
Wartości a i b wyznaczone za pomocą programu regresji liniowej.
a=1,226∙10-4± 2,697∙10-6
b=3,089∙10-3± 9,056∙10-4
$$\gamma = \frac{1,226 \bullet 10^{- 4}}{4} = 0,307 \bullet 10^{- 4}$$
a=1,66∙10-4± 5,067∙10-6
b=5,033∙10-3± 1,702∙10-3
$$\gamma = \frac{1,66 \bullet 10^{- 4}}{6} = 0,277 \bullet 10^{- 4}$$
a=2,206∙10-4± 6,548∙10-6
b=6,979∙10-3± 2,199∙10-6
$$\gamma = \frac{2,206 \bullet 10^{- 4}}{8} = 0,276 \bullet 10^{- 4}$$
a=2,727∙10-4± 7,772∙10-6
b=1,002∙10-2± 2,610∙10-3
$$\gamma = \frac{2,727 \bullet 10^{- 4}}{10} = 0,273 \bullet 10^{- 4}$$
Analiza niepewności pomiarowych i wnioski:
Przeprowadzone ćwiczenie potwierdziło założenia teoretyczne. Wyznaczone czułości hallotronu w różnych pomiarach, pokrywają się Błędy wyznaczenia czułości przy poszczególnych pomiarach wyznaczone były na podstawie błędów obliczonych z klas przyrządów. Niedokładność obliczeń może wynikać z założonych przybliżeń.