CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

Ważną rolę w automatyce odgrywa znajomość właściwości dynamicznych zarówno obiektu automatyzowanego, jak i całego układu regulacji. Właściwości te mogą być przedstawione za pomocą charakterystyk dynamicznych. Badanie własności obiektu ( identyfikacja ) odbywa się za pomocą różnych sygnałów wymuszających. Zależnie od rodzaju sygnału użytego do badania dynamiki wyróżnia się :

• charakterystyki skokowe,

• charakterystyki impulsowe,

• charakterystyki częstotliwościowe.

Charakterystyki skokowe lub impulsowe, pomimo dużej prostoty w badaniu i łatwości opracowania wyników, nie zawsze dają trafne oszacowania właściwości dynamicznych obiektu.

Aby uzyskać charakterystykę częstotliwościową należy wykonać wiele eksperymentów, z których każdy polega na wprowadzeniu na wejście obiektu sinusoidalnych zmian wielkości wejściowych o stałej częstotliwości i ustalonej amplitudzie. Sygnał wyjściowy będzie wtedy przebiegiem również sinusoidalnym, lecz o innej amplitudzie i przesunięty w fazie. Z każdego eksperymentu uzyskuje się dane dla jednego punktu charakterystyki częstotliwościowej.

Badania częstotliwościowe są czasochłonne, pozwalają jednak uzyskać najdokładniejsze informacje o właściwościach badanego obiektu w założonym paśmie częstotliwości bez konieczności zmiany punktu pracy obiektu w trakcie badań.

Warto dodać, że sygnał wejściowy nie musi być wiernym odwzorowaniem sinusoidy.

11.1. Badania częstotliwościowe

Jeśli na wejście obiektu zostanie wprowadzony sygnał sinusoidalny o amplitudzie A₁ oraz częstotliwości f, to na wyjściu obiektu liniowego, po krótkotrwałym przebiegu przejściowym, ustala się sygnał również sinusoidalny o takiej samej częstotliwości jak sygnał wejściowy, ale o innej amplitudzie A₂ i przesunięty w fazie o kąt (rys11.1).

Rys.11.1. Przebiegi sygnału wejściowego i wyjściowego podczas badania obiektu metodą częstotliwościową.

Sygnał wejściowy sinusoidalny o równaniu:

wywołuje sygnał wyjściowy sinusoidalny o równaniu:

(11.1)

gdzie:

A₁ , A₂ – amplitudy sygnału wejściowego i wyjściowego,

ω = 2πf- pulsacja sygnałów, [rd/s]

f - częstotliwość sygnałów, [Hz], f =1/T

T – okres sygnału sinusoidalnego, [s]

ϕ(ω)- przesunięcie fazowe: (patrz rys.11.1).

W analizie częstotliwościowej rozpatruje się tylko składowe zmienne sygnałów: wejściowego i wyjściowego (ich wahania wokół wartości średnich ).

Istotnym pojęciem w metodzie częstotliwościowej jest tzw. transmitancja widmowa Jest ona funkcją zespoloną pulsacji

(11.2)

Transmitancja widmowa dla wybranego daje się przedstawić jako punkt na płaszczyźnie zespolonej w zapisie kartezjańskim

(11.3)

lub biegunowym

(11.4)

gdzie:

- moduł transmitancji widmowej

-faza (argument transmitancji widmowej)-(patrz rys.11.1 i 11.2).

Rys.11.2. Przedstawienie wybranego punktu transmitancji widmowej na płaszczyźnie liczb zespolonych

Na podstawie wzoru Eulera wyrażenie w nawiasie we wzorze (11.4)

(11.5)

Można więc wzór (11.4) dla transmitancji widmowej przedstawić w postaci

(11.6)

gdzie moduł można wyznaczyć na podstawie wzorów (11.1) i (11.2), jako iloraz amplitud sygnałów sinusoidalnych.

(11.7)

Z eksperymentów częstotliwościowych otrzymuje się wartości modułu M (zilorazu amplitudy wyjściowej do wejściowej) oraz przesunięcie fazowe (fazę) dla wybranych wartości pulsacji. W praktyce wyniki tych eksperymentów przedstawia się albo łącznie na płaszczyźnie liczb zespolonych ( tzw. charakterystyka amplitudowo-fazowa), albo w postaci tzw. wykresu Blacka ( we współrzędnych prostokątnych, rys.11.7-11.10 [2]), albo rozłącznie w postaci charakterystyk amplitudowo-fazowych oraz fazowo- częstotliwościowych.

Istnieje ścisły związek między transmitancją widmową i transmitancją operatorową:

(11.8)

Przykłady

Przykład 1.

Człon inercyjny pierwszego rzędu o transmitancji operatorowej:

ma transmitancję widmową:

gdzie:

Moduł transmitancji widmowej określony ze wzoru (11.4) ma postać:

; a fazę

Jest to zapisane biegunowo równanie połowy koła o środku w punkcie o współrzędnych (k/2,0) patrz rys11.3.

Rys11.3. Charakterystyka amplitudowo- fazowa na płaszczyźnie liczb zespolonych dla członu inercyjnego pierwszego rzędu.

Logarytmiczna charakterystyka modułu ma postać ( z definicji )

(11.9)

Dla inercji pierwszego rzędu:

(11.10)

patrz rys.11.4.

Ponieważ

więc:

(11.11)

Charakterystyce dokładnej (11.10) odpowiada więc przybliżona charakterystyka (11.11), składająca się z dwóch asymptot: poziomej na wysokości i ukośnej o pochyleniu - 20 dB/dek (decybeli na dekadę).

Rys.11.4. Charakterystyki: amplitudowo-częstotliwościowa L(ω)- Magnitude (dB)- oraz fazowo-częstotliwościowa - Phase(deg)- dla członu inercyjnego 1 rzędu o transmitancji: ; k=10 ; T₁=10, s.

Punkt przecięcia tych asymptot występuje przy pulsacji . Własność ta umożliwia wyznaczenie stałej czasowej T₁ członu inercyjnego pierwszego rzędu. Współczynnik wzmocnienia k wynika z wysokości asymptoty poziomej .

Faza zmienia się od 0 do –90 stopni kątowych (π/2 radianów).

Przykład 2.

Obiekt inercyjny trzeciego rzędu o transmitancji operatorowej:

jest szeregowym połączeniem trzech członów inercyjnych z poprzedniego przykładu, więc:

=

stąd

oraz

Z własności logarytmów, że logarytm iloczynu równa się sumie logarytmów:

Jak widać, dla szeregowo połączonych członów charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe i fazowo-częstotliwościowe powstają jako wynik sumowania charakterystyk składowych. Charakterystyki te dla obiektu inercyjnego trzeciego rzędu o jednakowych stałych czasowych T₁ przedstawiono na rys.11.5. Punkt przecięcia asymptoty poziomej z ukośną występuje również przy pulsacji , a nachylenie asymptoty ukośnej jest trzykrotnie większe niż dla inercji pierwszego rzędu i wynosi 60 decybeli na dekadę.

W obiekcie inercyjnym n -tego rzędu o różnych stałych czasowych występuje n punktów załamania uproszczonej charakterystyki L(ω), co umożliwia określenie pulsacji załamania ω_z, a stąd wartości stałych czasowych.

Za każdym punktem załamania nachylenie wzrasta o 20dB/dekadę. Zilustrowano na rys.11.6 na przykładzie inercji trzeciego rzędu.

Rys.11.5. Charakterystyka amplitudowo- Rys.11.6. Charakterystyka amplitudowo- częstotliwościowa członu 3 rzędu częstotliwościowa członu 3 rzędu

o jednakowych stałych czasowych o różnych stałych czasowych

11.3. Sposób korzystania z wykresów Blacka

Oprócz omówionych uprzednio charakterystyk częstotliwościowych używane są tzw. wykresy Blacka. Są to charakterystyki także amplitudowo-fazowe , lecz rysowane we współrzędnych prostokątnych, nie zaś biegunowych. Wykresy Blacka umożliwiają wyznaczenie zastępczej transmitancji obiektu przez porównanie charakterystyki amplitudowo-fazowej badanego obiektu, narysowanej w odpowiedniej skali, z charakterystykami odpowiednich transmitancji modelowych (rys.11.7,11.8,11.9,11.10).

Łatwo zauważyć, że krzywe na tych rysunkach dla jednego typu modelu nie przecinają się, co ułatwia identyfikację typu modelu i jego parametrów. Identyfikacji obiektu dokonujemy w ten sposób, że nanosimy wyznaczoną charakterystykę obiektu na przeźroczysty papier w skali (rys.11.7-11.10) i przykładamy ją do tych rysunków. Staramy się znaleźć możliwie najlepszą zgodność krzywej z obiektu z jedną z krzywych modelu, uwzględniając również zgodność rozmieszczenia częstotliwości względnych na obu krzywych. Ustalenie parametru T dla obiektu za wyrównaniem (rys.11.7 i 11.8) wymaga skorzystania z linii stałego iloczynu.Wyszukujemy punkt charakterystyki doświadczalnej o pulsacji ω, leżący na jednej z linii stałego iloczynu ( lub możliwie blisko niej) i wtedy stałą czasową określamy ze wzoru.Drugi parametr modelulub n określa krzywa najbardziej zbliżona do doświadczalnej.

W przypadku obiektu bez wyrównania k określamy analogicznie jak poprzednio T, posługując się liniami stałego ilorazu, a parametry T_o lub T ( rys.11.9 i 11.10) podobnie jak poprzednio z najbliższej krzywej.

Rys.11.7. Charakterystyki Blacka dla Rys.11.8.Charakterystyki Blacka dla

trasmitancji trasmitancji

Rys.11.9. Charakterystyki Blacka Rys.11.10. Charakterystyki Blacka dla

trasmitancji dla trasmitancji