1. Elementy obwodu elektrycznego

Pasywne:

a)Rezystor (om) – opor(R) i konduktancja(G) – U=RI; I=GU;

-liniowy - linia prosta między U oraz I; opór nie zalezy od U oraz I

-nieliniowy – przechodzi przez punkt 0; opisana jakims wzorem; ciągła, nie prosta

b)Cewka (henr) – indukcyjność(L) – L=Ψ/I; Ψ=Nφ (Ψ-strumień skojarzony cewki; φ-strumień każdego zwoju; N-ilośc zwojów)

-liniowy – linia prosta między Ψ oraz I;

-nieliniowy - przechodzi przez punkt 0; opisana jakims wzorem; ciągła, nie prosta

c)Kondensator (farad) – pojemność(C) – C=q/U

-liniowy – linia prosta między q oraz U;

-nieliniowy - przechodzi przez punkt 0; opisana jakims wzorem; ciągła, nie prosta

Aktywne:

a)niesterowane (E, J) – źródlo napięciowe i prądowe

b)sterowane (czwórniki) – cechą charakterystyczną jest to, ze wielkośc wyjsciowa (sterowana) jest proporcjonalna do wielkości wejściowej (sterującej); źródła te są nieodwracalne;

-źródło napiecia sterowane prądowo (U₂=rI₁; U₁=0; r-współczynnik proporcjonalności)

-źródło napiecia sterowane napięciowo (U₂=µU₁; I₁=0)

-źródło prądu sterowane prądowo (I₂=αI₁; U₁=0)

-źródło prądu sterowane napięciowo (I₂=gU₁; I₁=0)

c)nieźródlowe:

Dioda tunelowa-ma rezystancje ujemną, więc jest elementem aktywnym

Tranzystor-element półprzewodnikowy, w którym obszar przewodzenia elektronowego typu n i obszar przewodzenia dziurowego typu p są usytuowane na przemian; w tranzystorach p-n-p jeden z obszarów typu p jest nazywany emiterem (E) a drugi kolektorem (C), sa one przedzielone bazą (B). W n-p-n jest odwrotnie. Tranzystor jest trójnikiem.

Wzmacniacz operacyjny-wzmacniacz napięcia o bardzo dużym współczynniku wzmocnienia K, małej rezystancji wyjściowej(mniejszej niż 100Ω) i dużej rezystancji wejściowej(większej niż 10⁶Ω); zawiera 2 zaciski wejściowe(+ i -) i jeden wyjściowy.

2.Sygnał-funkcja opisująca wielkość fizyczną, którą może być napięcie lub prąd elektryczny.

Sygnały dzielimy na:

-ciągłe w czasie f(t)-dziedzina jest każdy punkt pewnego przedziału osi czasu (nazywany sygnałem analogowym)

-dyskretne w czasie f(t)-dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych (n=1,2,3…); szczególnym przypadkiem jest sygnal cyfrowy (n=0 lub n=1)

Sygnały ciągłe dzielimy na:

-jednokierunkowe (zwrot się nie zmienia w funkcji czasu) np. sygnał stały, sygnał zmienny,

-zmienne (zmienia się wartość bez zmiany zwrotu; zmienia się zwrot bez zmiany wartości bezwzglednej; zmienia się zwrot i wartość)

-zmienne-okresowe (okresowośc sygnału)

-przemienne (zmienne-okresowe; suma pól powierzchni pod wykresem i nad wykresem w T jest równa 0) np. sinusoidalny

-tętniące (zmienne-okresowe; suma pól w okresie nie jest równa 0) np. sinusoidalny przepuszczony przez prostownik

Wielkości charakteryzujące sygnały okresowe:

a)wartośc chwilowa [x lub x(t)]

b)wartość szczytowa [F_m U_m I_m] – największa wartość chwilowa w przedziale czasu

c)wartość średnia półokresowa (średnia arytmetyczna dla połowy okresu)

d)wartośc średnia całookresowa (średnia arytmetyczna dla calego okresu) – dla sygnałów przemiennych wynosi 0

e)wartość skuteczna (pierwiastek kwadratowy z wartości średniej kwadratu sygnału obliczonej dla jednego okresu)

f)współczynnik szczytu (stosunek wartości szczytowej do wartości skutecznej)

g)współczynnik kształtu (stosunek wartości szczytowej do wartości średniej)

3.Prawa Kirchhoffa

a)suma wartości chwilowych prądu w węźle jest równa 0

b)suma wartości chwilowych napięć źródlowych w oczku jest równa sumie wartości chwilowych napięć odbiornikowych

Zasada superpozycji – odpowiedź obwodu liniowego na jednoczesne działanie kilku wymuszeń jest równa sumie odpowiedzi na każde wymuszenie z osobna.

4. ???

5. Dwójnik szeregowy RLC

Korzystając z odpowiedniości pomiędzy przebiegiem sinusoidalnym i wektorem wirującym, zapiszemy wymuszenie i odpowiedź odpowiednio w postaci wektorów wirujących

U(t) = e^jωt (5.1)

I(t) = e^jωt (5.2)

I równanie

$U\left( t \right) = RI\left( t \right) + L\frac{dI(t)}{\text{dt}} + \frac{1}{C}\int_{0}^{1}{I\left( t \right)\text{dt}}$ (5.3)

Podstawiając (5.1) i (5.2) do (5.3) i pamiętając, że amplitudy zespolone U_m oraz I_m nie sa funkcjami czasu, otrzymamy

$e^{\text{jωt}} = Re^{\text{jωt}} + Lj\omega e^{\text{jωt}} + \frac{1}{\text{Cjω}}e^{\text{jωt}} = (R + j\omega L + \frac{1}{\text{jωC}})e^{\text{jωt}}$ (5.4)

Przechodząc od wektorów wirujacych do wektorów nieruchomych (zakładając t=0) będących amplitudami zespolonymi, otrzymamy

$= \left\lbrack R + j(\omega L - \frac{1}{\text{ωC}}) \right\rbrack$ (5.5)

lub dzieląc obie strony równania (5.5) przez $\sqrt{2}$ dla wartości skutecnych zespolonych

$= \left\lbrack R + j(\omega L - \frac{1}{\text{ωC}}) \right\rbrack$ (5.6)

Oznaczamy wyrażenie w nawiasie kwadratowym przez

$= R + j\left( \omega L - \frac{1}{\text{ωC}} \right) = R + jX$ (5.7)

I nazwiemy impedancją zespoloną lub oporem pozornym zespolonym dwójnika szerwgowego RLC.

6. Dwójnik szeregowy RL

Impedancja zespolona - =R + jX_L ; X_L = ωL

7. Dwójnik szeregowy RC

Impedancja zespolona - =R − jX_C ; $X_{C} = \frac{1}{\text{ωC}}$

8. Dwójnik równoległy RLC

Rozpatrzmy dwójnik zawierający elementy idealne RLC liniowe w połączeniu równoległym. Do dwójnika jest przyłożone napięcie sinusoidalne zmienne u = U_msin(ωt + ψ). Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa

i = i_R + i_L + i_C (8.1)

Przyjmując, że warunki początkowe są zerowe, czyli do chwili t=0 elementy pasywne znajdują się w stanie bezenergetycznym i korzystając z charakterystyk elementów paswnych, otrzymamy:

$i = Gu + \frac{1}{L}\int_{0}^{1}{u\text{dt}} + C\frac{\text{du}}{\text{dt}}$ (8.2)

Podobnie jak przy polączeniu szeregowym przebiegi sinusoidalne zastąpimy wektorami wirującymi

U(t) = e^jωt (8.3)

I(t) = e^jωt (8.4)

A równanie (8.2) dla wektorów wirujących zapiszemy w postaci

$I(t) = GU(t) + \frac{1}{L}\int_{0}^{1}{U(t)\text{dt}} + C\frac{dU(t)}{\text{dt}}$ (8.5)

Podstawiając równania (8.3) i (8.4) do (8.5) i pamiętając, że amplitudy zespolone nie są funkcjami czasu, otrzymujemy

$e^{\text{jωt}} = Ge^{\text{jωt}} + \frac{1}{\text{jωL}}e^{\text{jωt}} + j\omega Ce^{\text{jωt}} = (G + j\omega C + \frac{1}{\text{jωL}})e^{\text{jωt}}$ (8.6)

Przechodząc od wektorów wirujących do wektorów nieruchomych (zakladając t=0) bedących amplitudami zespolonymi, otrzymamy

$= \left\lbrack G + j(\omega C - \frac{1}{\text{ωL}}) \right\rbrack$ (8.7)

Po podzieleniu obu stron równania (8.7) przez $\sqrt{2}$ dla wartości skutecznych zespolonych otrzymamy

$= \left\lbrack G + j(\omega C - \frac{1}{\text{ωL}}) \right\rbrack$ (8.8)

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest admitancją zespoloną dwójnika równoległego RLC

$= G + j\left( \omega C - \frac{1}{\text{ωL}} \right) = G + j\left( B_{C} - B_{L} \right) = G + jB$ (8.9)

9. Wykresy wektorowe dla dwójnika szeregowego RLC:

$\operatorname{tg}\varphi = \frac{X}{R} = \frac{\omega L - \frac{1}{\text{ωC}}}{R}$ (9.1)

a) X_L > X_C - X>0 i zgodnie ze wzorem (9.1) kąt φ > 0, napięcie wyprzedza prąd

b) X_L < X_C - X<0 i zgodnie ze wzorem (9.1) kąt φ < 0, napięcie opóźnia się względem prądu

b) X_L = X_C - X=0 i zgodnie ze wzorem (9.1) kąt φ = 0, napięcie i prąd są w fazie

10. Moce w obwodach

a)moc chwilowa

$$p = ui = \sin\text{ωt}*\sin{(\omega t - \varphi)} = \frac{}{2}\left\lbrack \cos\varphi - \cos\left( 2\omega t - \varphi \right) \right\rbrack = UI\left\lbrack \cos\varphi - \cos\left( 2\omega t - \varphi \right) \right\rbrack = UI\cos\varphi - UI\cos\left( 2\omega t - \varphi \right)$$

Maximum osiąga gdy 2ωt = kπ + φ (dla k=1,3,5…); p_max = UIcosφ + UI

Minimum osiąga gdy 2ωt = φ; p_min = UIcosφ − UI

b)moc czynna (wat)

P = RI² = GU² = UIcosφ

c)moc bierna (war-woltoamper reaktywny)

Q = XI² = BU² = UIsinφ

d)moc pozorna (woltoamper)

S = UI =  ZI² = YU²

Współczynnik mocy $\lambda = \frac{P}{S} = \frac{\text{UIcosφ}}{\text{UI}} = \cos\varphi$

=P + jQ=

11. Schematy zastepcze:

a)kondensatora rzeczywistego

Oznaczamy admitancje zespoloną ukladu równoległego =G₁ + jωC₁ = G₁ + jB₁. A więc impedancja zespolona tego ukladu to

$$Z_{1} = \frac{1}{G_{1} + jB_{1}} = \frac{G_{1} - jB_{1}}{{G_{1}}^{2} + {B_{1}}^{2}} = \frac{G_{1}}{{Y_{1}}^{2}} + j\frac{( - B_{1})}{{Y_{1}}^{2}}$$

Impedancja zespolona ukladu szeregowego

$$Z_{2} = R_{2} - j\frac{1}{\omega C_{2}} = R_{2} + jX_{2}$$

b)cewki rzeczywistej

Oznaczamy impedancje zespoloną ukladu szeregowego Z₁ = R₁ + jωL₁ = R₁ + jX₁. Admitancja tego układu to

$$Y_{1} = \frac{1}{R_{1} + jX_{1}} = \frac{R_{1} - jX_{1}}{{R_{1}}^{2} + {X_{1}}^{2}} = \frac{R_{1}}{{Z_{1}}^{2}} + j\frac{( - X_{1})}{{Z_{1}}^{2}}$$

Admitancja zespolona układu równoleglego

Y₂ = G₂ + jB₂

12. Metoda prądów oczkowych

Prąd oczkowy – prąd umyślony płynący przez wszystkie gałęzie oczka

Impedancja wlasna oczka k-tego jest równa sumie impedancji zespolonych wszystkich gałęzi należących do tego oczka.

Impedancja wzajemna oczka k-tego z oczkiem l-tym jest równa impedancji zespolonej gałęzi wspólnej oczka k-tego i l-tego.

Napięcie źródłowe oczkowe k-tego oczka jest równe sumie napięć źródłowych gałęzi należących do tego oczka.

13. Metoda potencjałów węzłowych

Admitancja własna węzła k-tego jest równa sumie admitancji zespolonych gałęzi zbiegających się w tym węźle.

Admitancja wzajemna między węzłami k-tym i l-tym jest równa sumie admitancji zespolonych wszystkich gałęzi łączących bezpośrednio węzeł k-ty z l-tym.

Wypadkowy prąd źródłowy zasilający węzeł jest równy sumie iloczynów admitancji zespolonych gałęzi i napięć źródłowych zespolonych gałęzi należących do k-tego węzła.

14. Metoda Thevenina

15. Rezonans

Jest to taki stan pracy obwodu elektrycznego pasywnego, przy którym reaktancja wypdkowa obwodu lub susceptancja wypadkowa jest równa zero.

Rezonans wystąpi gdy φ = 0 tzn. X=0 czyli X_L = X_C lub $\omega L = \frac{1}{\text{ωC}}$ ; pulsacja rezonansowa $\omega_{r} = \frac{1}{\sqrt{\text{LC}}}$

Oporem (impedancją) falowym ρ nazywamy reaktancje indukcyjną lub reaktancje pojemnościową obwodu przy częstotliwości rezonansowej.

Dobrocią nazywamy stosunek napiecia na elemencie reaktancyjnym do napięcia na elemencie rezystancyjnym.

$$Q = \frac{U_{L}}{U_{R}} = \frac{U_{C}}{U_{R}}$$

Rozstrojeniem bezwzględnym nazywamy stosunek reaktancji wypadkowej do rezystancji.

$\xi = \frac{X}{R} = \operatorname{tg}\varphi$ czyli φ = arctgξ

Rozstrojeniem względnym nazywamy wielkość względną będącą stosunkiem X/ ρ czyli reaktancji wypadkowej X do impedancji falowej obwodu ρ.

$$\delta = \frac{\omega}{\omega_{r}} - \frac{\omega_{r}}{\omega}$$

W stanie rezonansu:

-impedancja obwodu jest równa rezystancji (X=0)

-napięcie przyłożone do obwodu jest równe napięciu na rezystancji

-suma geometryczna napięć na indukcyjności i na pojemności jest równa zero

-napięcie na indukcyjności jest co do modułu równe napięciu na pojemności

-wobec X=0, prąd w obwodzie może osiągnąć bardzo dużą wartość, a w przypadku bardzo małej rezystancji źródło napięcia pracuje niemal w warunkach zwarcia

16. Rezonans w układzie rownoleglym RLC

Rezonans wystąpi przy B_C = B_L

pulsacja rezonansowa $\omega_{r} = \frac{1}{\sqrt{\text{LC}}}$

17. Rezonans w ukladzie RL i RC

a) dla R₁ = R₂ ; $f_{r} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\text{LC}}}$

b) dla R₁ ≠ R₂ ; $f_{r} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\text{LC}}}\sqrt{\frac{{R_{2}}^{2} - \frac{L}{C}}{{R_{1}}^{2} - \frac{L}{C}}}$

18. Rezonans w układach szeregowo-równoległych

Warunek rezonansu

$$\omega_{r}L = \frac{R^{2}\omega_{r}C}{R^{2}{\omega_{r}}^{2}C^{2} + 1}$$