Temat 3 zestawu: Zmienne losowe o rozkładzie normalnym. Obliczanie prawdopodobieństw.

Zadanie 1. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(m,σ). Obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość różniącą się od średniej m nie więcej niż o:

1. jedno odchylenie standardowe,

2. dwa odchylenia standardowe,

3. trzy odchylenia standardowe.

X~N(m,σ)

Standaryzacja:

m=0

σ=1

X~N(0,1)

1. P(-1≤X≤1)=F(1)-F(-1)=F(1)-[1-F(1)]=0,84-0,16=0,68

2. P(-2≤X≤2)=F(2)-F(-2)=F(2)-[1-F(2)]=0,977-0,023=0,954

3. P(-3≤X≤3)=F(3)-F(-3)=F(3)-[1-F(3)]=0,99865-0,00135=0,9973

Zadanie 2. Waga mężczyzn (w kg) w pewnej populacji ma rozkład normalny N(70,6). Obliczyć udział w populacji mężczyzn o wadze:

1. mniejszej od ,

2. w przedziale od do ,

3. wyższej od .

X~N(70,6)

M= 70

σ= 6

Standaryzacja:

Y~N(0,1)

Y = $\frac{X - m}{\sigma}$

1. x<60

y₁=$\ \frac{60 - 70}{6}$= -$\frac{10}{6}$

P(X<60)=P(Y<y₁)=F_y(-10/6)=1-F_y(1,66)=1-0,95154=0,04846

1. 70<x<75

y₁=$\frac{70 - 70}{6}$=0 y₂=$\frac{75 - 70}{6} = \frac{5}{6}$ =0,8(3)

P(70<x<75)=F_x(75)-F_x(70)=P(y₁<Y<y₂)=F_y(y₂)-F_y(y₁)=F_y(0,833)-F_y(0)=0,79673-0,5=0,29673

1. x>85

y₁=$\frac{85 - 70}{6}$=$\ \frac{15}{6}\ $=2,5

P(x>85)=1-P(x≤85)=1-P(Y≤y₁)=1-F_y(y₁)=1-F_y(2,5)=1-0,99379=0,00621

Zadanie 3. Doświadczenie pokazuje, że dochody z reklamy pewnego tygodnika mają rozkład normalny ze średnią 8 tys. zł tygodniowo i odchyleniem standardowym 500 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dochody z reklamy w pewnym tygodniu będą:

1. mniejsze niż 7,5 tys. zł,

2. większe 9 tys. zł,

3. większe niż 7 tys. zł i mniejsze niż 9,5 tys. zł?

X~N(8000,500)

m= 8000

σ= 500

Standaryzacja:

Y~N (0,1)

Y = $\frac{X - m}{\sigma}$

1. X<7500

y₁=$\frac{7500 - 8000}{500}$= -1

P(X<7500)=P(Y<y₁)=F_y(y₁)=F_y(-1)=1-F_y­(1)=1-0,84134=0,15866

1. X>9000

y₁=$\frac{9000 - 8000}{500}$= 2

P(X>9000)=1-P(X≤9000)=1-P(Y≤y₁)=1-F_y(y₁)=1-F_y(2)=1-0,97725=0,02275

1. 7000<X<9500

y₁=$\frac{7000 - 8000}{500}$= -2 y₂=$\frac{9500 - 8000}{500}$= 3

P(7000<X<9500)=P(y₁<Y<y₂)=F_y(y₂)-F_y(y₁)=F_y(3)-F_y(-2)=F_y(3)-[1-F_y(2)]=0,99865-[1-0,97725]=0,99865-0,02275=0,9759

Zadanie 4. Do wypełniania kartonów z mlekiem wykorzystywany jest automat. Objętość mleka w wypełnionych pojemnikach ma rozkład N(1l, 0,05l). Jakie jest prawdopodobieństwo, że objętość mleka w losowo wybranym kartonie:

1. różni się od 1l o więcej niż 0,1l,

2. jest mniejsza niż 0,95l,

3. przekroczy 1,125?

X~N (1;0,05)

m= 1

σ= 0,5

Standaryzacja:

Y~N(0,1)

Y = $\frac{X - m}{\sigma}$

1. 1+0,1=1,1 1-0,1=0,9

X<0,9 ∩ X>1,1

y₁=$\frac{0,9 - 1}{0,05}$= -2 y₂=$\frac{1,1 - 1}{0,05}$= 2

P(X<0,9 ∩ X>1,1)=P(Y<y₁ ∩ Y>y₂)=P(Y<-2 ∩ Y>2)=P(|Y|>2)=1-P(|Y|≤2)=1-P(-2≤Y≤2)=F_y(2)-F_y(-2)=1-[F_y(2)-[1-F_y(2)]]=1-[0,97725-0,02275]=1-0,9545=0,0455

1. X<0,95

y₁=$\frac{0,95 - 1}{0,05}$= -1

P(X<0,95)=P(Y<y₁)=F_y­(y₁)=F_y(-1)=1-F_y(1)=1-0,84134=0,15866

1. X>1,125

y₁=$\frac{1,125 - 1}{0,05}$= 2,5

P(X>1,125)=1-P(X≤1,125)=1-P(Y≤y₁)=1-F_y(y₁)=1-F_y(2,5)=1-0,99379=0,00621

Zadanie 5. Aby zdać egzamin ze statystyki należy prawidłowo rozwiązać 70% zadań z testu egzaminującego. Zakładając, że wyniki testu dla studentów zdających w pierwszym terminie mają rozkład normalny N(76%, 8,4%) obliczyć jaki odsetek studentów zda egzamin w pierwszym terminie.

X~N(76;8,4)

m= 76

σ= 8,4

Standaryzacja:

Y~N(0,1)

Y = $\frac{X - m}{\sigma}$

y₁=$\frac{70 - 76}{8,4}$= -0,7143

P(X≥70)=1-P(X<70)=1-P(Y<y₁)=1-F_y(y₁)=1-F_y(-0,7143)=1-[1-F_Y(0,7143)]=1-[1-0,76115]=0,76115

Zadanie 6. Cech mierzalna X ma rozkład normalny N(7;8). Chcemy zastosować obustronne ograniczenie jej wartości dopuszczalnych przy założonej wadliwości 1%, przy czym przedział wartości dopuszczalnych x_dolne , x_gorne ma być symetryczny wg wartości oczekiwanej m=E(X)=7. Wyznaczyć wartości x_d i x_g.

Zadanie 7. Zmienna losowa X~ N(2;4). Obliczyć prawdopodobieństwo P(IXI>6).

X~N(2,4)

m= 2

σ=4

Standaryzacja:

Y~N(0,1)

Y = $\frac{X - m}{\sigma}$

y₁=$\frac{- 6 - 2}{4}$= -2 y₂=$\frac{6 - 2}{4}$= 1

P(|X|> 6)=1-P(|X|≤ 6)=1-P(-6≤X≤6)=1-P(y₁≤Y≤y₂)=1-[F_y(y₂)-F_y(y₁)]=1-[F_y(1)-F_y(-2)]=1-[F_y(1)-[1-F_y(2)]]=1-[0,84134-(1-0,97725)]=1-0,84134-0,02275=1-0,81859=0,018141

Zadanie 8. Zmienna losowa X ~ N(5;2). Obliczyć P(X<3,6).

X~N(5,2)

m= 5=m

σ= 2

Standaryzacja:

Y~N(0,1)

Y = $\frac{X - m}{\sigma}$

y₁=$\frac{3,6 - 5}{2}$= -0,7

P(X<3,6)=P(Y<y₁)=F_y(y₁)=F_y(-0,7)=1-F_y(0,7)=1-0,75804=0,24196