1. Siła parcia. Prawo Pascala

Mamy naczynie wypełnione cieczą. Jeśli na tłok o powierzchni S działa siła F, wytwarzając pod tłokiem ciśnienie

$$p = \frac{F}{S}$$

to obserwujemy, że przez otworki w ścianach woda wytryskuje w jednakowy sposób, prostopadle do ściany naczynia. Czyli jeżeli na ciecz jest wywierane ciśnienie, to ciecz zawarta w naczyniu wywiera nacisk na jego ściany. Siła nacisku cieczy nazywana jest siłą parcia.

Na podstawie powyższej obserwacji można sformułować prawo Pascala:

Ciśnienie wytworzone w cieczy przez siłę zewnętrzną jest jednakowe w każdym jej punkcie.

Rozpatrzmy pewną ilość cieczy, znajdującą się w cylindrycznym naczyniu (czyli np. szklance).

Ciecz ta działa na dno i ściany naczynia siłą zwaną parciem lub siłą parcia. Oczywiście poszczególne warstwy cieczy również działają na siebie siłą parcia.

Obliczymy parcie słupa cieczy o wysokości h na dno naczynia. Siłą parcia jest ciężar tego słupa cieczy: F = γV

gdzie:

γ - ciężar właściwy cieczy,

V - objętość słupa cieczy.

Ponieważ ciężar właściwy to iloczyn gęstości i przyspieszenia grawitacyjnego (ziemskiego) γ = 𝜚g to powyższy wzór można zapisać również: F = 𝜚gV

gdzie:

𝜚 - gęstość cieczy,

g - przyspieszenie ziemskie.

Objętość to oczywiście iloczyn pola powierzchni podstawy naczynia i jego wysokości: V = Sh

gdzie:

S - pole podstawy naczynia.

Zatem wzór na siłę parcia: F = 𝜚ghS.

1. Ciśnienie

Ciśnieniem, o którym pisaliśmy powyżej, nazywamy wielkość fizyczną, której miarą jest iloraz siły działającej na jakąś powierzchnię do wielkości tej powierzchni.

$$p = \frac{F}{S}$$

Jednostką ciśnienia jest 1 paskal (oznaczenie: Pa).

$$1Pa = 1\frac{N}{m^{2}} = 1\frac{\text{kg}}{ms^{2}}$$

1. Ciśnienie hydrostatyczne

Ciśnienie hydrostatyczne jest to ciśnienie wywierane przez słup cieczy.

Z punktu pierwszego pamiętamy, że siła parcia wynosi

F = 𝜚ghS.

Podstawiając powyższe do wzoru na ciśnienie:

$$p = \frac{F}{S}$$

otrzymujemy:

p = 𝜚gh.

Jak widać ciśnienie hydrostatyczne jest wprost proporcjonalne do gęstości cieczy (ewentualnie do ciężaru właściwego) i do wysokości słupa cieczy. Ciśnienie to nie zależy od przekroju poprzecznego słupa cieczy i na danej głębokości jest wywierane jednakowo we wszystkich kierunkach.

1. Doświadczenie Torricellego

Torricelli zbudował przyrząd do pomiaru ciśnienia atmosferycznego, zwany barometrem rtęciowym. Szklaną rurkę o długości około 1 m, zatopioną z jednej strony, napełniono rtęcią. Rurkę zatkano i odwrócono do góry dnem. Dolny koniec rurki zanurzono w naczyniu z rtęcią i rurkę odetkano. Część rtęci wylała się, a wysokość tej części, która pozostała w rurce, przyjęto za miarę ciśnienia atmosferycznego. Stąd wzięła się jednostka ciśnienia atmosferycznego zwana milimetrem słupa rtęci, oznaczana mmHg.

A teraz wyrazimy ciśnienie atmosferyczne (zwane normalnym) 760 mmHg w hPa (hektopaskalach):

$$760\ mmHg = 0,76m\ \bullet 13,6 \bullet 10^{3}\frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet 9,8\frac{m}{s^{2}} = 1,013 \bullet 10^{5}\text{\ Pa}$$

760 mmHg = 1013 hPa

Łatwo zauważyć, że jeden milimetr słupa rtęci to około 133 paskali.

1. Prawo Archimedesa

Pod powierzchnią cieczy znajduje się ciało w kształcie prostopadłościanu. Rozpatrzmy siły działania cieczy na to ciało. Jak wiemy ciecz działa na zanurzone w niej ciało siłami parcia ze wszystkich stron.

(niewidoczne są na rysunku parcia boczne - z przodu i z tyłu)

Łatwo zauważyć, że parcia boczne równoważą się. Natomiast parcie z góry F₁ i parcie z dołu F₂ nie równoważą się.

Parcie z góry: F₁ = δgh₁S

Parcie z dołu: F₂ = δgh₂S

Wypadkowa siła parcia cieczy do góry i od dołu zwana jest siłą wyporu.

F_w = F₂ − F₁

F_w = δgh₂S − δgh₁S

F_w = δhS(h₂ − h₁)

h₂ − h₁ = h

F_w = δgSh

V = Sh

F_w = δgV

Pamiętajmy, że δ jest gęstością cieczy, zaś V jest objętością ciała:

F_w = δ_CIECZY • g • V_{CIALA ZANURZONEGO}

Możemy więc sformułować prawo Archimedesa:

Na każde ciało zanurzone w cieczy (lub gazie) działa siła wyporu skierowana pionowo do góry i równa ciężarowi cieczy (gazu) wypartej przez to ciało.

Ciała po całkowitym zanurzeniu w cieczy mogą zachowywać się następująco:

• tonąć

F_G > F_w

V_CIALA • δ_CIALA • g > V_CIALA•δ_CIECZY • g

δ_CIALA > δ_CIECZY

• pływać całkowicie zanurzone

F_G = F_w

δ_CIALA = δ_CIECZY

• wypływać

F_G < F_w

δ_CIALA < δ_CIECZY

• pływać tylko częściowo zanurzone w cieczy

V_ZAN < V_CIALA

(warunek pływania, V_ZAN – objętość części zanurzonej)

F_G = F_w

V_CIALA • δ_CIALA • g = V_ZAN • δ_CIECZY • g

V_CIALA • δ_CIALA = V_ZAN • δ_CIECZY

ponieważ: V_ZAN < V_CIALA , to δ_CIALA < δ_CIECZY

1. Prawo naczyń połączonych

W każdym z naczyń połączonych ciśnienia na tym samym poziomie są jednakowe, o ile poniżej tego poziomu znajduje się w nich ta sama ciecz.

Ciśnienia w obu naczyniach na poziomie A-A' są takie same, gdyż poniżej tego poziomu jest tylko rtęć.

Ciśnienie to można obliczyć ze wzorów:

p = δ₁gh₁

p = δ₂gh₂

gdzie: δ₁- gęstość wody, δ₂ – gęstość rtęci.

1. Prasa hydrauliczna

Przy wykorzystaniu prawa Pascala zbudowano urządzenie zwane prasą hydrauliczną. Składa się ona z dwóch cylindrów o różnych średnicach połączonych przewodem, przez który może swobodnie przepływać ciecz.

$$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{S_{1}}{S_{2}}$$

Siła działająca na większy tłok F₂ jest tyle razy większa od siły F₁, ile razy powierzchnia tłoka S₂ jest większa od powierzchni tłoka S₁.

Zasadę tę wykorzystano między innymi w:

- podnośnikach hydraulicznych,

- hamulcach hydraulicznych.

1. Równanie Bernoulliego

Równanie Bernoulliego opisuje parametry nielepkiego płynu (czyli takiego, którego ruch nie jest związany z żadnym oporem) płynącego w rurze o zmiennym przekroju. Wynika ono wprost z faktu zachowania objętości cieczy doskonałej (ciecz jest nieściśliwa, czyli nie zmienia swej objętości wraz ze zmianą ciśnienia) i zasady zachowania energii mechanicznej.

Równanie to możemy zapisać jako:

$$\frac{\delta v^{2}}{2} + \delta gh + p = const$$

gdzie:

δ - gęstość cieczy,

v - prędkość cieczy,

h - wysokość w układzie odniesienia,

g - przyspieszenie grawitacyjne,

p - ciśnienie cieczy.

Prawo Bernoulliego udowadnia, że im szybciej ciecz przepływa, tym mniejsze wywiera ciśnienie. Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku gdzie przekrój jest mniejszy. Podana wyżej własność cieczy była znana przed sformułowaniem równania przez Bernoulliego i nie potrafiono jej wytłumaczyć, stwierdzenie to i obecnie kłóci się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu ludzi i dlatego znane jest pod nazwą paradoks hydrodynamiczny.

1. Siła spójności, siła przylegania, menisk

Siły spójności - siły oddziaływania między cząsteczkami cieczy.

Siły przylegania - siły oddziaływania między cząsteczkami cieczy i cząsteczkami naczynia.

Powierzchnia swobodna cieczy znajdującej się w naczyniu może przyjmować kształt wklęsły lub wypukły. Zjawisko to nazywamy meniskiem.

Menisk wklęsły tworzy się dla cieczy zwilżających ściany naczynia. Siły spójności są mniejsze od sił przylegania.

Menisk wypukły tworzy się dla cieczy nie zwilżających ścian naczynia. Siły spójności są większe od sił przylegania.

1. Przykładowe zadania

Zadanie 1 Ciało zawieszono na haczyku siłomierza. Po zanurzeniu ciała w wodzie wskazanie siłomierza wynosi $n = \frac{2}{3}$ ciężaru ciała. Oblicz gęstość ciała zakładając, że gęstość wody wynosi $\delta = 10^{3}\frac{\text{kg}}{m^{3}}$.

Dane:

$$n = \frac{2}{3}$$

$$\delta = 10^{3}\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

Szukane:

δ₁ =  ? (gęstość ciała)

Rozwiązanie:

Na początku policzymy siłę wyporu, jakiej doznaje zanurzone ciało. Nietrudno zauważyć, że będzie to różnica wskazań siłomierza przed i po włożeniu ciała do wody.

F_w = F₁ − F₂

Oczywistym jest też, że F₁ = Q, natomiast F₂ = nQ. A więc siła wyporu wyrazi się wzorem:

F_w = Q − nQ = Q(1−n) = mg(1 − n)

Teraz wyznaczymy siłę wyporu z prawa Archimedesa.

$$F_{w} = \delta gV = \delta g\frac{m}{\delta_{1}}$$

Teraz porównamy te dwie wartości i wyznaczymy gęstość ciała.

$$\text{mg}\left( 1 - n \right) = \delta g\frac{m}{\delta_{1}}\ \ \ \ \ \ |\ :mg$$

$$\left( 1 - n \right) = \frac{\delta}{\delta_{1}}$$

$$\delta_{1} = \frac{\delta}{1 - n}$$

Teraz policzymy wartość gęstości.

$$\delta_{1} = \frac{10^{3}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{10^{3}}{\frac{1}{3}} = 3 \bullet 10^{3}\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

Odpowiedź: Gęstość ciała wynosi $\delta_{1} = 3 \bullet 10^{3}\frac{\text{kg}}{m^{3}}$.

Zadanie 2 W wodzie o gęstości $\delta_{w} = 10^{3}\frac{\text{kg}}{m^{3}}$ pływa korek o gęstości $\delta_{k} = 700\frac{\text{kg}}{m^{3}}$. Oblicz stosunek części zanurzonej do wynurzonej korka.

Dane:

$\delta_{w} = 10^{3}\frac{\text{kg}}{m^{3}}$

$$\delta_{k} = 700\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

Szukane:

$$\frac{V_{z}}{V_{w}} = \ ?$$

Rozwiązanie:

Chcemy policzyć stosunek części zanurzonej do wynurzonej tego korka. Skoro mamy ten stosunek policzyć, to znaczy, że się nie zmienia, czyli korek ani nie tonie, a nie wypływa. Pozostaje więc w równowadze. Z I zasady dynamiki Newtona wiemy, że wszystkie działające siły muszą się równoważyć. Jedynymi siłami, które mogą ten stan zmienić to siła grawitacji i wyporu. Z prawa Archimedesa wiemy, że siła wyporu jest skierowana ku górze, a z prawa ciążenia, że siła grawitacji ku dołowi. A więc równoważyć muszą się siły wyporu i grawitacji.

F_g = F_w

mg = δ_wgV_z

m = δ_wV_z

Teraz korzystając ze wzoru na gęstość możemy napisać:

V_kδ_k = δ_wV_z

$$V_{z} = \frac{V_{k}\delta_{k}}{\delta_{w}}$$

Wiemy, że objętość części zanurzonej w sumie z objętością części wynurzonej dają całą objętość. Możemy wyznaczyć więc objętość części wynurzonej.

V_k = V_z + V_w

V_w = V_k − V_z

$$V_{w} = V_{k} - \frac{V_{k}\delta_{k}}{\delta_{w}}$$

$$V_{w} = V_{k}\left( \frac{\delta_{w} - \delta_{k}}{\delta_{w}} \right)$$

No to skoro mamy obie wielkości, możemy przystąpić do policzenia szukanego stosunku.

$$\frac{V_{z}}{V_{w}} = \frac{\frac{V_{k}\delta_{k}}{\delta_{w}}}{V_{k}\left( \frac{\delta_{w} - \delta_{k}}{\delta_{w}} \right)}$$

$$\frac{V_{z}}{V_{w}} = \frac{V_{k}\delta_{k}\delta_{w}}{V_{k}{(\delta}_{w} - \delta_{k})\delta_{w}}$$

$$\frac{V_{z}}{V_{w}} = \frac{\delta_{k}}{\delta_{w} - \delta_{k}}$$

Teraz policzymy wartość liczbową.

$$\frac{V_{z}}{V_{w}} = \frac{700}{1000 - 700} = \frac{700}{300} = \frac{7}{3}$$

$$\frac{V_{z}}{V_{w}} \approx 2,33$$

Odpowiedź: Szukany stosunek zanurzonej do wynurzonej wynosi $\frac{V_{z}}{V_{w}} \approx 2,33$.

1. Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1 Ile wynosi przybliżony stosunek ciśnień hydrostatycznych słupa wody o wysokości 1m na Księżycu i na Ziemi?

Odp. $\frac{p_{k}}{p_{z}} = \frac{1}{6}$

Zadanie 2 Sześcienny drewniany klocek o długości krawędzi a = 20cm pływa w wodzie o gęstości $1000\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$ zanurzony do połowy. Na jaką wysokość nad powierzchnią będzie on wystawał po zanurzeniu w cieczy o gęstości $800\frac{\text{kg}}{m^{3}}$ ?

Odp. h = 7, 5 cm

Zadanie 3 Wodę ze szklanki cylindrycznej przelano w całości do drugiej szklanki cylindrycznej o promieniu podstawy dwukrotnie większym. Jak zmieniło się ciśnienie wody na dno w drugiej szklance, w porównaniu z ciśnieniem na dno w szklance pierwszej?

Odp. zmalało czterokrotnie

Zadanie 4 Na głębokości h = 1m poniżej poziomu wody o gęstości $\delta_{1} = 1000\frac{\text{kg}}{m^{3}}$ znajduje się kulka drewniana, której gęstość $\delta = 600\frac{\text{kg}}{m^{3}}$. Kulkę tę puszczono. Na jaką wysokość x wyskoczy kulka ponad poziom wody? Siły tarcia pomijamy.

Odp. $x = \frac{2}{3}m$

Zadanie 5 Ciężar pewnego ciała wynosi 400N. Po zanurzeniu w wodzie $\left( \delta = 1000\frac{\text{kg}}{m^{3}} \right)$ ciało to waży 300N. Ile wynosi objętość tego ciała?

Odp. V = 10dm³

Zadanie 6 Klocek z drewna o gęstości $600\frac{\text{kg}}{m^{3}}$ pływa w cieczy, przy czym 25% objętości wystaje nad jej powierzchnię. Ile wynosi gęstość cieczy?

Odp. $\delta_{c} = 800\frac{\text{kg}}{m^{3}}$

Zadanie 7 Piłka o masie 2kg położona na wodzie pływa zanurzona do połowy. Jaką najmniejszą siłę należy przyłożyć, aby całą piłkę zanurzyć w wodzie?

Odp. F = Q = 20N

Zadanie 8 Ciało pływa zanurzone do $\frac{4}{5}$ swojej objętości w cieczy o ciężarze właściwym $750\ \frac{N}{m^{3}}$. Ile wynosi ciężar właściwy ciała?

Odp. $\gamma = 600\frac{N}{m^{3}}$

Zadanie 9 Kra lodowa o gęstości $900\frac{\text{kg}}{m^{3}}$ i objętości 1 m³ pływa po lodzie. Ile wynosi ciężar, jaki można położyć na tej krze, aby zanurzyła się całkowicie?

Odp. 1000N

Zadanie 10 Kulka o gęstości $500\frac{\text{kg}}{m^{3}}$ wypływa z wody. Ile wynosi jej przyspieszenie, jeżeli opory ruchu pominiemy?

Odp. a = g

Zadanie 11 Do jednego z ramion pionowo ustawionej rurki w kształcie litery U nalano rtęci o gęstości $\delta_{1} = 13600\frac{\text{kg}}{m^{3}}$, a następnie nafty o gęstości $\delta_{2} = 800\frac{\text{kg}}{m^{3}}$, przy czym wysokość słupka nafty wynosiła h₂ = 10cm. Jaka będzie wysokość h₃ słupka wody, o gęstości $\delta_{3} = 1000\frac{\text{kg}}{m^{3}}$, którą trzeba dolać do drugiego z ramion, aby poziomy górne były na tej samej wysokości?

Odp. h₃ = 10, 2 cm