Badanie ruchu bryły sztywnej na równi pochyłej

Badanie ruchu bryły sztywnej na równi pochyłej.
  1. Wiadomości teoretyczne

Równia pochyła jest jedna z maszyn prostych. Urządzenia, których działanie oparte jest na równi były używane przez ludzkość od zarania dziejów. Przykładem równi jest dowolna pochylnia.

Maszyny proste - (w fizyce) idealizacje prostych rzeczywistych mechanizmów urządzeń mechanicznych wprowadzone w celu wyjaśnienia działania mechanizmów urządzeń ułatwiających wykonanie pewnych czynności (pracy) poprzez zmianę wartości lub kierunku działania siły wykonującej daną pracę. Maszyny proste określają wzajemną relację pomiędzy siłami poruszającymi a użytecznymi w stanie równowagi, w warunkach spoczynku, ruchu jednostajnego postępowego lub obrotowego przy zaniedbaniu sił tarcia i inercji układu.

Zgodnie z zasadą zachowania energii, praca wykonana nad danym układem bez maszyny prostej oraz z użyciem dowolnego zbioru maszyn prostych jest zawsze taka sama. Korzyść polega na tym, że możemy np. użyć mniejszej siły, ale wówczas musimy pokonać dłuższą drogę.

Na równi pochyłej zasadę zachowania energii możemy zapisać jako:

gdzie:

m - masa kulki

g -przyspieszenie ziemskie

h- wysokość równi

v-prędkość kulki u podstawy równi

I-moment bezwładności kulki względem osi środkowej

ω – prędkość kątowa

Równia to płaska powierzchnia nachylona do poziomu pod pewnym kątem, po powierzchni równi przesuwa się ciało.

Zagadnieniem równi określa się określenie zasad ruchu ciała po równi.

Moment bezwładności, miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym. Charakteryzuje rozkład masy w ciele. Moment bezwładności ciała względem osi z nazywane jest wyrażenie:


Momenty bezwładności wybranych brył:

  1. Opis ćwiczenia

Ćwiczenie polegało na stoczeniu 3 kul, o różnych masach i średnicach, po równi pochyłej o długości 3,3m i zmierzeniu czasu ich staczania za pomocą elektronicznego czasomierza. Dla każdej kuli dokonaliśmy po 10 pomiarów przy dwóch różnych wysokościach.

  1. Tabela pomiarowa

h1 [m] t[s] h2[m] t[s]

Kulka 1

m1=286,30g

r1=20,65mm

Kulka 2

m2=68,98g

r2=23,4mm

Kulka 3

m3=2,63g

r3=18,45mm

0,5 2,539 2,511 2,950
2,573 2,533 2,867
2,540 2,544 2,874
2,586 2,497 2,891
2,549 2,510 2,939
2,584 2,502 2,981
2,542 2,517 2,905
2,541 2,508 2,962
2,529 2,499 2,922
2,566 2,500 2,951

$$\overset{\overline{}}{t_{1}} = 2,555$$

$$\overset{\overline{}}{t_{2}} = 2,512$$

$$\overset{\overline{}}{t_{3}} = 2,924$$

Δdr=0,00002m Δer=0,0001mm

Δdh= 0,001m Δeh= 0,002m

Δdm=0,01g Δem=0,01g

Δds=0,01m Δesu=0,01m

  1. Obliczenia

- Obliczenie wartości$\ \overset{\overline{}}{t}$

-wzór ogólny-


$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$$

Np.


$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{1}{10}*\left( 2,539 + 2,573 + 2,540 + 2,586 + 2,549 + 2,584 + 2,542 + 2,541 + 2,529 + 2,566 \right) = 2,555$$

- Obliczenie wartości C-

-wzór ogólny-


$$C = \frac{\text{gh}t^{2}}{2s^{2}} - 1$$

gdzie:

-g - współczynnik przyspieszenia ziemskiego (),

-h - wysokość równi pochyłej,

-t – czas staczania się kulki,

-s – długość równi (3,30m),

-m – masa kulki.

- wysokość h1= 0,5m


$$C = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}*0,5m*\left( 2,555s \right)^{2}}{2*{(3,30m)}^{2}} - 1 = 0,470$$

-wysokość h2= 0,3m


$$C = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}*0,3m*\left( 3,285s \right)^{2}}{2*{(3,30m)}^{2}} - 1 = 0,458$$

- wysokość h1= 0,5m


$$C = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}*0,5m*\left( 2,512s \right)^{2}}{2*{(3,30m)}^{2}} - 1 = 0,421$$

-wysokość h2= 0,3m


$$C = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}*0,3m*\left( 3,251s \right)^{2}}{2*{(3,30m)}^{2}} - 1 = 0,428$$

- wysokość h1= 0,5m


$$C = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}*0,5m*\left( 2,924s \right)^{2}}{2*{(3,30m)}^{2}} - 1 = 0,925$$

-wysokość h2= 0,3m


$$C = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}*0,3m*\left( 3,844s \right)^{2}}{2*{(3,30m)}^{2}} - 1 = 0,996$$

- Obliczenie wartości momentu bezwładności I:

- wysokość h1= 0,5m


Id = C * m * (R)2 =  0, 470 * 0, 2863 * (0, 00206)2 = 5, 71 * 10−7 kg * m2


$$I_{t} = \frac{2}{5}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{5}*0,2863*\left( 0,00206 \right)^{2} = 4,86*10^{- 7}\ kg*m^{2}$$

- wysokość h1= 0,3m


Id = C * m * (R)2 =  0, 458 * 0, 2863 * (0, 00206)2 = 5, 56 * 10−7 kg * m2


$$I_{t} = \frac{2}{5}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{5}*0,2863*\left( 0,00206 \right)^{2} = 4,86*10^{- 7}\ kg*m^{2}$$

- wysokość h1= 0,5m


Id = C * m * (R)2 =  0, 421 * 0, 06898 * (0, 00234)2 = 1, 59 * 10−7 kg * m2


$$I_{t} = \frac{2}{5}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{5}*0,06898*\left( 0,00234 \right)^{2} = 1,51*10^{- 7}\ kg*m^{2}$$

- wysokość h1= 0,3m


Id = C * m * (R)2 =  0, 428 * 0, 06898 * (0, 00234)2 = 1, 62 * 10−7 kg * m2


$$I_{t} = \frac{2}{5}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{5}*0,06898*\left( 0,00234 \right)^{2} = 1,51*10^{- 7}\ kg*m^{2}$$

- wysokość h1= 0,5m


Id = C * m * (R)2 =  0, 925 * 0, 00263 * (0, 00184)2 = 8, 24 * 10−9 kg * m2


$$I_{t} = \frac{2}{3}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{3}*0,00263*\left( 0,00184 \right)^{2} = 5,93*10^{- 9}\ kg*m^{2}$$

- wysokość h1= 0,3m


Id = C * m * (R)2 =  0, 996 * 0, 00263 * (0, 00184)2 = 8, 87 * 10−9 kg * m2


$$I_{t} = \frac{2}{3}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{3}*0,00263*\left( 0,00184 \right)^{2} = 5,93*10^{- 9}\ kg*m^{2}$$

-Wartość średnia momentu bezwładności poszczególnych kulek:

Moment bezwładności Kulka 1 Kulka 2 Kulka 3

Id[kg*m2]

5, 64 * 10−7

1, 61 * 10−7

8, 56 * 10−9

It[kg*m2]

4, 86 * 10−7

1, 51 * 10−7

5, 93 * 10−9
  1. Dyskusja niepewności pomiarowych

- Niepewność standardowa u(h)−


$$u\left( h \right) = \sqrt{\frac{\left(_{d}h \right)^{2} + {(_{e}h)}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{{(0,001)}^{2} + {(0,002)}^{2}}{3}} = 0,00129m$$

- Niepewność standardowa $\overset{\overline{}}{t}\ $dla każdej kulki -


$$u\left( \overset{\overline{}}{t}\ \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(t_{i} - \overset{\overline{}}{t})}^{2}}{n(n - 1)}}$$

H1=0,5m H2=0,3m
Kulka 1 Kulka 2

$$u(\overset{\overline{}}{\overset{\overline{}}{t})}\lbrack s\rbrack$$
0,0206 0,0155

- Niepewność złożona uc(C)−


$$C = \frac{\text{gh}t^{2}}{2s^{2}} - 1$$

- wzór ogólny –


$$u_{c}(y) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{\partial y}{\partial x_{i}}\ \ u(x_{i}) \right\rbrack^{2}}$$


$$u_{c}\left( C \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\text{δC}}{\text{δh}}\text{\ \ u}\left( h \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\text{δC}}{\text{δt}}\text{\ \ u}\left( t \right) \right\rbrack^{2}} = \sqrt{\left( \left( \frac{gt^{2}}{2s^{2}} \right)*u\left( h \right) \right)^{2} + \left( \left( \frac{\text{ght}}{s^{2}} \right)*u\left( t \right) \right)^{2}}$$


h[m]

uc(C)
Kulka 1
0,5 0,024
0,3 0,063

- Niepewność rozszerzona U(Id)−


Id = 5, 64 * 10−7 [kg * m2]


$$\overset{\overline{}}{C} = \frac{0,470 + 0,458}{2} = 0,464$$


$$u\left( I_{d} \right) = \sqrt{\frac{{(5,71 - 5,64)}^{2} + {(5,56 - 5,64)}^{2}}{2}}*10^{- 7} = 0,075*{10\ }^{- 7}\lbrack kg*m^{2}\rbrack$$


$$I_{t} = \frac{2}{5}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{5}*0,2863*\left( 0,00206 \right)^{2} = 4,86*10^{- 7}\ \lbrack kg*m^{2}\rbrack$$


I = Id − It = (5,64−4,86) * 10−7 = 0, 78 * 10−7[kg * m2]


U(I) = 2 * u(Id) = 0, 15 * 10−7[kg * m2]


I > U(I)


Id = 1, 61 * 10−7 [kg * m2]


$$\overset{\overline{}}{C} = \frac{0,421 + 0,428}{2} = 0,4245$$


$$u\left( I_{d} \right) = \sqrt{\frac{{(1,59 - 1,61)}^{2} + {(1,62 - 1,61)}^{2}}{2}}*10^{- 7} = 0,016*{10\ }^{- 7}\lbrack kg*m^{2}\rbrack$$


$$I_{t} = \frac{2}{5}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{5}*0,06898*\left( 0,00234 \right)^{2} = 1,51*10^{- 7}\ kg*m^{2}$$


I = Id − It = (1,61−1,51) * 10−7 = 0, 10 * 10−7[kg * m2]


U(I) = 2 * u(Id) = 0, 032 * 10−7[kg * m2]


I > U(I)


Id = 8, 56 * 10−9 [kg * m2]


$$\overset{\overline{}}{C} = \frac{0,925 + 0,996}{2} = 0,960$$


$$u\left( I_{d} \right) = \sqrt{\frac{{(8,24 - 8,56)}^{2} + {(8,87 - 8,56)}^{2}}{2}}*10^{- 9} = 0,31*{10\ }^{- 9}\lbrack kg*m^{2}\rbrack$$


$$I_{t} = \frac{2}{3}*m*{(R)}^{2} = \frac{2}{3}*0,00263*\left( 0,00184 \right)^{2} = 5,93*10^{- 9}\ kg*m^{2}$$


I = Id − It = (8,56−5,93) * 10−9 = 2, 63 * 10−9[kg * m2]


U(I) = 2 * u(Id) = 0, 62 * 10−9[kg * m2]


I > U(I)

  1. Wnioski

Doświadczenie przebiegło bez zakłóceń. Podczas jego przeprowadzania użyłem trzech różnych kulek, zarówno pod względem masy jak i budowy. Jedna z kulek była pusta w środku dwie pozostałe zaś nie. Po wyliczeniu momentów bezwładności kulek jak i ich niepewności pomiarowych przy użyciu metody niepewności rozszerzonej zauważyłem że w każdym z przypadków otrzymałem . Taki stan rzeczy wskazuje, iż wyznaczone przeze mnie momenty bezwładności są w pewnym stopniu niezgodne z wartościami teoretycznymi. Największa rozbieżność występuje w przypadku kulki 3. Kulka ta była bardzo lekka co zapewne wpłynęło negatywnie na pomiary jej czasów. Przyczyną takich a nie innych wyników mogą być warunki, w jakich przeprowadzaliśmy doświadczenie, m.in. przechodzące osoby koło równi i związane z tym ruchy powietrza oraz niedoskonałości przyrządów pomiarowych. Nie bez znaczenia jest też występujące tarcie pomiędzy kulką a równią. Na pewno wpływ miał też brak doświadczenia przy przeprowadzaniu tego typu doświadczeń przez nas- eksperymentatorów.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Badanie ruchu bryły sztywnej na równi pochyłej
Badanie ruchu bryły sztywnej na równi pochyłej. , Ćwiczenie
1. Badanie ruchy bryły sztywnej po równi pochyłej, Badanie ruchu bryły sztywnej na równi pochyłej, L
1. Badanie ruchy bryły sztywnej po równi pochyłej, Badanie ruchu bryły sztywnej na równi pochyłej.,
Badanie ruchu bryły sztywnej na równi pochyłej
18. Badanie ruchu bryły sztywnej na równi pochyłej
Badanie ruchu bryły sztywnej po równi pochyłej2
Badanie ruchu bryły sztywnej po równi pochyłej, Studia, laborki fizyka (opole, politechnika opolska)
Ćw 10;?danie ruchu bryły sztywnej na równi pochyłej
Badanie przemian energii mechanicznej na równi pochyłej POPRAWIONE (2)
Bryła sztywna na równi pochyłej, Studia, laborki fizyka (opole, politechnika opolska), Sprawozdania
Bryła sztywna na równi pochyłej
4 BADANIE PRZEMIAN E MECH NA RÓWNI POCHYŁEJ
Ocena poziomu wytrzymałości na podstawie pomiaru na równi pochyłej (Odzyskany) 1

więcej podobnych podstron