Macierze

Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j): i=1, ... , n i j=1, ... ,m (gdzie: i - wiersz, j - kolumna) przyporządkujemy liczbę rzeczywistą (zespoloną) a_ij to takie przyporządkowanie nazywamy macierzą rzeczywistą (zespoloną) o wymiarach n×m. Macierze A i B nazywamy równymi jeżeli mają takie same wymiary i odpowiednie wyrazy równe (A=[ a_ij]_n×m, B=[ b_ij]_n×m). Macierzą przeciwną do macierzy A nazywamy macierz o takich samych wymiarach i elementach przeciwnych do elementów macierzy A (zmieniamy znak na przeciwny Ā). Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz powstałą z A przez zamianę wierszy na kolumny z zachowaniem kolejności elementów (A^T ij => ji, n×m => m×n). Macierzą zerową nazywamy macierz, której elementami są same zera. Macierzą kwadratową nazywamy macierz, w której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn. Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, w której wszystkie wyrazy poza przekątną główną są równe 0 ($\begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \\ \end{bmatrix}$). Macierzą trójkątną nazywamy macierz kwadratową, która powyżej lub poniżej przekątnej głownej ma same 0 ($\begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ p & y & 0 \\ s & r & z \\ \end{bmatrix}$). Macierzą symetryczną nazywamy macierz kwadratową, której elementy spełniają zależność a_ij=a_ji ($\begin{bmatrix} x & p & s \\ p & y & r \\ s & r & z \\ \end{bmatrix}$). Macierzą jednostkową nazywamy macierz diagonalną, która na przekątnej ma 1 (E₃=$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$, E₁=[1]).

Działania na macierzach: Suma i różnica (sumą macierzy A i B o tych samych wymiarach n×m nazywamy macierz C, której elementy są równe sumom odpowiednich elementów macierzy A i B, różnicą – suma macierzy A i przeciwnej do B). Własności: 1. Przemienność dodawania (A+B=B+A), 2. Łączność (A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)), 3. Istnienie elementu neutralnego [0] (A+[0]=A i A-[0]=A). Mnożenie macierzy przez liczbę (iloczynem macierzy A=[a_ij]_n×m przez liczbę x€R(Z) nazywamy macierz C=[x*a_ij]_n×m). Własności: 1. (x*y)*A=x*(y*A)=(x*A)*y, 2. (x+y)*A=x*A+y*A, 3. x*(A+B)=x*A+x*B. Mnożenie macierzy (iloczynem macierzy A=[a_ij]_n×p i macierzy B=[b_ij]_p×m nazywamy macierz C o wymiarach n×m, której elementy określone są wzorem C=A*B (c_ij=Σa_ik*b_kj=a_i1*b_1j+a_i2*b_2j+...+a_ip*b_pj)). Własności: 1. (A*B)*C=A*(B*C), 2. A*(B+C)=A*B+A*C, 3. (B+C)*A=B*A+C*A, 4. Element neutralny mnożenia e (e*a=a*e=A). Uwaga! Mnożenie macierzy nie jest przemienne!

Macierz odwrotna: Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy taką macierz kwadratową B, że A*B=E. Ozn A^-1. Własności: 1. E=A*A^-1=A^-1*A, 2. ((A^-1)^-1=A, 3. Dla x≠0 (x*A)^-1=¹/_x*A^-1, 4. (AB)^-1=B^-1*A^-1, 5. (A^-1)^T=(A^T)^-1).

Wyznaczniki

Niech A_n×m=[a_ij] i,j=1,...,n będzie macierzą kwadratową. Wyznacznikiem macierzy A (kwadratowej) nazywamy funkcję, która macierzy A przyporządkowuje liczbę ozn. detA określoną w następujący sposób: 1. Jeżeli A_1×1=[a] to detA=[a], 2. Jeżeli A_n×m=[a_ij] i,j=1,...,n i n>=2 to detA=a₁₁*D₁₁+a₁₂*D₁₂+...+a_1n*D_1n (gdzie D_ij=(-1)^i+j (dopełnienie algebraiczne elementu a_ij), detA_ij przy czym A_ij to macierz powstała z A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny). Ozn.: detA, det$\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \\ \end{bmatrix}$, |A|, $\left| \begin{matrix} p & q \\ r & s \\ \end{matrix} \right|$.

Obliczanie wyznaczników: 1. Wyznacznik 2-stopnia: A_2×2=$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix}$, detA=$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right|$=a₁₁*D₁₁+a₁₂*D₁₂=a₁₁*(-1)²*det[a₂₂]+a₁₂*(-1)³*det[a₂₁]=a₁₁*a₂₂-a₁₂*a₂₁ 2. Wyznacznik 3-stopnia (metoda Sarnusa): det$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}$=a₁₁*D₁₁+a₁₂*D₁₂+a₁₂*D₁₃=a₁₁*(-1)²*$\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right|$+ a₁₂*(-1)³*$\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{matrix} \right|$+a₁₃*(-1)⁴*$\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{matrix} \right|$=a₁₁(a₂₂a₃₃-a₂₃a₃₂)-a₁₂(a₂₁a₃₃-a₂₃a₃₁)+a₁₃(a₂₁a₃₂+a₂₂a₃₁)= a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂-a₁₁a₂₃a₃₂-a₁₂a₂₁a₃₃-a₁₂a₂₂a₃₁.

Własności wyznaczników: 1. Wyznacznik macierzy mającej wiersz złożony z samych 0 jest równy 0, 2. Jeżeli dwa wiersze macierzy są proporcjonalne to wyznacznik tej macierzy jest równy 0, 3. Jeżeli zmienimy miejscami dwa wiersze macierzy to wyznacznik zmieni znak, 4. Jeżlei wszystkie elementy pewnego wiersza macierzy zawierają ten sam czynnik to czynnik ten możemy wyłączyć przed wyznacznik, 5. Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementu pewnego wiersza dodamy odpowiadające im elementy innego wiersza pomnożone przez tą samą liczbę, 6. Wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowu danej macierzy (detA^T=detA), 7. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na przekątnej głównej, 8. Twierdzenie Cauchy’ego: Wyznacznik iloczynu macierzy tego samego stopnia jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy (det(A*B)=detA*detB), 9. Wyznacznik macierzy odwrotnej do macierzy A jest równy odwrotności wyznacznika macierzy A (det(A^-1)=¹/_detA o ile detA≠0), 10. Wyznacznik iloczynu macierzy przez liczby jest równy det(k*A)_n×m=kⁿ*detA.

Wyznaczanie macierzy odwrotnej: Macierz kwadratową A nazywamy nieosobliwą jeżeli detA≠0. Jeżeli detA=0 to A jest osobliwa. Macierz osobliwa nie posiada macierzy odwrotnej. Macierzą dołączoną do macierzy A nazywamy transponowaną macierz dopełnień algebraicznych A^D=$\begin{bmatrix} D_{11} & \cdots & D_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ D_{n1} & \cdots & D_{\text{nm}} \\ \end{bmatrix}^{T}$. Dowolna macierz nieosobliwa A posiada dokładnie jedną macierz odwrotną określoną wzorem A^-1=¹/_detA*A^D. Rzędem macierzy prostokątnej A=[a_ij] nazywamy: 1. Liczbę 0 gdy macierz jest zerowa, 2. Liczbę równą najwyższemu ze stopni nieosobliwej podmacierzy zawartej w A. Rząd macierzy nie ulega zmianie gdy: 1. Wiersz lub kolumnę pomnożymy przez liczbę różną od 0, 2. Zamienimy miejscami dwa wiersze, 3. Do elementów jednego wiersza dodamy elementy drugiego pomnożone przez liczbę, 4. Skreślimy z macierzy wiersz z samych zer.

Układ równań liniowych: Podstawowe określenia: Układem m równań liniowych o n niewiadomych x₁, x₂, ..., x_n, n,m€N nazywamy układ równań w postaci $\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ \ldots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{\text{mn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{matrix} \right.\ $ (gdzie a_ij, i=1,...,m, j=1,...,n, a_ij€R(Z)). Rozwiązaniem układu m równań liniowych o n niewiadomych x₁, x₂, ..., x_n nazywamy ciąg liczb (α1, α2, ..., αn), które po wstawieniu w miejsce niewiadomych zamieniają każde równanie w tożsamość (równość prawdziwą). Układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzowej A*X=B (macierz współczynników [a_ij] * macierz niewiadomych [x_n] = macierz wyrazów wolnych [b_m]). Uwaga!: Dla układu równań liniowych zachodzi jadna z trzech możliwości: 1. Układ ma jedno rozwiązanie – układ oznaczony, 2. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań – układ nieoznaczony, 3. Układ nie ma rozwiązania – układ sprzeczny. Układ równań liniowych w postaci A*X=0 (macierz współczynników =0) nazywamy jednorodnym. Jeżeli A*X=B i B≠0 to układ jest niejednorodny. Uwaga!: Układ równań jednorodnych ma przynajmniej jedno rozwiązanie zerowe.

Układy Cramera: Układ równań liniowych o macierzy współczynników kwadratowej i nieosobliwej nazywamy układem Cramera (A*X=B A_n×m i detA≠0). Układ równań Cramera ma zawsze jedno rozwiązanie określone wzorem x₁=^Wi/_W=^DetAi/_detA (gdzie: W – wyznacznik główny, detA_i – wyznacznik macierzy powstałej z A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych).

Ogólne układy m-równań, n-niewiadomych: Tw. Kromeckera-Capelliego: Układ równań liniowych o m równianiach i n niewiadomych ma rozwiązanie rząd macierzy A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej [A|B] (czyli powstałej z macierzy A przez dopisanie jako ostatniej kolumny kolumny wyrazów wolnych) przy czym: 1. Jeżeli rzA=rz[A|B]=n – układ oznaczony (jedno rozwiązanie), 2. Jeżeli rzA=rz[A|B]<n – układ nieoznaczony (∞ rozwiązań), 3. Jeżeli rzA≠rz[A|B] – układ sprzeczny. Uwaga!: rozwiązania układu nieoznaczonego zależą od n (rz[A]) parametrów.

Metoda eliminacji Gaussa: Macierz rozszerzoną [A|B] przekształca się wykonując na wierszach następujące operacje: 1. Zamiana miejscami dwóch wierszy, 2. Pomnożenie wierszy przez liczbę (≠0), 3. Dodawanie do jednego wiersza innego pomnożonego przez pewną liczbę, 4. Skreślenie wiersza złożonego z samych zer, 5. Zamiana miejscami dwóch kolumn w macierzy A, przy jednoczesnej zmianie niewiadomych (UWAGA! Należy pamiętac o tej zamianie przy kolejnych działaniach).