III. Mechanika budowli
9. Czym są drgania? Określanie częstości i postaci drgań własnych

Siły zmienne w czasie, działając na konstrukcję budowlaną, powodują jej drgania. Drganiem lub ruchem drgającym nazywamy ruch oscylujący wokół położenia równowagi statycznej będącej stanem odniesienia. Należy wyznaczyć przemieszczenia poszczególnych punktów masowych konstrukcji, a dalej ich prędkości, przyspieszenia.

Obciążenia dynamiczne działające na konstrukcję mogą pochodzić od sił natury (obc. sejsmiczne, wiatrem, od fal morskich, itp.) bądź od działalności człowieka (obc. parasejsmiczne: od ruchu pojazdów, od eksplozji materiałów wybuchowych, od uderzeń młotów udarowych, od wstrząsów spowodowanych eksploatacją złóż węgla kamiennego, itp. ). Do obliczeń przyjmuje się schemat dynamiczny konstrukcji budowlanej, to jest schemat statyczny uzupełniony o rozkład mas (mogą być skupione bądź rozłożone w sposób ciągły), rozkład oporów ruchu oraz opis sił wzbudzających ruch.

Do obliczeń układów drgających z masami skupionymi używać będziemy liczby dynamicznych stopni swobody S_d . Liczba dynamicznych stopni swobody jest to liczba niezależnych współrzędnych uogólnionych, potrzebna do jednoznacznego określenia położenia danego układu materialnego w każdej chwili ruchu względem stanu równowagi statycznej.

Równanie ruchu układu dyskretnego (równanie równowagi dynamicznej)

$$M\ddot{q}\left( t \right) + C\dot{q}\left( t \right) + Kq\left( t \right) = P(t)$$

M – diagonalna macierz mas (m₁, … , m_n)

C – diagonalna macierz tłumienia (c₁, …, c_n)

K – macierz sztywności

P – wektor sił wymuszających (macierz kolumnowa) (P₁(t), P₂(t), …, P_n(t))

q(t) – wektor uogólnionych przemieszczeń dynamicznych (q₁(t), q₂(t), …, q_n(t))

Drgania własne, swobodne- bez tłumienia C

$$M\ddot{q}\left( t \right) + Kq\left( t \right) = 0$$

K^-1=F

F- macierz podatności

$$F*M\ddot{q}\left( t \right) + I*q\left( t \right) = 0$$

$$K = \begin{bmatrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ \text{\ \ }k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ \text{\ \ \ }k_{31} & k_{32} & k_{33} \\ \end{bmatrix}$$

$$\backslash n{F = \begin{bmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13} \\ \ \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23} \\ \ \ \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33} \\ \end{bmatrix}}$$

Współczynnik sztywności k_ij należy interpretować jako reakcję w dodatkowej podporze o numerze i wywołaną jednostkowym osiadaniem podpory o numerze j.

Współczynnikiem podatności δ_ij nazywa się uogólnione przemieszczenie w kierunku i-tego stopnia dynamicznej swobody wywołane uogólnioną siłą jednostkową P_j=1 działającą w miejscu i kierunku j-tego stopnia dynamicznej swobody.

$$\overset{\overline{}}{q}\left( t \right) = \overset{\overline{}}{A}\sin\left( \omega t \right)$$

A – wektor postaci drgań

ω – częstość kołowa drgań własnych

$$\dot{q}\left( t \right) = \omega\text{Acos}\left( \omega t \right)$$

$$\ddot{q}\left( t \right) = - \omega^{2}A\sin\left( \omega t \right)$$

$$F*M\ddot{q}\left( t \right) + I*q\left( t \right) = 0$$

−ω²FMA + IA = 0

$\frac{1}{\omega^{2}} = k = \lambda$ B=FM

(B−kI)A = 0

det(B−kI) = 0 Problem własny

$$M\ddot{q}\left( t \right) + Kq\left( t \right) = 0$$

−ω²MA + KA = 0

(ω²M−K)A = 0

det(ω²M−K) = 0

Sposób 1

(ω²FM−I)A = 0

$$\begin{bmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} \\ \delta_{21} & \delta_{22} \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2\ } \\ \end{bmatrix}*\omega^{2} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_{11}m_{1}\omega^{2} - 1 & \delta_{12}m_{2}\omega^{2} \\ \delta_{21}m_{1}\omega^{2} & \delta_{22}m_{2}\omega^{2} - 1 \\ \end{bmatrix}$$

m₁ – suma wszystkich mas drgających na kierunku q₁

m₂ – suma wszystkich mas drgających na kierunku q₂

Sposób 2

Wyprowadzenie na zdj.:

Równanie wiekowe tensora

k² − I₁k + I₂ = 0

k – wartości własne tensora $\frac{1}{\omega^{2}} = k$

I₁, I₂ – niezmienniki tensora B

$$B = \ \begin{bmatrix} m_{1}{\delta_{11}}^{\ } & m_{2}{\delta_{12}}^{\ } \\ m_{1}{\delta_{21}}^{\ } & m_{2}{\delta_{22}}^{\ } \\ \end{bmatrix}$$

$$I_{1} = \sum_{i = 1}^{2}b_{\text{ii}}$$

$$I_{2} = \left| \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{matrix} \right|$$

Dla każdej częstości wyraża się wzajemny stosunek amplitud drgań (postać drgań). Zbiór ten tworzy tzw. spektrum drgań własnych.

ω₁ nazywa się podstawową częstością drgań

Następnie określa się częstotliwość, okres ruchu, sprawdza się warunek ortogonalności:

m₁A₁¹A₁² + m₂A₂¹A₂² = 0