ELIPSOIDA

Elipsoida obrotowa o odpowiednio dobranych parametrach jest znacznie lepszym przybliżeniem kształtu bryły ziemskiej niż kula. Elipsoidą odniesienia nazywamy elips. obrotową o odpowiednio dobranych parametr. i określonym usytuowaniu w bryle ziemskiej, na którą rzutowano punkty danej sieci geodezyjnej. W ukł. współ. prostokątnych XYZ umieszcza się elipsoidę obr. w taki sposób, że środek elips. pokrywa się z początkiem ukł. współ, oś obrotu elipsoidy pokrywa się z osią Z ukł. współ. RYS 7

Wsp. każdego pkt leżącego na pow. elipsoidy obrotowej spełniają równanie X²/a²+Y²/a²+Z²/b²=1 Kształt i wielkość elipsoidy obr. określają parametry: półosie a i b lub półoś a i spłaszczenie α [α=(a-b)/a] Zamiast α można posługiwać się mimośrodem elipsoidy

e²=(a²-b²)/a²=α(2-α), także: b²/a² =1- e² wielkość II mimośrodu obliczamy ze wzoru: e’²=(a²-b²)/b² = e²/(1- e²)

Równoleżnikiem punktu P jest ślad przecięcia pow. elipsoidy pł. przech. przez p-kt P i równoległą do płaszczyzny równika. Ma kształt okręgu.

Południkiem punktu P jest ślad przecięcia elipsoidy płaszcz. przech. przez p-kt P i oś obrotu elipsoidy. Ma kształt elipsy. Wprowadza się oś U i powstaje nowy, prostokątny układ UZ. RYS 8

Równanie połud. zawierającego pkt P w tym układzie to U²/a²+Z²/b²=1 Normalna n do elipsoidy leży w płaszcz. południka P. Szerok. elipsoidalną B (sz. geodezyjna) punktu P jest kąt miedzy normalną n do pow. elipsoidy w p-kcie P i płaszcz. równika Dł elipsoidalną L (dł. geodezyjna) p-tu P jest kąt dwuścienny między płaszcz. połud.

p-tu P i płaszcz. połud. początkowego RYS 9

Styczna do pow. elips. w pkt. P tworzy z dodatnim kierunkiem osi U kąt=90⁰+B co pozwala określić zależność pochodnej dZ/dU od szer. elipsoid. B.

dZ/dU=tg(90⁰+B)= -ctgB po przekształc. i uwzględnieniu b²/a²=1-e² mamy: U²=a²/1+(1-e²) tg²B Dla U≥0 mamy : U=(acosB)/√(1-e²sin²B), a promień równoleżnika pkt P r=U Współ. X i Y punktu P oblicz. X=UcosL; Y=UsinL, a współ. Z=[a(1-e²)sinB]/ √(1-e²sin²B)

Szerokość zredukowana Przyjmujemy, że środek sfery pokrywa się ze środ. elips. obrot. Jeżeli przez pkt P leżący na elips. poprowadzimy prostą równoległą do osi obrotu Z, to punkt P₁ będzie rzutem punktu P na sferę. Kąt ψ zawarty między promieniem OP₁ a pł. równika będzie szerokością zredukowaną punktu P. RYS10

tgψ=[√(1a²)]×tgB

Przekroje normalne Przez p-kt P leżący na danej, regularnej pow. można poprowadzić tylko jedną prostą prostopadłą do tej pow. zwaną normalną n. Wszystkie płaszcz. zawierające normalną n przecinają daną pow. wzdłuż krzywych zwanych przekrojami normalnymi w punkcie P. Krzywizny z reguły są zmienne. Spośród wszystkich przekrojów normalnych w danym punkcie wyróżniamy 2 przekroje główne. Jeden ma krzywiznę największą spośród krzywizn wszystkich przekr. normalnych w danym punkcie, drugi zaś ma krzywiznę najmniejszą. Płaszcz. przekr. gł. przecinają się pod kątem prostym.

RYS 11.

Jednym z przekr. gł. elips. obrotowej jest przekr. płaszcz. połud, zwany przekr. połud, a drugim – przekr. płaszcz. prostopadłą do płaszcz. połud. zwany przekr. poprzecznym Dług. promienia M krzywizny przekr. połudn. M=ds/dB, S- dł. połud, rożniczka dS zależy od dU i dZ czyli: dS.=√(dU²+dZ²), lub

dS= -dU√(1+(dZ/dU)²), znak minusa mówi o tym że ujemnemu przyrostowi dU odpowiada dodatni przyrost dS., uwzględniając dZ/dU= -ctg B, to otrzymamy: dS.=- dU√(1+ctg ²B)=-dU/sin B, zatem M=-dU/dB*1/sin B,

dU/dB=-a(1-e²)sin B/(1-e²sin ²B)^3/2,

Co ostatecznie daje nam wzór na M

M=[a(1-e²)]/(1-e²sin²B)^3/2.

RYS 12

Oba przekroje mają wspólną styczną w punkcie P, a płaszcz. tych przekr. tworzą kąt równy szer. elips. B, możemy zastosować tw. Meusniera: r=Ncos B,r to promień równoleżnika, zatem N=r/cosB, podst. r=U otrzymujemy dł. promienia N krzywizny przekr. poprzecznego to N=a/(1-e²sin²B)^1/2 Zależność tę można wykorzystać do uproszczenia wzorów określające wsp. prostokątne pkt leżącego na pow. elipsoidy: X= NcosBcosL Y= NcosBsinL Z= N(1-e²) sinB. Promień. M jest najmn. a N najw. promieniem krzywizny przekr. normalnych w danym p-kcie. Promień krzywizny dowolnego przekr normalnego (wzór Eulera) 1/R_A=cos²A/M+sin²A/N. Śr. promień krzywizny Q w danym p-kcie elips. definiujemy jako Q=1/2π₀∫^2πR_AdA. Obliczamy ze wzoru Q=√MN=(a√1-e²)/(1-e²sin²B)

Długość łuku południka Wzór wyjściowy dS=MdB S₁₂<60km z dok. 1mm:

S₁₂=M_s(B₂-B₁), M_s=M(B_Sr); Dla 60km<S₁₂<750km z dok. 1mm: S₁₂=[(M₁+4M_s+M₂)*(B₂-B₁)]/6; Dla S₁₂>750km S₁₂=_B1∫^B2MdB =₀∫^B2MdB-₀∫^B1MdB

Pole powierzchni elipsoidy Elementarny czworobok krzywoliniowy. jest zawarty między dwoma południkami i równoleżnik. będącym wycinkiem powierzchni elipsoidy obrotowej. RYS 13

Dł. boków tego czworoboku są równe elementarnym dług. łuku połud. (MdB) oraz równoleżnika (NcosBdL). Pole elementarnego czworoboku można obliczyć ze wzoru dP=MncosBdBdL. Pole czworoboku o wymiarach skończonych określa wzór P=_B1∫^B2_L1∫^L2MncosBdBdL.

Pole całej pow. elips. obr. to

P=a²(1e²)4π[1+²/₃e²+³/₅e⁴+⁴/₇e⁶+...]

ODWZOROWANIE GAUSSA-KRUGERA jest odwz. równokątnym pow.i elipsoidy obrotowej na pł. Odwz to jest odwzor. walcowym poprz. równokąt. pow. elips. obrotowej. Charakteryzuje się występow. niewielkich zniekształceń w wybranym, wąskim pasie połud. Powierzchnie elipsoidy obrotowej należy podzielić na wąskie pasy połud. i każdy z nich odwzorować oddzielnie na płaszcz. Szerokość pasa połud. (ΔL) zależy od przyjętych dopuszczalnych zniekształceń dług. lub zniekształceń pól. Odwz G-K spełnia 3 warunki: jest odwz. równokątnym, obrazem połud. Śr. danego pasa jest odcinek linii prostej, a obrazami pozostałych połud. są linie krzywe symetrycznie rozłożone względem obrazu połud. śr., połud. śr. pasa odwzorowuje się bez zniekształceń (m₀= 1).

Funkcje odwzorowawcze w postaci funkcji B, l. Wprowadźmy układ wsp prostokątnych x, y w następujący sposób: oś odciętych x pokrywa się z obrazem połud. Śr. L₀ i jest skierowana na północ, oś rzędnych y pokrywa się z prostoliniowym obrazem równika i jest skierowana na wschód. RYS 40

Skoro połud. L₀ ma tak duże znaczenie będziemy się posługiwać różnicą długości geodezyjnych l= L-L₀. funkcje odwzorowawcze można zapisać następująco: x=F₁(B,l), y=F₂(B,l); Podczas wyprowadzania funkcji odwzorowaw. będziemy się posługiwać wsp. izometrycznymi q, l.

Zbieżność południków w odwzorowaniu Gaussa-Krugera.

Zbieżnością południków w odwzorowaniu nazywamy kąt zawarty między styczną do obrazu południka w danym punkcie a linią prostą przechodzącą przez ten punkt

równolegle do osi x.

Rys.

Zbieżnością południków γ mierzona jest od stycznej do obrazu południka w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. We wszystkich punktach odwzorowania G-K, leżących na północ od obrazu równika i na wschód od obrazu południka jest dodatnia. Obierzmy na obrazie punkt P’ o współrzędnych B,L oraz punkt P₁’ o współrzędnych B,L+dL, przy założeniu, że dL jest wielkością nieskończenie małą. Punkty P’ i P₁’ leżą zatem na obrazie równoleżnika o szerokości elipsoidalnej B.

(rys.10.4).

Przyrosty współrzędnych prostokątnych dx=(δx/δl)*dl i dy=(δy/dl)*dl. Różniczki te wykorzystujemy do obliczania zbieżności południków, gdyż tgγ=dx/dy=[δx/dl*dl]:[δy/δl*dl] po podzieleniu licznika i mianownika przez dl otrzymamy prosty wzór: tgγ=δx/δl:δy/δl. Kąt γ nie przekracza 3⁰ w wąskich pasach południków, możemy go więc wyrazić bez stosowania funkcji tangens. Po przekształceniach otrzymujemy wzór na zbieżność południków w odwzorowaniu G-K w radianach: γ=lsinB+l³/3sinBcos²B(1+3η²)+1⁵/15sinBcos⁴B(2-t²) i wzór w sekundach γ”=l”sinB{1+1/3[l”/ρ”]²cos²B(1+3η²)+1/15[l”/ρ”]⁴cos^4‑B(2-t²)}

Elementarna skala dł. i pól. W odwzorowaniach równokątnych elementarną skalę dł. można obliczać w dowolnym kierunku. W kierunku równoleżników wg. wzoru:

m=m_λ=√G /r=√(δx/δl)²+(δy/δl)² /NcosB . Elementarna skala pól jest równa kwadratowi elementarnej sk. dł.: p=m²= [(δx/δl)²+(δy/δl)² ] / [N ²cos ²B]

Wybierając odwzorowanie G-K jako podstawę geodezyjnego układu wsp. płaskich x,y, można zmodyfikować trzeci warunek odwz, wprowadzając skalę długości m₀ na połud. środ. mniejszą od 1. Skala dł. m₀ powinna być odwrotnością średniej skali m_sr występującej na odwz. obszarze (w odwz. nie modyfikowanym) m₀=1/m_sr W przypadku odwz. G-K, w którym min. wartośc skali dł. = max. wartośc skali dł. m_max występuje na skraju pasa połud, m₀= 2/(1+m_max). Skala m₀ zależy więc od m_max, zatem od przyjętej szerokości pasa połud. Skala dł. m₀ jest zwykle zaokraglana do 4 lub 5-ciu miejsc po przecinku. Wykorzyst. w wielu krajach odwz. UTM jest odwz. G-K o szer. pasa 6⁰ i m₀=0,9996 na połud. śr; X=m₀*x; Y=m₀*y + c* n; gdzie n- nr pasa, c-stała dodawania

Generalizacja uzasadniony dobór i uogólnienie elementów treści mapy zależnie od jej treści i przeznaczenia. Wybór rzeczy najważniejszych i istotnych oraz ich celowe uogólnienie mające na wzgl przedst. na m pewnej ilości rzeczywistości z uwzgle jej zasadniczych typowych cech, charakter właściwości, stos do przeznaczenia tematyki oraz s mapy Rodzaje ilościowa, redukcji ulega liczba sygnałów określonych parametrami xy, M (Σ x, y)>M₁(Σ x, y) >M₂ (Σ x, y) -> M_n (Σ x, y) ubytek ilości (liczby) zdarzeń pokazanych na m, g. formy geometryczny aspekt procesu g, -odległości –kształtu g. treści; jakościowa a uogólnianie pojęć, zastęp pojęć element pojęciami nadrzędnymi, bardziej syntetycznymi. Zmieniają się więc tutaj parametry semantyczne z(q) Z-> Z₁ = Σ z -> Z₂ = Σ z₁-> Z_n = Σ z_n-1; Q -> Q₁ = Σ q -> Q₂ = Σ q₁ ->Q_n= Σ q_n-1 przykłady drzewa. Oba rodzaje są ze sobą ściśle związane i nawzajem na siebie oddziałują w procesie tworzenia mapy. G jest procesem kompleksowym, złożonym, o czym świadczą m.in. trudności w jej sformalizowaniu

Mapy tematyczne: M społeczno-gos są to mapy obrazujące wybrane zjawiska oraz stosunki gos i społeczne określonego obszaru. Mapy te zawierają informacje ilustrujące określone zagadnienia z zakresu struktury zagospodarowania terenu oraz zagadnienia i zjawiska społeczne przedstawione na tle odpowiednio dobranej mapy ogólnogeog lub wybranych ogólnogeog elementów treści mapy zasadniczej; Mapy przyrodnicze są to opracowania karto ilus stan zasobów nat, zjawiska fizjograficzne i wzajemne powiązania występujące między poszczególnymi czynnikami środowiska przyr oraz skutki działalności ludzkiej w zakresie przeobrażeń tego środowiska na określonym obszarze Instrukcje: gł urzędu gik: K-1 dotyczy zasad opracowania m zasadniczej; K-2 ( 1980, wydanie II) dotyczy zasad oprawco i reprodukcji map topo do celów gospodarczych; K-3 zasady opracowania i reprodukcji map tematycznych z wyłączeniem m zasad / 0-2 ogólne zasady opracow map do celów gosp (87, wyd III); O-1/O-2 ogólne zasady wykonywania prac gik Arkusz: data wydania mapy, data ukończenia opracowania mapy, rodzaj materiału źródłoego i datę jego aktualności, nazwe instytucji opracowującej i wydającej daną m, imie i nazwikso osoby odpowiedzielanej za opracowanie danego arkusza m, inne dane wydawnicze określone odrębnymi przepisami.Podział map, godła i wymiary arkuszy M topo ze wzgl na zakres treści i stopień uogólnienia charakterystyki powierzchni Ziemi dzielą się na: wielkoskalowe w skalach 1:5 000 i 1:10 000, średnioskalowe w skalach 1:25 000 i 1:50 000, małoskalowe w skalach 1:100 000 - 1:500 000.Mapy topograficzne w skalach 1:5 000, 3:10 000, 1:25 000 i 1:50 000 opracowuje się w państwowym układzie współrzędnych "1965".

Skala długości w kierunkach głównych.

Niech ds. oznacza dł. Nieskończenie małego łuku na pow. oryginały, a -ds.- dł. Odpowiadającego mu łuku na obrazie. Stosunek m= -ds.-/ds. nazywamy elementarną skalą długości Kwadrat skali długości można wyrazić wzorem:m²=ds²/ds²=(EdB²+2F dBdL+GdL²)/(M²dB²+r²dL²) , dzielimy licznik i mianownik przez dL² mamy: m²=E(dB/dL)²+2F(dB/dL)+G/M²(dB/dL)²+r² (#). Stosunek dB/dL zależny od azymutu A elementu ds obl.: dB/dL=r/M ctgA ,podstawiając to do wz.(#) mamy:

m²=[E*r²/M²ctg²A+2F*r/MctgA+G]/[r²ctg²A+r²] , ponieważ r²ctg²A+r²=r²(ctg²A+1)=r²/sin²A ostatecznie otrzymujemy :m²=E/M²cos²A+F/Mr sin2A+G/r²sin²A ,z wz.wynika że skala dł. m zależy od E,F,G i azym. A . Skala dł. w kierunku południków: m_B=√E /M E=(δx/δB)²+(δy/δB)², Skala dł. w kier. równoleżników: m_L=√G /r G=(δx/δL)²+(δy/δL)². Z powyższych wzorów otrzymujemy m²= m_B²cos²A+m_Bm_Lcosθsin2A+m_L²sin²A Skala długości jest funkcją okresową azymutu o okresie 180^o. W pełnym zakresie azymutów, od A=0^o do A=360^o, skala m będzie osiągała 2 razy tę samą wartość max i 2 razy tę samą wartość min

Ekstremalne skale długości występują w kierunkach głównych tg2A_e=(m_Bm_Lsinθ)/(m_B²-m_L²) e -ekstremalne wartości skali W odwz. równokątnych kierunki gł. nie są określone dlatego skala dł.w danym pkt. nie zależy od kierunku

Odwzorowaniem jednej pow. na drugą nazywamy każdą wzajemnie jednoznacz. odpowiedniość punktową między pow. nazywaną oryginałem a pow. nazwaną obrazem

I tw. Tissota W każdym odwzorow. regularnym, nie będącym odwzorow. równokątnym, istnieje na oryginale dokładnie jedna siatka ortogonalnych linii parametrycznych, której obrazem jest także siatka ortogonalna. Kierunki tej siatki nazywamy kierunkami głównymi. Nie są one określone gdy odwzorowanie jest równokątne. Gdy obrazy południków i równoleż. przecinają się pod kątem prostym (θ=90^o) wówczas kierunki główne pokrywają się z nimi.

Przekroje normalne Przez punkt P leżący na danej, regularnej powierzchni można poprowadzić tylko jedną prostą prostopadłą do tej powierzchni zwaną normalną n. Wszystkie pł zawierające normalną n przecinają daną pow. wzdłuż krzywych zwanych przekrojami normalnymi w punkcie P. Krzywizny z reguły są zmienne. Spośród wszystkich przekrojów normalnych w danym punkcie wyróżniamy 2 przekroje główne. Jeden ma krzywiznę największą spośród krzywizn wszystkich przekrojów normalnych w danym punkcie, drugi zaś ma krzywiznę najmniejszą. Płaszczyzny przekrojów głównych przecinają się pod kątem prostym. RYS 11

Jednym z przekrojów głównych elipsoidy obrotowej jest przekrój pł. południka, zwany przekrojem południkowym, a drugim – przekrój płaszczyzną prostopadłą do płaszcz. południka zwany przekrojem poprzecznym Długość promienia M krzywizny przekroju południkowego to M=[a(1-e²)]/(1-e²sin²B)^3/2.

Długość promienia N krzywizny przekroju poprzecznego to N=a/(1-e²sin²B)^1/2 Zależność tę można wykorzystać do uproszczenia wzorów. określające wsp. prostokątne pkt leżącego na pow. elipsoidy: X=NcosBcosL; Y=NcosBsinL; Z=N(1-e²)sinB. Porównanie promieni M i N wskazuje, że pro. M jest najmniejszym a N największym promieniem krzywizny przekrojów normalnych w danym punkcie. Promień krzywizny dowolnego przekroju normalnego (wzór Eulera) 1/R_A=cos²A/M+sin²A/N. Średni promień krzywizny Q w danym punkcie elipsoidy definiujemy jako Q=1/2π₀∫^2πR_AdA. Obliczamy ze wzoru Q=√MN=(a√1-e²)/(1-e²sin²B)

Długość łuku południka Wzór wyjściowy dS=MdB S₁₂<60km z dok. 1mm S₁₂=M_s(B₂-B₁), M_s=M(B_Sr); Dla 60km<S₁₂<750km z dok. 1mm S₁₂=[(M₁+4M_s+M₂)*(B₂-B₁)]/6; Dla S₁₂>750km S₁₂=_B1∫^B2MdB=₀∫^B2MdB-₀∫^B1MdB