Wydział Nauk Technicznych

II rok, studia stacjonarne

Mechatronika

Ćwiczenia laboratoryjne

Automatyka

Sprawozdanie z ćwiczenia nr 2

Wyznaczanie odpowiedzi skokowej w Simulinku

Daniel Bojarojć

Kamil Kowalski

Grupa II

$$\ddot{y}\left( t \right) + 4\dot{y}\left( t \right) + 2y\left( t \right) = 2u\left( t \right)$$

Wyznaczenie równań stanu i wprowadzenie macierzy A, B, C, D

$$\begin{matrix} x_{1} = y \\ x_{2} = \dot{y} \\ \end{matrix} \rightarrow \dot{x_{1}} = x_{2}$$

Podstawiając x₁ oraz x₂ do równania otrzymujemy:

$$\dot{x_{2}} + 4x_{2} + {2x}_{1} = 2u(t)$$

$$\left\{ \begin{matrix} \dot{x_{1}} = x_{2} \\ \dot{x_{2}} = {- 2x}_{1} - 4x_{2} + 2u\left( t \right) \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{bmatrix} \dot{x_{1}} \\ \dot{x_{2}} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ - 2 & - 4 \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \right.\ u\left( t \right)$$

y = x₁

$$y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \left\lbrack 0 \right\rbrack u(t)$$

Macierze opisujące układ to:

$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ - 2 & - 4 \\ \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$ D = [0]

%wprowadzenie macierzy opisujących układ

A=[0 1;-2 -4];

B=[0;2];

C=[1 0];

D=[0];

% konwersja macierzy do stanu transmitancji operatorowej

[NUM,DEN]=ss2tf(A,B,C,D)

Wyniki:

NUM =

0 0 2.0000

DEN =

1.0000 4.0000 2.0000

NUM – współczynniki wielomianu licznika transmitancji

DEN – współczynniki wielomianu mianownika transmitancji

% wyznaczenie odpowiedzi skokowej

x2=100; %punkty do wykreslenia odpowiedzi skokowej

odpskok=step(NUM,DEN,x2); %odpowiedz skokowa

dlugosc2=length(odpskok); %dlugosc wektora czasu

t1=0:x2/(dlugosc2-1):x2; %wektor czasu

skokmax=max(odpskok); %wzmocnienie w stanie ustalonym

% wyznaczenie wzmocnienia ukladu w stanie ustalonym

wzmocnienie=dcgain(NUM,DEN);

% WYKRES ODPOWIEDZI SKOKOWEJ

figure(1);

plot(t1,odpskok,'b',t1,skokmax,'k:')

axis([0 15 -0.1 1.2])

title('Odpowiedz skokowa ukladu');

xlabel('t(s)');

ylabel('H(t)');

legend('odpowiedz skokowa')

Odpowiedź skokowa układu w matlabie

Schemat modelowania analogowego równań stanu

Bramki użyte w schemacie:

Skok jednostkowy

Wzmocnienie

Całkowanie

Wyświetlacz

Węzeł sumacyjny (sumowanie kilku sygnałów)

Odpowiedź skokowa układu w simulinku

Wnioski:

Równanie stanu naszego układu wygląda następująco:

$$\left\{ \begin{matrix} \dot{x_{1}} = x_{2} \\ \dot{x_{2}} = {- 2x}_{1} - 4x_{2} + 2u\left( t \right) \\ \end{matrix} \right.\ $$

Na jego podstawie wyznaczyliśmy macierze A, B, C i D, które umożliwiły nam wykonanie modelu symulacyjnego otrzymanego równania stanu. Odpowiedź skokowa układu rośnie wykładniczo do 1, a po osiągnięciu 10s wzmocnienie przyjmuje wartość stałą. Jak widać na powyższych obrazkach odpowiedź jest w simulinku jest dokładnie taka sama jak wykreślona przez Matlaba.