Zestaw C

Część teoretyczna- wykłady

Pyt 1/I

liczba zespolona geometrycznie

II ćwiartka: a<0 bi>0 90°>φ>180°	I ćwiartka: a>0 bi>0 0°>φ>90°
III ćwiartka: a<0 bi<0 180°>φ>270°	IV ćwiartka: a>0 bi<0 270°>φ>360°

Pyt 2/I

Własności wyznaczników macierzy kwadratowej:
1. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer jest równy 0.
2. Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przestawimy między sobą dwie (dwa) kolumny (wiersze).
3. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie (dwa) jednakowe lub proporcjonalne kolumny (wiersze) jest równy 0.
4. Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy.
5. Wyznaczniki macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe.

Pyt 3/I

Macierz ortogonalna to macierz kwadratowa  spełniająca równość:

,

gdzie:

•  jest ciałem np. 

•  oznacza macierz jednostkową wymiaru ,

•  oznacza macierz transponowaną względem .

Innymi słowy, macierz jest ortogonalna, jeśli jej macierzą odwrotną jest macierz do niej transponowana. Macierz ortogonalna to macierz unitarna o wyrazach rzeczywistych.

np.

bo gdy pomnożymy przez macierz transponowaną względem tej macierzy wyjdzie macierz jednostkowa

Pyt 4/I

- wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi macierzy wyjściowej,
- jeżeli macierz posiada wiersz zerowy (kolumnę zerową), wówczas detA = 0,
- jeżeli macierz posiada dwa identyczne wiersze (kolumny), wówczas detA = 0,
- jeżeli jakiś wiersz (kolumna) jest kombinacją liniową innych wierszy (kolumn), wówczas detA = 0,
- zamiana miejscami dwóch wierszy lub dwóch kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika,
- jeżeli w danej macierzy elementy danego wiersza lub kolumny zostaną przemnożone przez dowolną liczbę k ≠ 0, wówczas wartość wyznacznika również zostanie przemnożona przez k,
- zachodzi równość det(A · B) = detA · detB

NIE WIEM CZY TO OTO CHODZI !!!

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Pyt 1/II

Pyt 2/II

Hiperbola - krzywa stożkowa , będąca zbiorem punktów takich, że wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch punktów, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stała.

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne ( − c,0) i (c,0), to można ją opisać równaniem:

gdzie a jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast b jest połową odległościpomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek: b² = c² − a².

Jeżeli a = b to hiperbolę nazywamy równoosiową.

Mimośrodem hiperboli nazywamy stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi  Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Kierownicami hiperboli nazywamy proste wyrażone równaniami 

Obierzmy na hiperboli dowolny punkt P = (x,y), przez r₁ oznaczmy odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez r₂ odległość pomiędzy punktem P a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

• dla prawej gałęzi: 

• dla lewej gałęzi: 

Niech d₁ będzie odległością ustalonego punktu P od lewej kierownicy, a d₂, odpowiednio, od prawej.

Wówczas:

Hiperbolę o równianiu

nazywamy hiperbolą sprzężoną (do wyjściowej hiperboli). Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona

mają wspólne asymptoty o równaniach

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywamy średnicą

hiperboli.

Styczna w punkcie Q = (p,q) hiperboli spełnia równanie

Pyt 3/II

	x = x0 + at	t  R
	y = y0 + bt

Pyt 4/II