TM36, materialy, Matematyka, matematyka - dowody


TM 36.Definicje ilorazu różnicowego, pochodnej funkcji w punkcie i ich interpretacje, umiejętność obliczania pochodnej z definicji.

Pochodna funkcji w punkcie jest to granica ilorazu różnicowego przy przyroście argumentów dążącym do zera.

Iloraz różnicowy możemy zdefiniować jako:

0x08 graphic
Czyli stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentów, który jest równy tangensowi nachylenia siecznej do osi OX.

0x08 graphic
A więc pochodna funkcji w punkcie ( f'(x) ) to:

0x08 graphic
Oznaczenia jak na rysunku:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

Inne używane oznaczenia:

x2 - x1 = Δx = h przyrost argumentów

f(x + h) - f(x) przyrost wartości funkcji

0x08 graphic
Jak widać z rysunku tg α, czyli tangens nachylenia siecznej:

0x08 graphic
Jeżeli istnieje granica ilorazu różnicowego, przy przyroście argumentów dążącym do zera, to nazywamy ją pochodną funkcji w punkcie x.

W interpretacji graficznej pochodna funkcji w punkcie x to tangens do nachylenia do osi OX stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x.

Innymi słowy zmniejszając przyrost argumentów do wartości minimalnej sieczna nie przecina wykresu w dwóch punktach, ale „dotyka” go w jednym stając się styczną. Jej tangens nachylenia jest nazywany pochodną.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Obliczanie pochodnej z definicji:

Jako przykład obliczymy pochodną funkcji pierwiastek z x w punkcie x = 4.

F(x) = √x

x=4

0x08 graphic

Sprawdźmy poprawność tych obliczeń korzystając z wzoru na pochodną pierwiastka (to już kolejne lekcje). Za x podstawiamy 4.

0x08 graphic
Artur Kurnicki IV a

0x01 graphic

0x01 graphic

x

x + h

f (x)

Sieczna

f(x)

f(x + h)

f(x + h) - f(x)

h

α

α

0x01 graphic

0x01 graphic

x

y

y

α

x

0x01 graphic

x

Styczna y= ax +b

f (x)

0x01 graphic

f'(x) = tg α = a



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ftryg, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm29, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
zadanie6, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm16, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm4-2, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm3, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
zadanie18, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm35ciagi, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
Iloczynkartezjaski, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm5, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
PROSTA, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm4, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm2Twierdzeniecosinusw, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
TM31Wartbezwzgl, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
kombinatorykaTM41, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
ZadanieTM20, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
ZBIORY, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
TRYGONOMETRIA1, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
TwierdzeniecosinuswTMnr2, materialy, Matematyka, matematyka - dowody

więcej podobnych podstron