TM 36.Definicje ilorazu różnicowego, pochodnej funkcji w punkcie i ich interpretacje, umiejętność obliczania pochodnej z definicji.
Pochodna funkcji w punkcie jest to granica ilorazu różnicowego przy przyroście argumentów dążącym do zera.
Iloraz różnicowy możemy zdefiniować jako:
Czyli stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentów, który jest równy tangensowi nachylenia siecznej do osi OX.
A więc pochodna funkcji w punkcie ( f'(x) ) to:
Oznaczenia jak na rysunku:
Inne używane oznaczenia:
x2 - x1 = Δx = h przyrost argumentów
f(x + h) - f(x) przyrost wartości funkcji
Jak widać z rysunku tg α, czyli tangens nachylenia siecznej:
Jeżeli istnieje granica ilorazu różnicowego, przy przyroście argumentów dążącym do zera, to nazywamy ją pochodną funkcji w punkcie x.
W interpretacji graficznej pochodna funkcji w punkcie x to tangens do nachylenia do osi OX stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x.
Innymi słowy zmniejszając przyrost argumentów do wartości minimalnej sieczna nie przecina wykresu w dwóch punktach, ale „dotyka” go w jednym stając się styczną. Jej tangens nachylenia jest nazywany pochodną.
Obliczanie pochodnej z definicji:
Jako przykład obliczymy pochodną funkcji pierwiastek z x w punkcie x = 4.
F(x) = √x
x=4
Sprawdźmy poprawność tych obliczeń korzystając z wzoru na pochodną pierwiastka (to już kolejne lekcje). Za x podstawiamy 4.
Artur Kurnicki IV a
x
x + h
f (x)
Sieczna
f(x)
f(x + h)
f(x + h) - f(x)
h
α
α
x
y
y
α
x
x
Styczna y= ax +b
f (x)
f'(x) = tg α = a