TM 36.Definicje ilorazu różnicowego, pochodnej funkcji w punkcie i ich interpretacje, umiejętność obliczania pochodnej z definicji.

Pochodna funkcji w punkcie jest to granica ilorazu różnicowego przy przyroście argumentów dążącym do zera.

Iloraz różnicowy możemy zdefiniować jako:

Czyli stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentów, który jest równy tangensowi nachylenia siecznej do osi OX.

A więc pochodna funkcji w punkcie ( f'(x) ) to:

Oznaczenia jak na rysunku:

Inne używane oznaczenia:

x₂ - x₁ = Δx = h przyrost argumentów

f(x + h) - f(x) przyrost wartości funkcji

Jak widać z rysunku tg α, czyli tangens nachylenia siecznej:

Jeżeli istnieje granica ilorazu różnicowego, przy przyroście argumentów dążącym do zera, to nazywamy ją pochodną funkcji w punkcie x.

W interpretacji graficznej pochodna funkcji w punkcie x to tangens do nachylenia do osi OX stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x.

Innymi słowy zmniejszając przyrost argumentów do wartości minimalnej sieczna nie przecina wykresu w dwóch punktach, ale „dotyka” go w jednym stając się styczną. Jej tangens nachylenia jest nazywany pochodną.

Obliczanie pochodnej z definicji:

Jako przykład obliczymy pochodną funkcji pierwiastek z x w punkcie x = 4.

F(x) = √x

x=4

Sprawdźmy poprawność tych obliczeń korzystając z wzoru na pochodną pierwiastka (to już kolejne lekcje). Za x podstawiamy 4.

Artur Kurnicki IV a

x

x + h

f (x)

Sieczna

f(x)

f(x + h)

f(x + h) - f(x)

h

α

α

x

y

y

α

x

x

Styczna y= ax +b

f (x)

f'(x) = tg α = a

---