Marek Kopyto

Nr indeksu : 94597

Wt: 13¹⁵-15⁰⁰

Prowadzący: dr inż.Wojciech Krzysztofik

Wprowadzenie do systemów telekomunikacyjnych

Seminarium rok 2000/2001

Zadanie 4/6

1. Treść zadania:

Podane niżej sygnały mają pasmo nieograniczone. Można je jednak aproksymować sygnałami o ograniczonym paśmie. Przyjąć odpowiednie kryterium aproksymacji i znaleźć odpowiednią minimalną szybkość próbkowania (kryterium np. 0.95 energii)

1. e ^-2|t|

2. e ^-2t cos(100t)1(t)

3. te ^-t1(t)

4. Π (t/τ), τ = 20s

2) Wprowadzenie teoretyczne:

Minimalna częstotliwość próbkowania wynika z twierdzenia Shannona i jest zdefiniowana:

f_p > f_g

gdzie; f_p - częstotliwość próbkowania:

f_g - górna częstotliwość sygnału ( największa częstotliwość występująca w widmie)

2. Rozwiązanie:

Przykład a:

f(t) = e ^-2|t|

Czyli :

korzystając z kryterium 0,95 energii możemy napisać:

0,95 E_t = E_ω (1)

­gdzie:

gdyż:

Korzystając ze wzoru (1) możemy napisać:

rozwiązaniem tego równania jest ω_g = 5, f_g = ω_g /2π = 0,758Hz czyli f_pmin = 1,591

Przykład b):

Wyznaczam energię sygnału:

skorzystałem ze wzorów:

wyznaczam transformatę Fouriera sygnału:

Po przekształceniu otrzymujemy:

korzystając ze wzoru (1) otrzymujemy:

rozwiązaniem tego równania jest ω_g = 113, f_g = ω_g /2π = 18,05Hz

czyli f_pmin = 36,1Hz

Przykład c):

f(t) = te ^-t1(t)

w celu wyznaczenia transformaty Fouriera dla tego sygnału skorzystamy z zależności:

w wyniku otrzymujemy:

oraz:

z kolei:

ω_g =13,136, f_g =2,092Hz, f_pmin = 4,184 Hz

Przykład d):

Korzystając z symetrii transformaty Fouriera możemy napisać:

gdzie:
- sygnał bramkujący o szerokości τ

transformata ma postać:

tak więc otrzymujemy:

W celu obliczenia całki
skorzystałem z programu MATHCAD, w wyniku otrzymałem:
ω_g = 0,785, f_g = 0,121Hz, f_pmin =0,242

3. Wnioski:

W zadaniu tym mieliśmy do czynienia z sygnałami o nieograniczonym paśmie. Zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu sygnałów takich nie możemy podać procesowi próbkowania, gdyż nie znamy maksymalnej częstotliwości w widmie tych sygnałów. Sygnały te możemy jednak aproksymować sygnałami o ograniczonym paśmie korzystając np. z kryterium 0,95 energii sygnału (z którego to kryterium skorzystałem), dzięki temu możemy wyznaczyć największą częstotliwość w widmie co z kolei daje nam możliwość wyznaczenia minimalnej częstotliwości próbkowania f_pmin . Sygnały o nieograniczonym widmie możemy dzięki temu podać próbkowaniu

1

4

---