Ruch Drgający

1. W pewnym ruchu harmonicznym prędkość ciała wynosiła V₁ = 10 cm/s przy wychyleniu x₁ = 1 cm, a V₂ = 1 cm/s przy x₂ = 10 cm. Znaleźć równanie ruchu tego ciała x(t).

Odp.

2. Punkt materialny drga harmonicznie z okresem T = 0,3 s i z amplitudą A = 0,01 m. Jakie jest przyśpieszenie tego punktu w chwili gdy V = ¼ V_max.

Odp.

3. Równanie drgań harmonicznych ma postać
gdzie
. Obliczyć po jakim czasie ciało osiągnie wychylenie x = 1 cm, z jaką prędkością ono się wówczas porusza i jaka jest całkowita energia. Masa ciała m = 1 kg.

Odp. t = 7/6 s, V = 2,7 cm/s, E = 4,9·10-4 J.

4. Maksymalna prędkość punktu drgającego ruchem harmonicznym V₀ = 2 m/s a maksymalne przyśpieszenie a₀ = 3,14 m/s². Napisać równanie ruchu x(t) jeśli wiadomo, że faza początkowa ruchu α = 0.

Odp.

5. Wahadło matematyczne o długości l₁ = 81 cm wykonuje w pewnym czasie n₁ = 20 drgań. Jak należy zmienić długość wahadła aby w tym samym czasie uzyskać n₂ = 18 drgań.

Odp.

6. Przyczepiony do sprężyny klocek może ślizgać się bez tarcia po poziomej płaszczyźnie. Jedyną siła decydującą o drganiach klocka jest w tym przypadku siła sprężystości sprężyny. Jeżeli ten sam układ zostanie zawieszony, to o ruchu klocka decydować będzie także siła ciężkości. Czy w związku z tym częstość i okres drgań zmienią się.

7. Na sprężynie wisi szalka o masie M, pod wpływem której sprężyna rozciąga się na odcinek d. Na szalkę z wysokości h spada ciężarek o masie m zderzając się z nim niesprężyście. Znaleźć okres drgań T, amplitudę A oraz maksymalną H jaką osiągną masy (od początkowego położenia równowagi). Opory zaniedbać.

Odp.

8. Oblicz okres drgań wahadła fizycznego wykonującego małe drgania, o kształcie jednorodnego pręta o długości l = 90 cm. Punkt zawieszenia znajduje się w odległości x = 10 cm od środka masy pręta. Oblicz długość zredukowaną wahadła L_ZR i dobierz tak x, aby okres drgań był najmniejszy.

Odp.

9. Jednorodny walec o masie m i promieniu r toczy się w polu sił ciężkości wewnątrz walca o promieniu R (R > r). Znaleźć równanie różniczkowe ruchu i okres drgań walca wychylonego z położenia równowagi o kąt φ.

Odp.

10. Wyliczyć okres małych drgań aerometru o masie m i promieniu rurki r zanurzonego w idealnej cieczy o gęstości ρ, który nieznacznie wychylono z położenia równowagi w kierunku pionowym.

Odp.

11. Wyliczyć okres małych drgań kulki zawieszonej na lekkiej nici o długości l i umieszczonej w idealnej cieczy o gęstości n razy mniejszej od gęstości kulki.

Odp.

12. Na gładkiej poziomej płaszczyźnie znajduje się ciało o masie M połączone poziomą sprężyną o masie m ze ścianą. Współczynnik sprężystości k. Znaleźć częstość drgań własnych tego układu.

Odp.

13. Wahadło fizyczne wykonuje drgania wokół poziomej osi z częstością ω₁ = 15 rad/s. Dołączono do niego niewielkie ciało o masie m = 50 g w odległości l = 20 cm poniżej osi. Częstość drgań takiego układu wyniosła ω₂ = 10 rad/s. Znaleźć moment bezwładności tego wahadła fizycznego względem jego osi obrotu.

Odp.

14. Jednorodny walec o masie m wykonuje drgania pod wpływem 2 sprężyn o wspólnej stałej sprężystości k. Znaleźć okres drgań, jeśli walec porusza się po płaszczyźnie bez poślizgu.

Odp.

15. Energię potencjalną oddziaływań między dwoma jonami o masach m w krysztale jonowym można opisać wzorem
gdzie a i b to stałe i r to odległość między jonami. Znaleźć położenie równowagi jonu (węzła sieci) oraz jego częstość drgań wokół węzła sieci.

Odp.

16. Obliczyć współczynnik tłumienia drgań harmonicznych β punktu materialnego jeżeli iloraz dwóch po sobie następujących maksymalnych wychyleń punktu materialnego w tę samą stronę równa się 2, zaś okres drgań tłumionych T=0,5 s. Obliczyć okres drgań nietłumionych odpowiadający danym drganiom tłumionym.

Odp.

17. Logarytmiczny dekrement tłumienia drgań harmonicznych δ = 0,02. Obliczyć ile razy zmniejszy się amplituda drgań po wykonaniu 100 drgań.

Odp. 7,39 razy

18. Okres drgań tłumionych T wynosi 4s, logarytmiczny dekrement tłumienia δ = 1,6 a faza początkowa jest równa zeru. Wychylenie punktu w chwili t = 1/4 T jest równa 0,045 m. Napisać równanie ruchu drgań. Sporządzić wykres tego ruchu drgającego w przedziale czasu 0 ≤ t ≤ 2 T.

Odp.

19. Drgania tłumione punktu opisane są równaniem
gdzie A₀ = 10,0 cm, β = 2,8 1/s, ω = 5,5 rad/s. Znaleźć :

a) prędkość punktu w chwili t=0

b) chwile czasu odpowiadające skrajnym wychyleniom punktu.

Odp. V(0) = 19,1 cm/s, t = 0,0572 + 0,5712k gdzie k = 0,1,2,3...

20. Na pionowo wiszącej sprężynie zawieszono ciężarek, który spowodował wydłużenie sprężyny o x=9,8 cm. Jaką wartość ma współczynnik tłumienia β gdy:

a) drgania ustaną po 10 s (przyjąć, że ustaną gdy amplituda będzie miała 1% wartości początkowej)

b) ciężarek wrócił aperiodycznie do położenia równowagi

c) logarytmiczny dekrement tłumienia δ=6

Odp.

21. Znaleźć logarytmiczny dekrement tłumienia δ wahadła prostego o długości l, jeśli po czasie t jego całkowita energia mechaniczna zmniejszyła się n razy.

Odp.

22. Ciało wychylono z położenia równowagi na odległość A₀ i puszczono. Jaką drogę przebędzie to ciało do momentu zatrzymania się, jeśli wykonuje ono drgania tłumione z logarytmicznym dekrementem tłumienia δ=2 i δ = 0,2.

Odp.

23. Pod wpływem zewnętrznej pionowej siły F(t) = F₀ cos(ωt) ciało zawieszone na sprężynie wykonuje stacjonarne drgania wymuszone zgodnie z równaniem x(t) = a cos(ωt - θ). Znaleźć pracę siły F w czasie jednego okresu. Wykazać, że praca ta jest zużywana na pokonanie sił tarcia.

Odp.

24. Pewna krzywa opisuje rezonans mechaniczny układu drgającego z logarytmicznym dekrementem tłumienia δ = 1,6. Znaleźć dla tej krzywej stosunek amplitud przy częstości rezonansowej i bardzo małej częstości.

Odp.

---