LISTA ZADAŃ NR 3 Z MATEMATYKI DYSKRETNEJ
Relacje , relacje równoważności, relacje porządkujące, odwzorowania.

1. Wyznaczyć dziedzinę, przeciwdziedzinę, pole relacji, dopełnienie relacji oraz relację odwrotną do następujących relacji:

a) A={-2,-1,0,1,2}, B={1,2}, C={0,2,4},

ℜ={(x,y,z)x∈A ∧ y∈B ∧ z∈C ∧ x+y=z}.

b) A={2,5,8,12}, B={3,4,10},

ℜ={(x,y)x∈A ∧ y∈B ∧ x i y są względnie pierwsze}.

c) ℜ={(x,y,z)x∈N ∧ y∈N ∧ z∈N ∧ x²+y²=z²}.

2. Wyznaczyć macierz i zbadać własności następujących relacji binarnych:

a) ℜ={(x,y)x∈N ∧ y∈N ∧ (y=x+2 ∨ x=2-y)}.

b) ℜ={(x,y)x∈Z ∧ y∈Z ∧ x=y-1}.

c) ℜ={(x,y)x∈N₊ ∧ y∈N₊ ∧ x dzieli y}.

3. Które z poniższych relacji są relacjami równoważności? Dla relacji równoważności wyznaczyć klasy abstrakcji:

a) ℜ={(x,y)x∈Z ∧ y∈Z ∧ 2 dzieli x-y}.

b) ℜ={(x,y)x∈Z ∧ y∈Z ∧ y=x}.

c) ℜ={(x,y)x∈N ∧ y∈N ∧ x-y≤4}.

d) X - zbiór funkcji kwadratowych

ℜ={(x,y)x∈X ∧ y∈X ∧ y ma tyle samo miejsc zerowych co x}.

e) X - zbiór miast w Polsce

ℜ={(x,y)x∈X ∧ y∈X ∧ y leży w tym samym województwie co x}.

f) X={1,2,...,16} ℜ={(x,y)x∈X ∧ y∈X ∧ 4 dzieli (x²-y²)}.

4. Dla podanych podziałów zbioru A wyznaczyć relację równoważności:

a) A=N, podział na zbiory {0,4,8,...}, {1,5,9,...}, {2,6,10,...}, {3,7,11,...}.

b) A=Z, podział na zbiory liczb dodatnich i ujemnych.

c) A-zbiór mieszkańców Polski, podział na mieszkańców poszczególnych województw.

d) A-zbiór wyrazów w słowniku, podział alfabetyczny.

5. Które z poniższych relacji są relacjami porządku? Dla relacji porządku wyznaczyć elementy minimalny, maksymalny, najmniejszy, największy.

a) X-zbiór przedziałów postaci (-a,a) gdzie a∈N

ℜ={(x,y)x∈X ∧ y∈X ∧ x⊂y}.

b) ℜ={(x,y)x∈Z ∧ y∈Z ∧ x≤y}.

c) X={1,2,3,4,9,36} ℜ={(x,y)x∈X ∧ y∈X ∧ x dzieli y}.

d) X={2,3,4,8,9,27} ℜ={(x,y)x∈X ∧ y∈X ∧ y dzieli x}.

6. Sprawdzić, które poniższych relacji są funkcjami

a) ℜ={(x,y)x∈Z ∧ y∈Z ∧ x=y-1}.

b) X={1,2,3,4,9,36} ℜ={(x,y)x∈X ∧ y∈X ∧ y dzieli x}.

c) ℜ={(x,y)x∈N ∧ y∈N ∧ x-y≤4}.

Dla funkcji sprawdzić czy jest to odwzorowanie, czy jest „na” i czy jest różnowartościowa.

7. Niech f będzie określona wzorem f(x)=x²-4. Wyznaczyć

a) f({0,1,2,3,4})

b) f(N)

c) f(Z)

d) f((-3,3))

e) f^-1({-2,-1,0,1,2})

f) f^-1(N)

g) f^-1((0,∞))

8. Wykazać, że zbiory

a) naturalnych liczb parzystych,

b) naturalnych liczb nieparzystych,

c) dodatnich liczb całkowitych,

d) ujemnych liczb całkowitych,

e) liczb wymiernych

są przeliczalne.

9. Jaką moc mają następujące zbiory:

A={x∈N 4 dzieli x}, B={y∈R∃z∈N₊ y=lnz}, A∪B, A∩B, A×B.

---