W. Elektroniki
Zadania do wykładu prof. J.M.Pawlikowskiego i dr J.Szatkowskiego
Lista 6
Drgania harmoniczne
Zad.1 Areometr w kształcie walca o średnicy D i masie M pływa w cieczy o gęstości r. Areometr zanurzono i puszczono swobodnie. Określić ruch areometru.
Zad.2 Na sprężynie jest zawieszona szalka wagi z odważnikami. Okres drgań pionowych jest wówczas równy T1. Po obciążeniu szalki wagi dodatkowymi odważnikami okres drgań pionowych wynosi T2 .O ile wydłużyła się sprężyna pod wpływem dodatkowego odważnika?
Zad.3. Pozioma platforma wykonuje drgania o amplitudzie A. Jaka może być maksymalna częstość drgań platformy, by leżące na niej ciało nie oderwało się?
Zad.4 Ciało o masie M leży na poziomej desce wykonującej pionowe drgania harmoniczne o okresie T i amplitudzie A. Wyznaczyć siłę nacisku ciała na deskę.
Zad.5 Jak zmieni się okres drgań pionowych ciężarka zawieszonego na dwu sprężynach , gdy szeregowe połączenie sprężyn zastąpić równoległym.
Zad.6 Na poziomym doskonale gładkim stole leży , przymocowane sprężyną do ściany ciało o masie M. W ciało to uderza pocisk o masie m lecący poziomo z prędkością v i zostaje w nim. Po zderzeniu ciało wraz z tkwiącym w nim pociskiem wykonuje drgania harmoniczne z amplitudą A. Wyznaczyć częstość tych drgań.
Zad.7. Ciało o masie m spadło z wysokości h na szalkę wagi sprężynowej i się do niej przylepiło. Układ wykonuje drgania harmoniczne w kierunku pionowym. Wyznaczyć amplitudę drgań i ich energie. Współczynnik sprężystości sprężyny wynosi k. Masa szalki M.
Zad.8 Jeżeli częstości siły wymuszającej są równe 1 i 2 .to amplitudy drgań harmonicznych wymuszonych pewnego układu są sobie równe. Wyznaczyć częstość rezonansową.
Zad. 9 Na pionowo wiszącej sprężynie zawieszono ciężarek , co spowodowało wydłużenie sprężyny o l. Ciężarek ten wprawiono w drgania pionowe. Jaką wartość powinien mieć współczynnik tłumienia , aby :
1) amplituda zmalała sto razy w przeciągu czasu t ; 2) ciężarek powrócił aperiodyczne do położenia równowagi ; 3) logarytmiczny dekrement tłumienia był równy o.
Zad.10 Ciało o masie M wykonuje drgania harmoniczne tłumione . W chwili t=0 faza drgań była równa zeru a amplituda wynosiła Ao. Na ciało zaczęła działać okresowa siła zewnętrzna , pod wpływem której ustaliły się drgania wymuszone o równaniu x=Bcos( 2 t -0.75 ). Wyznaczyć : 1) równanie drgań nietłumionych 2) amplitudę i częstość siły wymuszającej. Stała tłumienia wynosi .
Zad.11 Logarytmiczny dekrement drgań tłumionych wahadła równa się δ = 0,02. Obliczyć ile razy zmniejszy się amplituda drgań po 100 całkowitych wahnięciach.
Zad.12. Określić logarytmiczny dekrement drgań tłumionych wahadła o długości l = 50 cm, jeżeli w ciągu 8 min. wahań traci ono 99% swojej energii.
Zad.13 Wagon kolejowy o ciężarze Q0 = 21582 N jest zawieszony na 4 resorach. Przy zwiększeniu obciążenia o Q1 = 9810 N resor ugina się o s = 0,016 m. Dla jakiej prędkości pociągu mogą wystąpić rezonansowe drgania wagonu pod wpływem uderzeń kół o złącza szyn? Długość szyn l = 12,5 m.
Zad.14. Równanie ruchu punktu dane jest w postaci: x = sin(t/6). Wyznaczyć chwile tv i ta, w których występuje maksymalna prędkość i maksymalne przyspieszenie.
Zad.15. Maksymalna prędkość punktu drgającego ruchem harmonicznym v0 = 2 m/s, a maksymalne przyspieszenie a0 = 3,14 m/s2. Napisać równanie ruchu tego punktu (zależność wychylenia od czasu), jeżeli wiadomo, że faza początkowa δ = 0.
Zad.16. Jak należy zmienić długość l wahadła matematycznego, aby skompensować wpływ przyrostu temperatury T na jego okres wahań? Współczynnik cieplnej rozszerzalności liniowej nici wahadła wynosi .
Obliczenia numeryczne wykonać dla l = 100 cm, T = 50 K, = 2*10-5K-1.
Zad.17. Wahadło matematyczne o długości l1 = 81 cm wykonuje w pewnym czasie n1 = 20 drgań. Jak należy zmienić długość tego wahadła, aby w tym samym czasie uzyskać n2 = 18 drgań ?
Zad.18. Jeżeli wagon jest w spoczynku, to częstotliwość drgań wahadła matematycznego znajdującego się w tym wagonie wynosi f = 0,5 Hz. Oblicz częstotliwość drgań tego wahadła w wagonie poruszającym się po torze poziomym z przyspieszeniem -a = 4,9 m/s2. Płaszczyzna drgań wahadła jest równoległa do kierunku ruchu wagonu. Przyspieszenie ziemskie g = 9,8 m/s2.
Zad.19. Wyobraźmy sobie szyb przecinający na wskroś kulę ziemską wzdłuż średnicy. Podać równanie ruchu ciała, które wpadło w ten szyb, biorąc pod uwagę zmienną wartość siły ciężkości wewnątrz Ziemi. Obliczyć czas, w ciągu którego ciało osiągnie środek Ziemi oraz prędkość z jaką go minie.
Wskazówka: Przy założeniu, że gęstość Ziemi jest stała, siła działająca na ciało we wnętrzu Ziemi jest wprost proporcjonalna do jego odległości od środka Ziemi.
Zad.20. Na gumce o długości l i promieniu r wisi odważnik o masie m. Wiedząc, że moduł Younga dla tej gumy jest równy E znaleźć okres drgań odważnika.