Grupa (G, o); o – działanie wewnętrzne w G

1. o – łączne

2. o ma element neutralny

3. każdy element G ma element symetryczny

Jeżeli dodatkowo działanie o jest przemienne to grupę nazywamy przemienną lub abelową.

Pierścień (P, + , • ); +, • - działania wewnętrzne w P

1. Grupa abelowa (P, + )

2. • Łączne

3. • Rodzielne względem + ∀ a, b, c ∈ P  (a+b)  •  c = (a • c) + (b  •  c),

a  •  (b+c) = ( a •b) + (a  • c)  

Jeżeli dodatkowo • jest przemienne, to pierścień nazywamy przemiennym. Jeżeli • ma element neutralny to nazywamy go jedynką pierścienia i oznaczamy e _• = 1 p. Zawsze istnieje element neutralny działania + , nazywamy go zerem pierścienie i oznaczamy e₊ = 0 p.

Ciało (P, + , • ); P – ma co najmniej 2 elementy

Całą struktura jest pierścieniem, z jedynką w którym każdy element różny od 0 p ma element symetryczny względem działania • .

Wektory ortogonalne

Wektory u i v nazywamy ortogonalnymi ⇔u ∘ v = 0. Piszemy wtedy u⊥v. Przyjmujemy, że wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora.

Układ v₁, … ,v_n tworzy układ wektorów ortogonalnych, jeśli A*A^T jest macierzą diagonalną.

A – macierz, której kolejne wiersze to wektory v₁, … ,v_n.

Wektory ortonormalne

Wektory u i v nazywamy ortonormalnymi, gdy są ortogonalne i równocześnie ∥u ∥   =   ∥ v ∥   = 1.

Bazę przestrzeni wektorowej V, która jest układem wektorów ortogonalnych/ortonormalnych nazywamy bazą ortogonalną/ortonormalną.

Ortogonalizacja Grama-Schmitta

B = (u₁, …, u_n) – dowolna ustalona baza przestrzeni Eⁿ

B’ = (v₁, … ,v_n) – odpowiadająca B baza ortogonalna.

v₁ =  u₁

$v_{2} = u_{2} - \frac{u_{2} \circ v_{1}}{\parallel {v_{1}}^{2} \parallel}v_{1}$

$v_{3} = u_{3} - \frac{u_{3} \circ v_{1}}{\parallel {v_{1}}^{2} \parallel}v_{1} - \frac{u_{2} \circ v_{2}}{\parallel {v_{2}}^{2} \parallel}v_{2}$

$v_{n} = u_{n} - \frac{u_{n} \circ v_{1}}{\parallel {v_{1}}^{2} \parallel}v_{1} - \ldots - \frac{u_{n} \circ v_{n - 1}}{\parallel {v_{n - 1}}^{2} \parallel}v_{n - 1}$

Macierzowa metoda ortogonalizacji

[A*A^T| A] → [G|A′] Nie zamieniamy kolejności wektorów!

gdzie:

G – macierz trójkątna górna (pod przekątną główną same zera)

A’ – macierz ortogonalna