Badanie przemian energii mechanicznej na równi pochyłej

1. Cel ćwiczenia

• Obserwacja zmian energii potencjalnej oraz kinetycznej oraz wynikającej z nich całkowitej energii mechanicznej w procesie staczania się brył sztywnych po równi pochyłej.

1. Przebieg ćwiczenia

• Zmierzono długość równi i ustawiono odpowiednią wysokość równi.

• Wyznaczono masę m_i i promień r_i każdej bryły sztywnej z zestawu.

• Obliczono moment bezwładności badanych brył względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy korzystając z równań:

  • dla kuli $I_{0} = \frac{2}{5}mr^{2}$

  • dla walca $I_{0} = \frac{1}{2}mr^{2}$

• Umieszczano kolejne bryły na szczycie równi i zmierzono dla każdej z nich czas t₁ po którym bryła znalazła się w połowie długości równi. Pomiary powtórzono pięciokrotnie. Obliczono wartości średnie ${\overset{\overline{}}{t}}_{1}$ zmierzonych czasów dla każdej z brył osobno.

• Powyższe pomiary powtórzono mierząc tym razem czas t₂ po którym bryła znalazła się u podnóża równi. Obliczono wartości średnie ${\overset{\overline{}}{t}}_{2}$.

• Obliczono chwilowe prędkości liniowe υ₁i υ₂:

$\upsilon_{1} = \frac{l}{{\overset{\overline{}}{t}}_{1}}$; $\upsilon_{2} = \frac{2l}{{\overset{\overline{}}{t}}_{2}}$

oraz chwilowe prędkości kątowe:

$\omega_{1} = \frac{\upsilon_{1}}{r_{i}}$; $\omega_{2} = \frac{\upsilon_{2}}{r_{i}}$

bryły w połowie długości równi oraz na jej końcu.

• Obliczono energię potencjalną:

E_p = mgh

energię kinetyczną ruchu postępowego:

$$E_{\text{kpost}} = \frac{1}{2}m\upsilon^{2}$$

energię kinetyczną ruchu obrotowego:

$$E_{\text{kobr}} = \frac{1}{2}I_{0}\omega^{2}$$

bryły na szczycie równi, w połowie jej długości oraz na jej końcu.

• Obliczono niepewności pomiarowe wszystkich wyliczonych wielkości.

1. Pomiary

Długość równi:

L = 1, 50m

Wysokość równi:

H = 0, 22m

Promienie i masy poszczególnych brył sztywnych oraz wyliczone momenty bezwładności:

bryła	ri	mi	Ii
1 - walec	r1 = 0.0150m	m1 = 0.1386kg	$$I_{1} = \frac{1}{2}m_{1}{r_{1}}^{2} = 1,56 \bullet 10^{- 5}kg \bullet m^{2}$$
2 - walec	r2 = 0.0150m	m2 = 0.0470kg	$$I_{2} = \frac{1}{2}m_{2}{r_{2}}^{2} = 5,29 \bullet 10^{- 6}kg \bullet m^{2}$$
3 - walec	r3 = 0.0200m	m3 = 0.0826kg	$$I_{3} = \frac{1}{2}m_{3}{r_{3}}^{2} = 1,65 \bullet 10^{- 5}kg \bullet m^{2}$$
4 - walec	r4 = 0.0942m	m4 = 0.0613kg	$$I_{4} = \frac{1}{2}m_{4}{r_{4}}^{2} = 2,72 \bullet 10^{- 4}kg \bullet m^{2}$$
5 - kula	r5 = 0.0151m	m5 = 0.1118kg	$$I_{5} = \frac{2}{5}m_{5}{r_{5}}^{2} = 1,02 \bullet 10^{- 5}kg \bullet m^{2}$$

Tabela pomiarów dla bryły nr 1:

t1	$${\overset{\overline{}}{t}}_{1}$$	t2[s]	$${\overset{\overline{}}{t}}_{2}$$	υ1	υ2	ω1	ω2
[s]	[s]	[s]	[s]	$$\frac{\lbrack m}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack m}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack 1}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack 1}{s\rbrack}$$
0,97	0,95	1,62	1,65	1,57	1,82	104,8	121,5
1,00		1,66
0,94		1,66
0,94		1,65
0,92		1,64

Wyliczone wartości energii dla bryły nr 1:

Położenie bryły	Ep	Ekpost	Ekobr	Ec
	[J]	[J]	[J]	[J]
Szczyt równi	0,299	0,000	0,000	0,299
Polowa długości równi	0,150	0,171	0,086	0,407
Koniec równi	0,000	0,230	0,115	0,345

Tabela pomiarów dla bryły nr 2:

t1	$${\overset{\overline{}}{t}}_{1}$$	t2[s]	$${\overset{\overline{}}{t}}_{2}$$	υ1	υ2	ω1	ω2
[s]	[s]	[s]	[s]	$$\frac{\lbrack m}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack m}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack 1}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack 1}{s\rbrack}$$
1,10	1,09	1,66	1,64	1,38	1,83	91,7	121,8
1,06		1,63
1,07		1,65
1,13		1,63
1,09		1,64

Wyliczone wartości energii dla bryły nr 2:

Położenie bryły	Ep	Ekpost	Ekobr	Ec
	[J]	[J]	[J]	[J]
Szczyt równi	0,101	0,000	0,000	0,101
Polowa długości równi	0,051	0,045	0,022	0,117
Koniec równi	0,000	0,078	0,039	0,118

Tabela pomiarów dla bryły nr 3:

t1	$${\overset{\overline{}}{t}}_{1}$$	t2[s]	$${\overset{\overline{}}{t}}_{2}$$	υ1	υ2	ω1	ω2
[s]	[s]	[s]	[s]	$$\frac{\lbrack m}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack m}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack 1}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack 1}{s\rbrack}$$
1,13	1,12	1,66	1,67	1,34	1,79	66,8	89,6
1,10		1,66
1,10		1,69
1,16		1,69
1,12		1,67

Wyliczone wartości energii dla bryły nr 3:

Położenie bryły	Ep	Ekpost	Ekobr	Ec
	[J]	[J]	[J]	[J]
Szczyt równi	0,178	0,000	0,000	0,178
Polowa długości równi	0,089	0,074	0,037	0,200
Koniec równi	0,000	0,133	0,066	0,199

Tabela pomiarów dla bryły nr 4:

t1	$${\overset{\overline{}}{t}}_{1}$$	t2[s]	$${\overset{\overline{}}{t}}_{2}$$	υ1	υ2	ω1	ω2
[s]	[s]	[s]	[s]	$$\frac{\lbrack m}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack m}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack 1}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack 1}{s\rbrack}$$
1,19	1,16	1,65	1,67	1,29	1,79	13,7	19,0
1,19		1,69
1,15		1,69
1,12		1,66
1,16		1,67

Wyliczone wartości energii dla bryły nr 4:

Położenie bryły	Ep	Ekpost	Ekobr	Ec
	[J]	[J]	[J]	[J]
Szczyt równi	0,132	0,000	0,000	0,132
Polowa długości równi	0,066	0,051	0,026	0,143
Koniec równi	0,000	0,099	0,049	0,148

Tabela pomiarów dla bryły nr 5:

t1	$${\overset{\overline{}}{t}}_{1}$$	t2[s]	$${\overset{\overline{}}{t}}_{2}$$	υ1	υ2	ω1	ω2
[s]	[s]	[s]	[s]	$$\frac{\lbrack m}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack m}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack 1}{s\rbrack}$$	$$\frac{\lbrack 1}{s\rbrack}$$
1,38	1,35	1,84	1,84	1,11	1,63	73,7	108,0
1,34		1,85
1,38		1,81
1,31		1,88
1,33		1,82

Wyliczone wartości energii dla bryły nr 5:

Położenie bryły	Ep	Ekpost	Ekobr	Ec
	[J]	[J]	[J]	[J]
Szczyt równi	0,241	0,000	0,000	0,241
Polowa długości równi	0,121	0,069	0,028	0,218
Koniec równi	0,000	0,149	0,059	0,208

1. Przykładowe wyliczenia na podstawie bryły nr 1

Średni czas staczania do połowy równi:

$$\overset{\overline{}}{t_{1}} = \frac{0,97s + 1,00s + 0,94s + 0,94s + 0,92s}{5} = 0,95s$$

Średni czas staczania z całej równi:

$$\overset{\overline{}}{t_{2}} = \frac{1,62s + 1,66s + 1,66s + 1,65s + 1,64s}{5} = 1,65s$$

Chwilowa prędkość liniowa w połowie równi:

$$v_{1} = \frac{L}{\overset{\overline{}}{t_{1}}} = \frac{1,50m}{0,95s} = 1,57\frac{m}{s}$$

Chwilowa prędkość liniowa na dole równi:

$$v_{2} = \frac{2L}{\overset{\overline{}}{t_{2}}} = \frac{1,50m}{1,65s} = 1,82\frac{m}{s}$$

Chwilowa prędkość kątowa w połowie równi:

$$\omega_{1} = \frac{v_{1}}{r_{1}} = \frac{1,57\frac{m}{s}}{0,0150m} = 104,8\frac{\text{rad}}{s}$$

Chwilowa prędkość kątowa na dole równi:

$$\omega_{2} = \frac{v_{2}}{r_{1}} = \frac{1,82\frac{m}{s}}{0,0150m} = 121,5\frac{\text{rad}}{s}$$

Energia potencjalna na szczycie równi (góra):

$$E_{1pg} = m_{1}gH = 0,1386kg \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} \bullet 1,50m = 0,299J$$

Energia potencjalna w połowie równi (środek):

$$E_{1ps} = m_{1}g\frac{H}{2} = 0,1386kg \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} \bullet \frac{1,50m}{2} = 0,150J$$

Energia potencjalna u podstawy równi (dół):

E_1pd = 0J

Energia kinetyczna ruchu postępowego na szczycie równi (góra):

E_1kpg = 0J

Energia kinetyczna ruchu postępowego w połowie równi (środek):

$$E_{1kps} = \frac{m_{1}{v_{1}}^{2}}{2} = \frac{0,1386kg \bullet \left( 1,57\frac{m}{s} \right)^{2}}{2} = 0,171J$$

Energia kinetyczna ruchu postępowego u podstawy równi (dół):

$$E_{1kpd} = \frac{m_{1}{v_{2}}^{2}}{2} = \frac{0,1386kg \bullet \left( 1,82\frac{m}{s} \right)^{2}}{2} = 0,230J$$

Energia kinetyczna ruchu obrotowego na szczycie równi (góra):

E_1kog = 0J

Energia kinetyczna ruchu obrotowego w połowie równi (środek):

$$E_{1kos} = \frac{I_{1}{\omega_{1}}^{2}}{2} = \frac{1,56 \bullet 10^{- 5}kg \bullet m^{2} \bullet \left( 104,8\frac{\text{rad}}{s} \right)^{2}}{2} = 0,086J$$

Energia kinetyczna ruchu obrotowego u podstawy równi (dół):

$$E_{1kod} = \frac{I_{1}{\omega_{2}}^{2}}{2} = \frac{1,56 \bullet 10^{- 5}kg \bullet m^{2} \bullet \left( 121,5\frac{\text{rad}}{s} \right)^{2}}{2} = 0,115J$$

Energia całkowita na szczycie równi (góra):

E_1cg = E_1pg + E_1kpg + E_1kog = 0, 299J + 0J + 0J = 0, 299J

Energia całkowita w połowie równi (środek):

E_1cs = E_1ps + E_1kps + E_1kos = 0, 150J + 0, 171J + 0, 086J = 0, 407J

Energia całkowita u podstawy równi (dół):

E_1cd = E_1pd + E_1kpd + E_1kod = 0J + 0, 230J + 0, 115J = 0, 345J

1. Zestawienie wyników

nr bryły	-	1	2	3	4	5
rodzaj bryły	-	walec	walec	walec	walec	kula
masa bryły	mi[kg]	0,1386	0,0470	0,0826	0,0613	0,1118
promień	ri[m]	0,0150	0,0150	0,0200	0,0942	0,0151
moment bezwładności	Ii[kg•m^2]	1, 56 • 10^−5	5, 29 • 10^−6	1, 65 • 10^−5	2, 72 • 10^−4	1, 02 • 10^−5
Prędkość w połowie	$$v_{1}\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$	1,57	1,38	1,34	1,29	1,11
Prędkość u podstawy	$$v_{2}\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$	1,82	1,83	1,79	1,79	1,63
Prędkość kątowa w połowie	$$\omega_{1}\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s} \right\rbrack$$	104,8	91,7	66,8	13,7	73,7
Prędkość kątowa u podstawy	$$\omega_{2}\left\lbrack \frac{\text{rad}}{s} \right\rbrack$$	121,5	121,8	89,6	19,0	108,0
Energia całkowita na szczycie równi	Eicg[J]	0,299	0,101	0,178	0,132	0,241
Energia całkowita w połowie długości równi	Eics[J]	0,407	0,117	0,200	0,143	0,218
Energia całkowita na końcu równi	Eicd[J]	0,345	0,118	0,199	0,148	0,208