Zestaw B

Część teoretyczna- wykłady

Pyt 1/1

Liczby zespolone:
dodawanie, odejmowanie:

Dodawanie (odejmowanie) liczb zespolonych przeprowadzamy w ten sposób, że dodajemy (odejmujemy) części rzeczywiste i urojone odpowiednich liczb. Poniżej pokazano dodawanie i odejmowanie dwu liczb: a+bi oraz c+di:
(a+bi) + (c+di) = (a+c)+ (b+d)*i
(a+bi) - (c+di) = (a-c)+ (b-d)*i

równość:

porównujemy cześć urojoną i rzeczywistą, jak są równe to jest równość.

własności:

(1) przemienność dodawania i przemienność mnożenia

z1 + z2 = z2 + z1, z1 · z2 = z2 · z1,

(2) lączność dodawania i łączność mnożenia

(z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3), (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3),

(3) rozdzielność mnożenia względem dodawania

(z1 + z2) · z = z1 · z + z2 · z,

(4) istnienie elementów neutralnych ze względu na dodawanie i mnożenie

z + (0,0) = z, (1,0) · z = z,

(5) dla każdego z istnieje element −z, odwrotny ze względu na dodawanie, tzn.,

z + (−z) = (0,0),

−z = (−a, −b) = (−1,0) · (a, b)

Pyt 2/II

Możemy mnożyć przez siebie macierze, ale:

wynikiem takiego mnożenia jest macierz:

własności:

a) mnożenie macierzy jest łączne, tzn. A(BC) = (AB)C, dlatego zapis ABC jest jednoznaczny,

b) mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania,

tzn. A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC,

c) mnożenie macierzy nie jest przemienne,

d) AI = A, IA = A, o ile wymiary macierzy umożliwiają mnożenie,

twierdzenie Cauchiego:

Dla dowolnych macierzy A; B € Mnn(R) mamy det(AB) = detA * detB
z czego wynika, że:

1. Jesli macierz ´ A ma wiersz (lub kolumn ˛e) zerowy to detA = 0.
2. Jesli w macierzy ´ A dwa wiersze (dwie kolumny) s ˛a identyczne to detA = 0
3.
a) Operacje elementarne typu 1 (dodanie do wiersza innego wiersza
pomnozonego przez liczb ˛e, analogicznie dla kolumn) nie zmieniaj ˛a ˙wyznacznika macierzy.
b) Operacje elementarne typu 2 (zamiana dwu wierszy b ˛ad ´z kolumn)
zmieniaj ˛a wyznacznik na przeciwny.
c) Operacje elementarne typu 3, tzn. pomnozenie wiersza b ˛ad ´z ˙
kolumny przez liczb ˛e c skutkuj ˛a pomnozeniem wyznacznika przez ˙ c.

Pyt 3/I
macierz odwrotna:

Niech A będzie macierzą kwadratową ustalonego stopnia. Macierz A jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz B, że zachodzi

AB = BA = I,

gdzie I jest macierzą jednostkową.

Jeżeli taka macierz B nie istnieje, to macierz A nazywamy nieodwracalną, w przeciwnym wypadku macierz B nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A i oznacza się ją wówczas przez A^{-1}.

Macierze kwadratowe ustalonego stopnia tworzą pierścień (nieprzemienny z jedynką), powyższe definicje określają więc element odwracalny oraz odwrotny do danego w tym pierścieniu. Warto pamiętać, że jeżeli w pierścieniu element odwrotny do danego istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie

własności:
a) macierzą odwrotną do macierzy jednostkowej jest ta sama macierz tzn. I-1 = I,
b) (A-1)-1 = A,
c) (A-1)T= (AT)-1,
d) (cA) -1 = c -1(A) -1, c - stała
e) (AB) -1 = (B) -1(A) -1

wyznaczanie macierzy odwrotnej:

a)

gdzie:
-detA - oznacza wyznacznik macierzy A

-D₁₁, D₁₂,...,D_nn - dopełnienia algebraiczne kolejnych elementów macierzy A

-symbol "T" - ozacza transponowanie macierzy

b)metoda Gaussa

-obok macierzy dopisujemy macierz jednostkową,

-następnie wykonujemy operacje elementarne na wierszach (!) macierzy wyjściowej (UWAGA: W tej metodzie nie wolno wykonywać operacji elementarnych na kolumnach!), tak aby przekształcić ją do macierzy jednostkowej.

-na koniec w miejscu dopisanej macierzy jednostkowej powinna pojawić się macierz odwrotna do naszej macierzy.

w skrócie:

Pyt 4 /I

-

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Pyt 1/II

iloczyn wektorowy

własności

antyprzemienny,

rozdzielny względem dodawania,

zgodny z mnożeniem przez skalar,

Ponadto, iloczyn wektorowy spełnia tzw. tożsamość Jacobiego:

Dla iloczynu wektorowego nie obowiązuje prawo skracania: tzn. jeśli

,

gdzie  jest wektorem niezerowym, to na ogół  ≠ . Istotnie, jeżeli

,

to z prawa rozdzielności wynika, że

.

Pyt 2/II

Elipsa

Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch danych punktów F_1 i F_2 jest stała i większa od odległości tych punktów. Punkty F_1 i F_2 nazywamy ogniskami elipsy. Środek odcinka łączącego ogniska nazywamy środkiem elipsy.

Elipsa w pozycji kanonicznej opisana jest w układzie współrzędnych kartezjańskich  równaniem

gdzie  i  są długościami półosi.

Elipsa w postaci parametrycznej dana jest jako

gdzie

.

W układzie współrzędnych biegunowych  elipsę opisuje wzór

gdzie

jest kwadratem mimośrodu.

Pyt 3/II

Kierunkowa prosta

Dla 

Równanie kierunkowe          

 

       
    

 

Dla prostych 

oraz płaszczyzny 

 

Proste równoległe	Prosta równoległa do płaszczyzny

Pyt 4/II

Płaszczyzny równoległe	Płaszczyzny prostopadłe
Płaszczyzny pokrywające się	Płaszczyzny przecinające się