Akademia Górniczo-Hutnicza

w Krakowie

Modelowanie w Projektowaniu Maszyn

Projekt

Stół wibracyjny

Mynarski Jakub

Papież Andrzej

Pasławski Marcin

Stefaniuk Joanna

Zwoliński Piotr

Gr. K2

1. Dane

d = 0, 23 [m]	Nel = 1, 5 [kW]
e = 0, 025 [m]	nN = 1415 [obr]
b = 1, 5 [m]	n0 = 1500 [obr]
a = 0, 45[m]	przeciazalnosc p = 3
ms = 112 [kg]	n = 2 lb. okresow drgan
ml = 15, 2 [kg]	T = 0, 12 [s] okres drgan
mw = 7, 2 [kg]	A1 = 7, 6 [mm]
Js = 15 [kg * m^2]	A3 = 1, 2 [mm]
Jl = J1 = 0, 3 [kg * m^2]
Jwib1 = 0, 0285 [kg * m^2]
Jw = J2 = Jwib1 + e^2 * mwib.  = 0, 0285 + 0, 025 ^2 * 7, 2 = 0, 033[kg * m^2]

1. Współrzędne uogólnione

Przyjęte współrzędne uogólnione: {x,y,α,β,φ}
Założenia:
sinβ = β sinα = α cosβ = 1 cosα = 1

1. Współrzędne wierzchołków

$$x_{c_{1}} = x + \frac{a}{2}*\text{sinα}x_{c_{1}} = x + \frac{a}{2}*\alpha{\dot{x}}_{c_{1}} = \dot{x} + \frac{a}{2}*\dot{\alpha}$$

$$y_{c_{1}} = y - \frac{b}{2}*\text{sinα}y_{c_{1}} = y - \frac{b}{2}*\alpha{\dot{y}}_{c_{1}} = \dot{y} - \frac{b}{2}*\dot{\alpha}$$

$$x_{c_{2}} = x + \frac{a}{2}*\text{sinα}x_{c_{2}} = x + \frac{a}{2}*\alpha{\dot{x}}_{c_{2}} = \dot{x} + \frac{a}{2}*\dot{\alpha}$$

$$y_{c_{2}} = y + \frac{b}{2}*\text{sinα}y_{c_{2}} = y + \frac{b}{2}*\alpha{\dot{y}}_{c_{2}} = \dot{y} + \frac{b}{2}*\dot{\alpha}$$

$$x_{c_{3}} = x - \frac{a}{2}*\text{sinα}x_{c_{3}} = x - \frac{a}{2}*\alpha{\dot{x}}_{c_{3}} = \dot{x} - \frac{a}{2}*\dot{\alpha}$$

$$y_{c_{3}} = y + \frac{b}{2}*\text{sinα}y_{c_{3}} = y + \frac{b}{2}*\alpha{\dot{y}}_{c_{3}} = \dot{y} + \frac{b}{2}*\dot{\alpha}$$

$$x_{c_{4}} = x - \frac{a}{2}*\text{sinα}x_{c_{4}} = x - \frac{a}{2}*\alpha{\dot{x}}_{c_{4}} = \dot{x} - \frac{a}{2}*\dot{\alpha}$$

$$y_{c_{4}} = y - \frac{b}{2}*\text{sinα}y_{c_{4}} = y - \frac{b}{2}*\alpha{\dot{y}}_{c_{4}} = \dot{y} - \frac{b}{2}*\dot{\alpha}$$

$${x_{c}}^{2} = {x_{c_{1}}}^{2} + {x_{c_{2}}}^{2} + {x_{c_{3}}}^{2} + {x_{c_{4}}}^{2} = \left( x + \frac{a}{2}*\alpha \right)^{2} + \left( x + \frac{a}{2}*\alpha \right)^{2} + \left( x - \frac{a}{2}*\alpha \right)^{2} + \left( x - \frac{a}{2}*\alpha \right)^{2}\ \ \ \ \ \ \ = 4{*x}^{2} + {a^{2}*\alpha}^{2}$$

y_c² = y_c1² + y_c2² + y_c3² + y_c4² = 4*y² + b² * α²

1. Równania więzów

$$\left\{ \begin{matrix} x_{l} = x + \frac{a}{2}*\text{sinα} + d*\text{sinβ}\ x_{l} = x + \frac{a}{2}*\alpha + d*\beta \\ {\text{\ \ \ \ }y}_{l} = y - \frac{a}{2}*\text{cosα} + d*\text{cosβ}\text{\ y}_{l} = y - \frac{a}{2} + d \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} x_{w} = x_{l} + e*\text{cosφ} = x + \frac{a}{2}*\alpha + d*\beta + e*\text{cosφ} \\ \text{\ \ \ }y_{w} = y_{l} + e*\text{sinφ} = y - \frac{a}{2}*\text{cosα} + d*\text{cosβ} + e*\text{sinφ}y_{w} = y - \frac{a}{2} + d + e*\text{sinφ} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} {\dot{x}}_{l} = \dot{x} + \frac{a}{2}*\dot{\alpha} + d*\dot{\beta} \\ {\text{\ \ \ \ }\dot{y}}_{l} = \dot{y} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} {\dot{x}}_{w} = \dot{x} + \frac{a}{2}*\dot{\alpha} + d*\dot{\beta} - e*\dot{\varphi}*\text{sinφ} \\ \text{\ \ \ }{\dot{y}}_{w} = \dot{y} + e*\dot{\varphi}*\text{cosφ} \\ \end{matrix} \right.\ $$

1. Obliczenie brakujących parametrów

• Moment elektryczny silnika

$$M_{n} = 9550*\frac{N_{\text{elN}}}{n_{N}} = 10,12\ \text{Nm}$$

M_u = p * M_n = 3 * 10, 12 = 30, 36 Nm

$$\omega_{0} = \frac{\pi n_{0}}{30} = 157,1\ \frac{1}{s}$$

$$\omega_{N} = \frac{\pi n_{N}}{30} = 148,2\ \frac{1}{s}$$

ω_ut = ω₀(1−s_k)

$$s_{N} = \frac{\omega_{0} - \omega_{N}}{\omega_{0}} = \frac{157,1 - 148,2}{157,1} = 0,057$$

$$s_{k} = s_{N}\left( p + \sqrt{p^{2} - 1} \right) = 0,057*\left( 3 + \sqrt{3^{2} - 1} \right) = 0,33$$

$$\omega_{\text{ut}} = \omega_{0}\left( 1 - s_{k} \right) = 157,1*\left( 1 - 0,33 \right) = 105,3\ \frac{1}{s}$$

$$M_{\text{el}} = \frac{2M_{\text{ut}}(\omega_{0} - \omega_{\text{ut}})(\omega_{0} - \omega_{\varphi})}{\left( \omega_{0} - \omega_{\text{ut}} \right)^{2} + {(\omega_{0} - \omega_{\varphi})}^{2}} = \frac{2*30,36*(157,1 - 105,3)(157,1 - \omega_{\varphi})}{{(157,1 - 105,3)}^{2} + {(157,1 - \omega_{\varphi})}^{2}} = \frac{3145,3*(157,1 - \omega_{\varphi})}{2683,2*{(157,1 - \omega_{\varphi})}^{2}}$$

$$\omega_{\varphi} = \dot{\varphi}$$

• Współczynnik tłumienia

$$b = \frac{2\text{mδ}}{\text{nT}}\ \left\lbrack \frac{\text{kg}}{s} \right\rbrack$$

Dla 4 tłumików

$$m = \frac{m_{s} + m_{l} + m_{w}}{4} = \frac{112 + 15,2 + 7,2}{4} = 33,6\ \lbrack\text{kg}\rbrack$$

$$\delta = \ln\left\lbrack \frac{x(t_{0})}{x(t_{0} + \text{nT})} \right\rbrack = \ln\frac{7,6}{1,2} = 1,8458$$

$$b = \frac{2\text{mδ}}{\text{nT}} = \frac{2*33,6*1,8458}{2*0,12} = 516,83\ \left\lbrack \frac{\text{kg}}{s} \right\rbrack$$

• Współczynnik sztywności sprężyny

$$\omega_{tl} = \frac{2\pi}{T} = \frac{\sqrt{4\text{km} - b^{2}}}{2m}$$

$$k = \frac{4m\pi^{2}}{T^{2}} + \frac{b^{2}}{4m} = \frac{4*33,6*{3,14}^{2}}{{0,12}^{2}} + \frac{{516,83}^{2}}{4*33,6} = 92241\ \frac{N}{m}$$

1. Energia kinetyczna

$$E_{k} = \frac{1}{2}*m_{\text{st}}*{\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2}*m_{\text{st}}*{\dot{y}}^{2} + \frac{1}{2}*J_{\text{st}}*{\dot{\alpha}}^{2} +$$

$$+ \frac{1}{2}m_{l}\left( {\dot{x}}^{2} + a\dot{x}\dot{\alpha} + \frac{a^{2}}{4}{\dot{\alpha}}^{2} + 2d\dot{x}\dot{\beta} + \text{ad}\dot{\alpha}\dot{\beta} + d^{2}{\dot{\beta}}^{2} \right) + \frac{1}{2}m_{l}{\dot{y}}^{2} + \frac{1}{2}J_{l}{\dot{\beta}}^{2} +$$

$+ \frac{1}{2}m_{w}\left( {\dot{x}}^{2} - 2e\dot{x}\dot{\varphi}\text{sinφ} + e^{2}{\dot{\varphi}}^{2}\sin^{2}\varphi + a\dot{x}\dot{\alpha} + \frac{a^{2}}{4}{\dot{\alpha}}^{2} + 2d\dot{x}\dot{\beta} + \text{ad}\dot{\alpha}\dot{\beta} + d^{2}{\dot{\beta}}^{2} - \text{ae}\dot{\alpha}\dot{\varphi}\text{sinφ} - 2\text{de}\dot{\beta}\dot{\varphi}\text{sinφ} \right) + \frac{1}{2}m_{w}\left( {\dot{y}}^{2} + 2e\dot{y}\dot{\varphi}\text{cosφ} + e^{2}{\dot{\varphi}}^{2}\cos^{2}\varphi \right) + \frac{1}{2}J_{w}{\dot{\varphi}}^{2}$

$$E_{p} = \frac{1}{2}*k\left( 4x^{2} + a^{2}*\alpha^{2} \right) + \frac{1}{2}*k\left( 4y^{2} + b^{2}\alpha^{2} \right)$$

1. Potencjał Lagrange’a

L = E_k − E_p

$$L = {\dot{x}}^{2}\left( \frac{1}{2}m_{\text{st}} + \frac{1}{2}m_{l} + \frac{1}{2}m_{w} \right) + {\dot{y}}^{2}\left( \frac{1}{2}m_{\text{st}} + \frac{1}{2}m_{l} + \frac{1}{2}m_{w} \right)\backslash n$$

1. Moc strat (dyssypacji energii)

$$N = b_{t}{\dot{x}}_{c}^{2} + b_{t}{\dot{y}}_{c}^{2} = b_{t}\left( 4{\dot{x}}^{2} + a^{2}{\dot{\alpha}}^{2} \right) + b_{t}\left( 4{\dot{y}}^{2} + b^{2}{\dot{\alpha}}^{2} \right) = b_{t}4{\dot{x}}^{2} + {\dot{\alpha}}^{2}\left( b_{t}a^{2} + b_{t}b^{2} \right) + b_{t}4{\dot{y}}^{2}$$

1. Różniczkowe równania ruchu dla współrzędnych uogólnionych

$$Q_{x} = \frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}} - \frac{\partial L}{\partial x} + \frac{1}{2}\frac{\partial N}{\partial\dot{x}}$$

$${\frac{\partial L}{\partial\dot{x}} = \left( m_{\text{st}} + m_{l} + m_{w} \right)\dot{x} - m_{w}e\dot{\varphi}\text{sinφ} + m_{l}d\dot{\beta} + m_{w}d\dot{\beta} + \frac{1}{2}m_{l}a\dot{\alpha} + \frac{1}{2}m_{w}a\dot{\alpha}\backslash n}{\frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}} = \left( m_{\text{st}} + m_{l} + m_{w} \right)\ddot{x} - m_{w}e\ddot{\varphi}\text{sinφ} - m_{w}e{\dot{\varphi}}^{2}\text{cosφ} + \left( m_{l} + m_{w} \right)d\ddot{\beta} + \frac{1}{2}\left( m_{l} + m_{w} \right)a\ddot{\alpha}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial x} = - 4\text{kx}$$

$$\frac{\partial N}{\partial\dot{x}} = 8b_{t}\dot{x}$$

$$Q_{x} = \left( m_{\text{st}} + m_{l} + m_{w} \right)\ddot{x} + \frac{1}{2}\left( m_{l} + m_{w} \right)a\ddot{\alpha} + {\left( m_{l} + m_{w} \right)d\ddot{\beta} - m}_{w}e\ddot{\varphi}\text{sinφ} - m_{w}e{\dot{\varphi}}^{2}\text{cosφ} + 4\text{kx} + 4b_{t}\dot{x} = 0$$

$$Q_{y} = \frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{y}} - \frac{\partial L}{\partial y} + \frac{1}{2}\frac{\partial N}{\partial\dot{y}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{y}} = \left( m_{\text{st}} + m_{l} + m_{w} \right)\dot{y}{+ m}_{w}e\dot{\varphi}\text{cosφ}$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{y}} = \left( m_{\text{st}} + m_{l} + m_{w} \right)\ddot{y}{+ m}_{w}e\ddot{\varphi}\text{cosφ} - m_{w}e{\dot{\varphi}}^{2}\text{sinφ}$$

$$\frac{\partial L}{\partial y} = - 4\text{ky}$$

$$\frac{\partial N}{\partial\dot{y}} = 8b_{t}\dot{y}$$

$$Q_{y} = \left( m_{\text{st}} + m_{l} + m_{w} \right)\ddot{y +}4b_{t}\dot{y}{+ m}_{w}e\ddot{\varphi}\text{cosφ} - m_{w}e{\dot{\varphi}}^{2}\text{sinφ} + 4\text{ky} = 0$$

$$Q_{\alpha} = \frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{\alpha}} - \frac{\partial L}{\partial\alpha} + \frac{1}{2}\frac{\partial N}{\partial\dot{\alpha}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{\alpha}} = \left( \frac{m_{l}a^{2}}{4} + \frac{m_{w}a^{2}}{4} + J_{\text{st}} \right)\dot{\alpha} + \frac{1}{2}\left( m_{l} + m_{w} \right)a\dot{x} + \frac{1}{2}m_{l}\text{ad}\dot{\beta} + \frac{1}{2}m_{w}\text{ad}\dot{\beta} - \frac{1}{2}m_{w}\text{ae}\dot{\varphi}\text{sinφ}$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{\alpha}} = \left( \frac{m_{l}a^{2}}{4} + \frac{m_{w}a^{2}}{4} + J_{\text{st}} \right)\ddot{\alpha} + \frac{1}{2}\left( m_{l} + m_{w} \right)a\ddot{x} + \frac{1}{2}m_{l}\text{ad}\ddot{\beta} + \frac{1}{2}m_{w}\text{ad}\ddot{\beta} - \frac{1}{2}m_{w}\text{ae}\ddot{\varphi}\text{sinφ} - \frac{1}{2}m_{w}\text{ae}{\dot{\varphi}}^{2}\text{cosφ}$$

$$\frac{\partial L}{\partial\alpha} = - a^{2}\text{kα} - b^{2}\text{kα}$$

$$\frac{\partial N}{\partial\dot{\alpha}} = 2b_{t}a^{2}\dot{\alpha} + 2b_{t}b^{2}\dot{\alpha}$$

$$Q_{\alpha} = \left( \frac{m_{l}a^{2}}{4} + \frac{m_{w}a^{2}}{4} + J_{\text{st}} \right)\ddot{\alpha} + \frac{1}{2}\left( m_{l} + m_{w} \right)a\ddot{x} + \left( \frac{1}{2}m_{l}\text{ad} + \frac{1}{2}m_{w}\text{ad} \right)\ddot{\beta} - \frac{1}{2}m_{w}\text{ae}\ddot{\varphi}\text{sinφ} - \frac{1}{2}m_{w}\text{ae}{\dot{\varphi}}^{2}\text{cosφ} + a^{2}\text{kα} + b^{2}\text{kα} + b_{t}a^{2}\dot{\alpha} + b_{t}b^{2}\dot{\alpha} = 0$$

$$Q_{\beta} = \frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{\beta}} - \frac{\partial L}{\partial\beta} + \frac{1}{2}\frac{\partial N}{\partial\dot{\beta}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{\beta}} = \left( \frac{1}{2}d^{2}\left( m_{l} + m_{w} \right) + \frac{1}{2}J_{l} \right)\dot{\beta} + m_{l}d\dot{x} + m_{w}d\dot{x} + \left( \frac{1}{2}m_{l}\text{ad} + \frac{1}{2}m_{w}\text{ad} \right)\dot{\alpha}m_{w}\text{de}\dot{\varphi}\text{sinφ}$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{\beta}} = \left( \frac{1}{2}d^{2}\left( m_{l} + m_{w} \right) + \frac{1}{2}J_{l} \right)\ddot{\beta} + \left( m_{l}d + m_{w}d \right)\ddot{x} + \left( \frac{1}{2}m_{l}\text{ad} + \frac{1}{2}m_{w}\text{ad} \right)\ddot{\alpha}m_{w}\text{de}\ddot{\varphi}\text{sinφ} - m_{w}\text{de}{\dot{\varphi}}^{2}\text{cosφ}$$

$$\frac{\partial L}{\partial\beta} = 0$$

$$\frac{\partial N}{\partial\dot{\beta}} = 0$$

$$Q_{\beta} = \left( m_{l}d + m_{w}d \right)\ddot{x} + \left( \frac{1}{2}m_{l}\text{ad} + \frac{1}{2}m_{w}\text{ad} \right)\ddot{\alpha} + \left( \frac{1}{2}d^{2}\left( m_{l} + m_{w} \right) + \frac{1}{2}J_{l} \right)\ddot{\beta} - m_{w}\text{de}\ddot{\varphi}\text{sinφ} - m_{w}\text{de}{\dot{\varphi}}^{2}\text{cosφ} = 0$$

$$Q_{\varphi} = \frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} - \frac{\partial L}{\partial\varphi} + \frac{1}{2}\frac{\partial N}{\partial\dot{\varphi}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} = \left( m_{w}e^{2} + J_{w} \right)\dot{\varphi} - m_{w}e\dot{x}\text{sinφ}{+ m}_{w}e\dot{y}\text{cosφ} - \frac{1}{2}m_{w}\text{ae}\dot{\alpha}\text{sinφ} - m_{w}\text{de}\dot{\beta}\text{sinφ}$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} = \left( m_{w}e^{2} + J_{w} \right)\ddot{\varphi} - m_{w}e\ddot{x}\text{sinφ} - m_{w}e\dot{x}\dot{\varphi}\text{cosφ} + m_{w}e\ddot{y}\text{cosφ} - m_{w}e\dot{y}\dot{\varphi}\text{sinφ} - \frac{1}{2}m_{w}\text{ae}\ddot{\alpha}\text{sinφ} - \frac{1}{2}m_{w}\text{ae}\dot{\alpha}\dot{\varphi}\text{cosφ} - m_{w}\text{de}\ddot{\beta}\text{sinφ} - m_{w}\text{de}\dot{\beta}\dot{\varphi}\text{cosφ}$$

$$\frac{\partial L}{\partial\varphi} = - m_{w}e\dot{x}\dot{\varphi}\text{cosφ} - m_{w}e\dot{y}\dot{\varphi}\text{sinφ} - \frac{1}{2}m_{w}\text{ae}\dot{\alpha}\dot{\varphi}\text{cosφ} - m_{w}\text{de}\dot{\beta}\dot{\varphi}\text{cosφ}$$

$$\frac{\partial N}{\partial\dot{\varphi}} = 0$$

$$Q_{\varphi} = \left( m_{w}e^{2} + J_{w} \right)\ddot{\varphi} - m_{w}e\ddot{x}\text{sinφ} + m_{w}e\ddot{y}\text{cosφ} - \frac{1}{2}m_{w}\text{ae}\ddot{\alpha}\text{sinφ} - m_{w}\text{de}\ddot{\beta}\text{sinφ} = M_{\text{el}}$$

$\begin{bmatrix} m_{\text{st}} + m_{l} + m_{w} & 0 & \frac{1}{2}{a(m}_{l} + m_{w}) & d{(m}_{l} + m_{w}) & - m_{w}\text{esinφ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & m_{\text{st}} + m_{l} + m_{w} & 0 & 0 & m_{w}\text{ecosφ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2}{a(m}_{l} + m_{w}) & 0 & {\frac{a^{2}}{4}\left( m_{l} + m_{w} \right) + J}_{\text{st}} & \frac{1}{2}{\text{ad}(m}_{l} + m_{w}) & - \frac{1}{2}\text{ae}m_{w}\text{sinφ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ d{(m}_{l} + m_{w}) & 0 & \frac{1}{2}{\text{ad}(m}_{l} + m_{w}) & d^{2}{(m}_{l} + m_{w}) + J_{l} & - m_{w}\text{desinφ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ {- m}_{w}\text{esinφ} & m_{w}\text{ecosφ} & - \frac{1}{2}\text{ae}m_{w}\text{sinφ} & - \text{de}m_{w}\text{sinφ} & m_{w}e^{2} + J_{w} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\ $ $\frac{d}{\text{dt}}\text{\ \ }$ $\begin{bmatrix} v_{x} \\ v_{y} \\ \omega_{\alpha} \\ \omega_{\beta} \\ \omega_{\varphi} \\ x \\ y \\ \alpha \\ \beta \\ \varphi \\ \end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix} m_{w}e\omega_{\varphi}^{2}\text{cosφ} - 4\text{kx} - 4b_{t}v_{x} \\ m_{w}e\omega_{\varphi}^{2}\text{sinφ} - 4\text{ky} - 4b_{t}v_{y} \\ \frac{1}{2}m_{w}\text{ae}\omega_{\varphi}^{2}\text{cosφ} - \text{kα}\left( a^{2} + b^{2} \right) - b_{t}\left( a^{2} + b^{2} \right)\omega_{\alpha} \\ m_{w}\text{deω}_{\varphi}^{2}\text{cosφ} \\ M_{\text{el}} \\ v_{x} \\ v_{y} \\ \omega_{\alpha} \\ \omega_{\beta} \\ \omega_{\varphi} \\ \end{bmatrix}$

1. Wyznaczenie reakcji

• wyznaczenie sił reakcji w punkcie A

$$x_{w} = x + \frac{a}{2}*\alpha + d*\beta + e*\text{cosφ}$$

$${\ddot{x}}_{w} = \ddot{x} + \frac{a}{2}*\ddot{\alpha} + d\ddot{\beta} + e*\ddot{\varphi}*\text{sinφ} - e*{\dot{\varphi}}^{2}*\text{cosφ}$$

$$y_{w} = y - \frac{a}{2} + d + e*\text{cosφ}$$

$${\dot{y}}_{w} = \dot{y} + e*\dot{\varphi*}\text{cosφ}$$

$${\ddot{y}}_{w} = \ddot{y} + e*\ddot{\varphi}*\text{cosφ} - e*{\dot{\varphi}}^{2}*\text{sinφ}$$

$$R_{x_{w}} = m_{w}*{\ddot{x}}_{w}$$

$$R_{y_{w}} = m_{w}*{\ddot{y}}_{w}$$

$$R_{x_{w}} = m_{w}\left( \ddot{x} + \frac{a}{2}*\ddot{\alpha} + d\ddot{\beta} + e*\ddot{\varphi}*\text{sinφ} - e*{\dot{\varphi}}^{2}*\text{cosφ} \right)$$

$$R_{y_{w}} = m_{w}*\left( \ddot{y} + e*\ddot{\varphi}*\text{cosφ} - e*{\dot{\varphi}}^{2}*\text{sinφ} \right)$$

• wyznaczenie sił działających na fundament

$$x_{c_{3}} = x - \frac{a}{2}*\alpha{\dot{x}}_{c_{3}} = \dot{x} - \frac{a}{2}*\dot{\alpha}$$

$$y_{c_{3}} = y + \frac{b}{2}*\alpha{\dot{y}}_{c_{3}} = \dot{y} + \frac{b}{2}*\dot{\alpha}$$

$$R_{x_{c_{3}}} = b_{t}*{\dot{x}}_{c_{3}} + k*x_{c_{3}}$$

$$R_{y_{c_{3}}} = b_{t}*{\dot{y}}_{c_{3}} + k*y_{c_{3}}$$

$$R_{x_{c_{3}}} = b_{t}*\left( \dot{x} - \frac{a}{2}*\dot{\alpha} \right) + k*\left( x - \frac{a}{2}*\alpha \right)$$

$$R_{y_{c_{3}}} = b_{t}*\left( \dot{y} + \frac{b}{2}*\dot{\alpha} \right) + k*\left( y + \frac{b}{2}*\alpha \right)$$

1. Kod programu Matlab

• Plik funkcyjny do rozwiązania równania różniczkowego

% Funkcja do rozwiazania rownania rozniczkowego

function dxdt=stol(t,x)

%deklaracja parametrow ukladu

%masy

m_s=112; %masa stolu [kg]

m_l=15.2; %masa lacznika [kg]

m_w=7.2; %masa wibratora [kg]

g=9.81; %przyspieszenie ziemskie [m/s^2]

%momenty bezwladnosci

J_s=15; %moment bezwladnosci stolu [kg*m^2]

J_l=0.3; %moment bezwladnosci lacznika [kg*m^2]

J_w = 0.033 ;%moment bezwladnosci wibratora [kg*m^2]

%wymiary geometryczne

a = 0.45; %szerokosc stolu [m]

b = 1.5; %wysokosc stolu [m]

d = 0.23; %mimosrod lacznika [m]

e = 0.025; %mimosrod wibratora [m]

%parametry napedu

N_el = 1500; %moc nominalna silnika [W]

P = 3; %przeciazalnosc silnika

n_N = 1415; %nominalna predkosc obrotowa [obr/min]

omega_N = 2*pi*n_N/60; %nominalna predkosc kątowa [rad/s]

n_o = 1500; %predkosc synchroniczna silnika [obr/min]

omega_o = 2*pi*n_o/60; %synchroniczna predkosc kątowa silnika [rad/s]

%wyznaczanie pozostalych parametrow napedu

M_z = (N_el)/(omega_N); %moment znamionowy silnika [Nm]

M_elmax = P * M_z; %moment maksymalny silnika [Nm]

s_N = (omega_o - omega_N)/omega_o; %poslizg nominalny silnika

s_K = s_N * (P + sqrt(P^2 -1)); %poslizg krytyczny silnika

omega_K = omega_o * (1-s_K); %predkosc kątowa silnika dla maksymalnego poslizgu [rad/s]

%wyznaczanie b_tl i k

A_1 = 7.6*10^(-3); %pierwsza amplituda [m]

A_3 = 1.2*10^(-3); %trzecia amplituda [m]

T = 0.12; %okres [sek]

delta = log(A_1/A_3); %obliczenie delty

b_t = (2*(m_s + m_l + m_w)*delta)/(2*T); %obliczenie wartosci wspolczynnika tlumienia b_tl

b_tl=b_t/4;

k = ((4*(pi^2)*(m_s + m_l + m_w)/(T^2))+(((b_tl)^2)/(4*(m_s + m_l + m_w)))); %obliczenie wartosci wspolczynnika sprezystoci k [N/m]

k1=k/4;

%deklarowanie macierzy

vx = x(1);

vy = x(2);

omega_alfa = x(3);

omega_beta = x(4);

omega_fi = x(5);

x1 = x(6);

y = x(7);

alfa = x(8);

beta = x(9);

fi= x(10);

M_el=2*M_elmax*(omega_o-omega_K)*(omega_o-omega_fi)/((omega_o-omega_K)^2+(omega_o-omega_fi)^2);

%deklaracja elementow (WIERSZ, KOLUMNA)

M=zeros(10,10);

M(1,1) = m_s + m_l + m_w;

M(1,3) = 0.5*a*(m_l + m_w);

M(1,4) = d*(m_l + m_w);

M(1,5) = -1*m_w*e*sin(fi);

M(2,2) = m_s + m_l + m_w;

M(2,5) = m_w*e*cos(fi);

M(3,1) = 0.5*a*(m_l+m_w);

M(3,3) = J_s + ((a^2)/4)*(m_l + m_w);

M(3,4) = 0.5*a*d*(m_l+m_w);

M(3,5) = -0.5*a*e*m_w*sin(fi);

M(4,1) = d*(m_l+m_w);

M(4,3) = 0.5*a*d*(m_l+m_w);

M(4,4) = d^2*(m_w+m_l)+J_l;

M(4,5) = -1*m_w*d*e*sin(fi);

M(5,1) = -1*m_w*e*sin(fi);

M(5,2) = m_w*e*cos(fi);

M(5,3) = -1*(1/2)*a*e*m_w*sin(fi);

M(5,4) = -1*(1/2)*d*e*m_w*sin(fi);

M(5,5) = m_w*(e^2) + J_w;

M(6,6) = 1;

M(7,7) = 1;

M(8,8) = 1;

M(9,9) = 1;

M(10,10) = 1;

%macierz wyrazow wolnych

Q(1) = m_w*e*((omega_fi)^2)*sin(fi) - 4*k1*x1-4*b_tl*vx;

Q(2) = m_w*e*((omega_fi)^2)*sin(fi) - 4*k1*y - 4*b_tl*vy;

Q(3) = -k1*alfa*(a^2 + b^2) - b_tl*(a^2 + b^2)*omega_alfa+0.5*m_l*a*e*((omega_fi)^2)*cos(fi);

Q(4) = m_w*d*e*((omega_fi)^2)*cos(fi);

Q(5) = M_el;

Q(6) = vx;

Q(7) = vy;

Q(8) = omega_alfa;

Q(9) = omega_beta;

Q(10) = omega_fi;

dxdt = inv(M)*Q';

• Program służący do wykreślania charakterystyk stołu wibracyjnego

% Program sluzacy do wykreslania charakterystyk stolu wibracyjnego

% Wykonała grupa K2 w składzie:

% Stefaniuk Joanna

% Mynarski Jakub

% Paslawski Marcin

% Papiez Andrzej

% Zwolinski Piotr

% Poczatek programu i wczytanie danych

clear all;

close all;

clc;

x0=zeros(10,1);

t=0:0.01:600;

[t,x]=ode45('stol2_bez',t,x0);

% Rysowanie wykresu predkosci Vx od czasu

figure(1)

plot(t,x(:,1))

title('Wykres prędkości liniowej stolu V_x');

xlabel('czas [s]')

ylabel('Prędkość V_x [m/s]')

axis([0,4,-0.5,0.5])

% Rysowanie wykresu predkosci Vy od czasu

figure(2)

plot(t,x(:,2))

title('Wykres prędkości liniowej stolu V_y');

xlabel('czas [s]')

ylabel('Prędkość V_y [m/s]')

axis([0,4,-0.3,0.3])

% Rysowanie wykresu predkosci obrotowej omega_alfa od czasu

figure(3)

plot(t,x(:,3))

title('Wykres prędkości obrotowej stolu \omega_\alpha')

xlabel('czas [s]')

ylabel('Prędkość \omega_\alpha [rad/s]')

axis([0,4,-1,1])

% Rysowanie wykresu predkosci obrotowej omega_beta od czasu

figure(4)

plot(t,x(:,4))

title('Wykres prędkości obrotowej łacznika \omega_\beta')

xlabel('czas [s]')

ylabel('Prędkość \omega_\beta [rad/s]')

axis([0,4,-6,6])

% Rysowanie wykresu predkosci obrotowej omega_fi od czasu

figure(5)

plot(t,x(:,5))

title('Wykres predkosci obrotowej wibratora \omega_\phi')

xlabel('czas [s]')

ylabel('Prędkość \omega_\phi [rad/s]')

axis([0,4,0,170])

% Rysowanie wykresu przemieszczenia x od czasu

figure(6)

plot(t,x(:,6))

title('Wykres przemieszczenia stolu x');

xlabel('czas [s]');

ylabel('przemieszczenie x [m]')

axis([0,4,-6*10^(-3),5*10^(-3)])

% Rysowanie wykresu przeszmieszczenia y od czasu

figure(7)

plot(t,x(:,7))

title('Wykres przemieszczenia stolu y');

xlabel('czas [s]');

ylabel('przemieszczenie y [m]')

axis([0,4,-4*10^(-3),3*10^(-3)])

% Rysowanie wykresu obrotu kata alfa od czasu

figure(8)

plot(t,x(:,8))

title('Wykres obrotu stolu \alpha');

xlabel('czas [s]');

ylabel('obrót \alpha [rad]');

axis([0,4,-0.007,0.007])

% Rysowanie wykresu obrotu katu beta od czasu

figure(9)

plot(t,x(:,9))

title('Wykres obrotu lacznika \beta');

xlabel('czas [s]');

ylabel('obrót \beta [rad]');

axis([0,5,-0.02,0.07])

% Rysowanie wykresu obrotu kata fi od czasu

figure(10)

plot(t,x(:,10))

title('Wykres obrotu wibratora \phi');

xlabel('czas [s]');

ylabel('obrót \phi [rad]');

% Obliczanie przyspieszen

N=length(x);

t1=0.01:0.01:600;

ax=diff(x(:,1));

ay=diff(x(:,2));

omega_fi = 0:0.1:157.1;

Mo=2*30.36*(157.1-105.3)*(157.1-omega_fi)./((157.1-105.3)^2+(157.1-omega_fi).^2);

% Wykreslanie charakterystyki momentu obrotowego silnika od kata obrotu fi

figure(11)

plot(omega_fi,Mo)

title('Charakterystyka zmian momentu obrotowego silnika Mo(\omega_\phi)');

xlabel('\omega_\phi [rad/s]');

ylabel('Mo [Nm]');

% Obliczanie reakcji w puncie A

epsilon_fi=diff(x(:,5));

epsilon_alfa=diff(x(:,3));

epsilon_beta=diff(x(:,4));

% Obliczanie poszczegolnych wyrazow wyrazenia na sile reakcji

jjhf=0.45/2*epsilon_alfa;

esfe=0.23*epsilon_beta;

cba=sin(x(1:N-1,10));

cdg=0.025*(x(1:N-1,5)).^2;

dfg=0.025*epsilon_fi;

sed=cos(x(1:N-1,10));

RxA=7.2*(ax+jjhf+esfe-dfg.*cba-cdg.*sed); % Reakcja w puncie A w kier. X

RyA=7.2*(ay+dfg.*sed-cdg.*cba); % Reakcja w punkcie A w kierunku Y

RA=sqrt(RxA.^2+RyA.^2); % Wypadkowa sila reakcji w puncie A

% Wykreslanie wielkosci reakcji w puncie A od czasu

figure(12)

subplot(3,1,1)

plot(t1,RA) % Wykres wypadkowej sily reakcji

title('Reakcja wypadkowa w punkcie A')

xlabel('czas [s]');

ylabel('siła[N]');

axis([0,4,0,5000])

hold on

subplot(3,1,2)

plot(t1,RxA,'r') % Wykres sily reakcji w kierunku X

title('Reakcja w osi x w punkcie A')

xlabel('czas [s]');

ylabel('siła[N]');

axis([0,4,-5000,5000])

hold on

subplot(3,1,3)

plot(t1,RyA,'g') % Wykres sily reakcji w kierunku Y

title('Reakcja w osi y w punkcie A')

xlabel('czas [s]');

ylabel('siła[N]');

axis([0,4,-5000,5000])

% Obliczanie sily reakcja w wierzcholku c3 stolu

% Obliczanie wartosci skladowych sil w kierunkach X oraz Y

Rxc3=516.8315*((x(1:N-1,1))-0.45/2*(x(1:N-1,3)))+92441*((x(1:N-1,6)-0.45/2*(x(1:N-1,8))));

Ryc3=516.8315*((x(1:N-1,2))+1.5/2*(x(1:N-1,3)))+92441*((x(1:N-1,7)+1.5/2*(x(1:N-1,8))));

% Obliczanie wypadkowej sily reakcji

Rc3=sqrt(Rxc3.^2+Ryc3.^2);

% Wykreslanie wielkosci reakcji w wierzcholku C3 od czasu

figure(13)

subplot(3,1,1)

plot(t1,Rc3) % Wykres zaleznosci wypadkowej sily od czasu

title('siła wypadkowa przekazywana na fundament')

xlabel('czas [s]');

ylabel('siła[N]');

axis([0,4,0,750])

hold on

subplot(3,1,2)

plot(t1,Rxc3,'r') % Wykres skladowej X od czasu

title('siła przekazywana na fundament w osi x')

xlabel('czas [s]');

ylabel('siła[N]');

axis([0,4,-750,750])

hold on

subplot(3,1,3)

plot(t1,Ryc3,'g') % Wykres skladowej Y od czasu

title('siła przekazywana na fundament w osi y')

xlabel('czas [s]');

ylabel('siła[N]');

axis([0,4,-750,750])

11. Wykresy:

- przemieszczenia i prędkości współrzędnych uogólnionych:

Moment obrotowy silnika:

Siły reakcji w punkcie A (łącznik)

Siły przekazywane na fundament

Symulacja wybiegu kod:

x0=zeros(10,1);

t1=0:0.01:2-0.01;

[t1,x1]=ode45('stol2_bez',t1,x0);

t2=2:0.01:2000;

[t2,x2]=ode45('stol2_bez_wybieg',t2,x1(200,:));

t=[t1;t2];

x=[x1;x2];

(pozostała część skryptu nie została zmieniona)

12. Wykresy wybiegu:

12. Wnioski:

Przy użyciu równań Lagrage’a oraz programu Matlab wyznaczono przewidywany ruch stołu. W celu weryfikacji wyników należałoby porównać je z danymi empirycznymi w celu określenia poprawności metody. Przy pomocy równań Lagrage’a II-go rzędu możemy wyznaczać równania ruchu nawet bardzo złożonych maszyn, mających wiele stopni swobody.

Wnioski z przeprowadzonej analizy:

• Opracowywany stół wibracyjny bardzo szybko osiąga okres pracy ustalonej, już po upływie 0,5 sekundy jego praca się stabilizuje, przypomina wykres funkcji okresowej,

• Dla powyższych danych nie zachodzi zjawisko rezonansu, początkowo wykresy nieznacznie wykraczają poza zakres pracy ustalonej potem się stabilizują,

• Wykresy prędkości i przemieszczeń podczas wybiegu zmierzają asymptotycznie do zera. Powodem takiego zachowania jest pominięcie oporów tarcia i uwzględnienie wyłącznie tłumików jako miejsc dyssypacji energii,

• Bardzo duże siły reakcji występuje w połączeniu wibrator-łącznik i wynoszą około 4, 5kN co jest najprawdopodobniej efektem działania masy niewyrównoważonej,

• Siła reakcji przekazywana na fundament ustala się po upływie 0,5 sekundy i osiąga wartości w zakresie od 200 do 600N.