Data: 11 marca 2013 r.	Temat: Badanie ruchu bryły sztywnej na równi pochyłej	Nr. ćwiczenia: 10
Kierunek: informatyka	Imię i nazwisko: Kamil Derkacz

1. Wprowadzenie

1. Równia pochyła – jedna z maszyn prostych. Urządzenia, których działanie oparte jest na równi, były używane przez ludzkość od dawnych dziejów. Przykładem równi jest dowolna płaska pochylnia. Równia to płaska powierzchnia nachylona pod pewnym kątem do poziomu, po której wciągany lub spuszczany jest dany przedmiot. Wyznaczanie parametrów ruchu ciała po tej powierzchni (przede wszystkim wyznaczenie przyspieszenia) nazywane jest zagadnieniem równi.

2. W ćwiczeniu bryłą sztywną jest kula staczająca się po równi pochyłej. Ruch kuli złożony jest z ruchu postępowego i obrotowego.

gdzie:

F – siła spychająca

T – siły tarcia

a – przyspieszenie środka masy

α – kąt nachylenia równi

ε – przyspieszenie kątowe

Podstawiając otrzymamy:

oraz

stąd:

gdzie: s – długość równi

1. Tabela pomiarów

h1 [m]	t [s]	h2 [m]	t [s]
	kulka 1 m=68,96 [g]	kulka 2 m=2,44 [g]	kulka 3 m=78,68 [g]
0,25	3,577	4,397	3,811
	3,565	4,354	3,795
	3,585	4,354	3,789
	3,636	4,351	3,793
	3,631	4,435	3,793
	3,578	4,385	3,788
	3,561	4,358	3,781
	3,600	4,427	3,770
	3,571	4,384	3,850
	3,588	4,315	3,764

Średnice

kulka 1 R₁ = 1, 675 cm = 0, 01675 m

kulka 2 R₂ = 2, 1875 cm = 0, 021875 m

kulka 3 R₃ = 1, 285 cm = 0, 01285 m

1. Obliczenia

$$\mathbf{t}_{\mathbf{sr}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{t}_{\mathbf{1}}\mathbf{+ \ldots +}\mathbf{t}_{\mathbf{10}}}{\mathbf{10}}$$

• Dla wysokości h₁ 0,25 m

kulka 1

t_sr =  3, 5892 s

kulka 2

t_sr = 4, 376  s

kulka 3

t_sr = 3, 7934  s

• Dla wysokości h₁ 0,5 m

kulka 1

t_sr =  2, 4633  s

kulka 2

t_sr =  2, 9541  s

kulka 3

t_sr =  2, 5397 s

$$\mathbf{C =}\frac{\mathbf{\text{gh}}{\mathbf{t}_{\mathbf{sr}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}\mathbf{- 1}$$

• Dla wysokości h₁=0, 25 m:

$$C_{1} = \frac{9,81*0,25*{3,5892}^{2}}{2*{3,30}^{2}} - 1$$

C₁=0, 45

$$C_{2} = \frac{9,81*0,25*{4,376}^{2}}{2*{3,30}^{2}} - 1$$

C₂=1, 16

$$C_{3} = \frac{9,81*0,25*{3,7934}^{2}}{2*{3,30}^{2}} - 1$$

C₃=0, 62

• Dla wysokości h₂=0, 5 m:

$$C_{1} = \frac{9,81*0,5*{2,4633}^{2}}{2*{3,30}^{2}} - 1$$

C₁=0, 37

$$C_{2} = \frac{9,81*0,5*{2,9541}^{2}}{2*{3,30}^{2}} - 1$$

C₂=0, 97

$$C_{3} = \frac{9,81*0,5*{2,5397}^{2}}{2*{3,30}^{2}} - 1$$

C₃=0, 45

Moment bezwładności

I_d=CmR²

• Dla wysokości h₁=0, 25 m:

kulka 1

I_d = CmR² = 0, 45 * 0, 06896 * 0, 01675² = 0, 0000087 kgm²

kulka 2

I_d = CmR² = 1, 16 * 0, 00244 * 0, 021875 ² = 0, 0000014 kgm²

kulka3

I_d = CmR² = 0, 62 * 0, 07868 * 0, 01285² = 0, 0000081 kgm²

• Dla wysokości h₁=0, 5 m:

kulka 1

I_d = CmR² = 0, 37 * 0, 06896 * 0, 01675² = 0, 0000072 kgm²

kulka 2

I_d = CmR² = 0, 97 * 0, 00244 * 0, 021875 ² = 0, 0000011 kgm²

kulka3

I_d = CmR² = 0, 45 * 0, 07868 * 0, 01285² = 0, 0000058 kgm²

A teraz obliczamy wartości teoretyczne momentu bezwładności ze wzorów:

Kulka 1 (kulka pełna)

$$I_{t} = \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{5}}mR^{2}$$

$$I_{t} = \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{5}}*0,06896*{0,01675}^{2} = \mathbf{0,0000077\ kg}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

Kulka 2 (kulka wydrążona cienkościenna)

$$I_{t} = \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}mR^{2}$$

$$I_{t} = \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}*0,00244*{0,021875}^{2} = \mathbf{0,0000008\ kg}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

Kulka 3 (walec)

$$I_{t} = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}mR^{2}$$

$$I_{t} = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}*0,07868*{0,01285}^{2} = \mathbf{0,0000065\ kg}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

Wyniki wszystkich obliczeń przedstawia poniższa tabela

h1=0, 25 m	Kulka 1	Kulka 2	Kulka 3	h2=0, 5 m	Kulka 1	Kulka 2	Kulka 3
C	0,45	1,16	0,62	C	0,37	0,97	0,45
m [kg]	0,06896	0,00244	0,07868	m [kg]	0,06896	0,00244	0,07868
R [m]	0,01675	0,021875	0,01285	R [m]	0,01675	0,021875	0,01285
Id [kgm^2]	0,0000087	0,0000014	0,0000081	Id [kgm^2]	0,0000072	0,0000011	0,0000058
It[kgm^2]	0,0000077	0,0000008	0,0000065	It[kgm^2]	0,0000077	0,0000008	0,0000065

1. Rachunek i dyskusja niepewności pomiarowych

1. Niepewność pomiarowa u(h)

2. Niepewność pomiarowa

= t_sr

Ze względu na duże rozmiary ułamków, umieszczam wyniki w następującej formie:

• Dla wysokości h₁ = 0, 25 m:

Bryła 1

Bryła 2

Bryła 3

• Dla wysokości h₁ = 0, 50 m:

Bryła 1

Bryła 2

Bryła 3

1. Niepewność pomiarowa u(s)

s = 3, 30 ± 0, 01 m

u(s) = 0, 01 m

1. Niepewność pomiarowa u(C)

• Dla wysokości h₁ = 0, 25 m:

Bryła 1

0,04

Bryła 2

0,06

Bryła 3

0,04

• Dla wysokości h₁ = 0, 50 m:

Bryła 1

0,02

Bryła 2

0,03

Bryła 3

0,02

1. Niepewność pomiarowa u(m)

2. Niepewność pomiarowa u(R)

3. Niepewność pomiarowa u(I_d)

$$u\left( I_{d} \right) = \sqrt{\left\lbrack mR^{2}*u(C) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack CR^{2}*u(m) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack Cm2R*u(R) \right\rbrack^{2}}$$

• Dla wysokości h₁ = 0, 25 m:

Bryła 1

$$u\left( I_{d} \right) = \sqrt{\left\lbrack 0,06896*{0,01675}^{2}*0,04 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 0,45*{0,01675}^{2}*0,00002 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 0,45*0,06896*2*0,01675*0,0006 \right\rbrack^{2}}$$

=0, 00000100 kgm²

Bryła 2

$$\backslash n{u\left( I_{d} \right) = \sqrt{\left\lbrack 0,00244*{0,021875}^{2}*0,06 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,16*{0,021875}^{2}*0,00002 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,16*0,00244*2*0,021875*0,0006 \right\rbrack^{2}}}$$

=0, 00000011 kgm²

Bryła 3

$$\backslash n{u\left( I_{d} \right) = \sqrt{\left\lbrack 0,07868*{0,01285}^{2}*0,04 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 0,62*{0,01285}^{2}*0,00002 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 0,62*0,07868*2*0,01285*0,0006 \right\rbrack^{2}}}$$

=0, 00000092 kgm²

• Dla wysokości h₁ = 0, 50 m:

Bryła 1

$$u\left( I_{d} \right) = \sqrt{\left\lbrack 0,06896*{0,01675}^{2}*0,02 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 0,37*{0,01675}^{2}*0,00002 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 0,37*0,06896*2*0,01675*0,0006 \right\rbrack^{2}}$$

=0, 00000065 kgm²

Bryła 2

$$u\left( I_{d} \right) = \sqrt{\left\lbrack 0,00244*{0,021875}^{2}*0,03 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 0,97*{0,021875}^{2}*0,00002 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 0,97*0,00244*2*0,021875*0,0006 \right\rbrack^{2}}$$

=0, 00000008 kgm²

Bryła 3

$$u\left( I_{d} \right) = \sqrt{\left\lbrack 0,07868*{0,01285}^{2}*0,02 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 0,45*{0,01285}^{2}*0,00002 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 0,45*0,07868*2*0,01285*0,0006 \right\rbrack^{2}}$$

=0, 00000060 kgm²

1. Niepewność pomiarowa u(I_t)

Dla kulki pełnej

$$u\left( I_{t} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{2}{5}R^{2}*u(m) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{4}{5}mR*u(R) \right\rbrack^{2}}$$

$$u\left( I_{t} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{2}{5}{*0,01675}^{2}*0,00002 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{4}{5}*0,06896*0,01675*0,0006 \right\rbrack^{2}} = \mathbf{0,00000056\ kg}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

Dla kulki wydrążonej cienkościennej

$$u\left( I_{t} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{2}{3}R^{2}*u(m) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{4}{3}mR*u(R) \right\rbrack^{2}}$$

$$u\left( I_{t} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{2}{3}{*0,021875}^{2}*0,00002 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{4}{3}*0,00244*0,021875*0,0006 \right\rbrack^{2}} = \mathbf{0,00000003\ kg}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

Dla walca

$$u\left( I_{t} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{1}{5}R^{2}*u(m) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{2}{5}mR*u(R) \right\rbrack^{2}}$$

$$u\left( I_{t} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{2}{3}{*0,01285}^{2}*0,00002 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{4}{3}*0,07868*0,01285*0,0006 \right\rbrack^{2}} = \mathbf{0,00000049\ kg}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

1. Wnioski

Porównanie doświadczalnych (I_d) oraz teoretycznych (I_t) wartości momentów bezwładności:

	h = 0,25 [m]	Id [kgm^2]	It [kgm^2]	h = 0,50 [m]	Id [kgm^2]	It [kgm^2]
Kulka 1		0, 0000087 ± 0, 00000100	0, 0000077 ± 0, 00000056		0, 0000072 ± 0, 00000065	0, 0000077 ± 0, 00000056
Kulka 2		0, 0000014 ± 0, 00000011	0, 0000008  ± 0, 00000003		0, 0000011 ± 0, 00000008	0, 0000008  ± 0, 00000003
Kulka 3		0, 0000081   ± 0, 00000092	0, 0000065 ± 0, 00000049		0,0000058  ± 0, 00000060	0, 0000065 ± 0, 00000049

Zadaniem było wykonanie odpowiednich pomiarów takich jak: czas staczania się kul, zmierzenie ich mas oraz promieni. Wyniki były potrzebne do obliczenia momentu bezwładności dla każdej kulki z osobna. Otrzymane momenty bezwładności dla poszczególnych kul różniły się od siebie w zależności od ich masy, rozmiarów i wysokości początkowej staczania.

Porównując momenty kul wyliczone za pomocą wzorów z ich wartościami teoretycznymi zauważamy, że biorąc pod uwagę wyznaczone niepewności pomiarowe, momenty bezwładności kulki 1 (dla obu wysokości) oraz kulki 3 (dla wysokości 0,50 m) są ze sobą zgodne, natomiast reszta wyników różni się od siebie. Przyczynami takiego błędu mogą być: niedokładne ustawienie początkowe kul, nierówności występujące na powierzchni brył lub nieprawidłowy odczyt pomiarów spowodowany warunkami zewnętrznymi, takimi jak podmuch powietrza w trakcie wykonywania pomiarów, itp.