)Aksjomat wycinania: Dla każdego zb Z i każdej własn. f(x) istnieje zb tych xϵZ które 1mają własność f(x) ({xϵZ:f(x)})
2)iloczyn kartez : AxB={<x,y>: xϵA i yϵB}
3)Aksjomat zb potęgowego: Dla każdego zb istnieje zb jego podzbiorów
4) identyczność: f:X->Y , g:Y->X to gof=idX (ozn. G(f(x))=x) , fog=idY
5)Jeśli f jest bijekcją to jezeli g:Y->X , gof=idX , to g jest bijekcja i g=f-1
6)Relacja ≤ nazywa się cz.porządkiem zb X jeśli a)zwrotność x≤x b) przechodność x≤y i y≤z => x≤z c) słaba asymetria x≤y i y≤x => x=y
7)R jest rel równoważności w zb X jeśli: a)zwrotna xRx b)przechodnia xRy i yRz => xRz c)symetryczność xRy => yRx
8) A i B są równoliczne gdy istnieje bijekcja A->B
9) AB={f:f:B->A}, A<w=UA{0,1,…,n+1} , [A]<w={x:xcA i x skończony}
10)Cantora_Bernsteina Jeśli istnieje injekcja A w B i B w A to istn bijekcja A na B
D:z Lematu Banacha: jeśli istnieje injekcja A w B i B w A to istn A1,A2ϵA (A1⩃A2=⦰ i A=A1uA2) & itn B1,B2 (tak jak z A) & f(A1)=B1 & g(B2)=A2 . Niech h(x)= f(x) gdy xϵA1 i g-1‑ gdy xϵA2 Czyli h|A1=f|A2 i h|A2=g-1|A2 Możemy zatem na rozłącznych zbiorach A1,A2 skleić dwie injekcje f|A1 i g-1|A2 będące zawężeniami oryginalnych funkcji. Otrzymane sklejenie f|A1 U g-1|A2 jest bijekcją
10) tw. Cantora VA |A|<|P(A)|
11)eliminacja implikacji (L=>B)(~L v B) elimin koniunkcji (L i B) ~(~L v ~B)
12) Jeśli K i L są liczbami kardynalnymi to
1)K≤L jeśli istn zb A i B t,że |A|=K & |B|=L & istn bijekcja A->B
2)K<LK≤L & K≠L
3)K+L|AuB| gdzie |A|=K & |B|=L
4)K∙L|AxB| , |A|=K & |B|=L
5)KL |AB|, |A|=K & |B|=L
)Aksjomat wycinania: Dla każdego zb Z i każdej własn. f(x) istnieje zb tych xϵZ które 1mają własność f(x) ({xϵZ:f(x)})
2)iloczyn kartez : AxB={<x,y>: xϵA i yϵB}
3)Aksjomat zb potęgowego: Dla każdego zb istnieje zb jego podzbiorów
4) identyczność: f:X->Y , g:Y->X to gof=idX (ozn. G(f(x))=x) , fog=idY
5)Jeśli f jest bijekcją to jezeli g:Y->X , gof=idX , to g jest bijekcja i g=f-1
6)Relacja ≤ nazywa się cz.porządkiem zb X jeśli a)zwrotność x≤x b) przechodność x≤y i y≤z => x≤z c) słaba asymetria x≤y i y≤x => x=y
7)R jest rel równoważności w zb X jeśli: a)zwrotna xRx b)przechodnia xRy i yRz => xRz c)symetryczność xRy => yRx
8) A i B są równoliczne gdy istnieje bijekcja A->B
9) AB={f:f:B->A}, A<w=UA{0,1,…,n+1} , [A]<w={x:xcA i x skończony}
10)Cantora_Bernsteina Jeśli istnieje injekcja A w B i B w A to istn bijekcja A na B
D:z Lematu Banacha: jeśli istnieje injekcja A w B i B w A to istn A1,A2ϵA (A1⩃A2=⦰ i A=A1uA2) & itn B1,B2 (tak jak z A) & f(A1)=B1 & g(B2)=A2 . Niech h(x)= f(x) gdy xϵA1 i g-1‑ gdy xϵA2 Czyli h|A1=f|A2 i h|A2=g-1|A2 Możemy zatem na rozłącznych zbiorach A1,A2 skleić dwie injekcje f|A1 i g-1|A2 będące zawężeniami oryginalnych funkcji. Otrzymane sklejenie f|A1 U g-1|A2 jest bijekcją
10) tw. Cantora VA |A|<|P(A)|
11)eliminacja implikacji (L=>B)(~L v B) elimin koniunkcji (L i B) ~(~L v ~B)
12) Jeśli K i L są liczbami kardynalnymi to
1)K≤L jeśli istn zb A i B t,że |A|=K & |B|=L & istn bijekcja A->B
2)K<LK≤L & K≠L
3)K+L|AuB| gdzie |A|=K & |B|=L
4)K∙L|AxB| , |A|=K & |B|=L
5)KL |AB|, |A|=K & |B|=L
)Aksjomat wycinania: Dla każdego zb Z i każdej własn. f(x) istnieje zb tych xϵZ które 1mają własność f(x) ({xϵZ:f(x)})
2)iloczyn kartez : AxB={<x,y>: xϵA i yϵB}
3)Aksjomat zb potęgowego: Dla każdego zb istnieje zb jego podzbiorów
4) identyczność: f:X->Y , g:Y->X to gof=idX (ozn. G(f(x))=x) , fog=idY
5)Jeśli f jest bijekcją to jezeli g:Y->X , gof=idX , to g jest bijekcja i g=f-1
6)Relacja ≤ nazywa się cz.porządkiem zb X jeśli a)zwrotność x≤x b) przechodność x≤y i y≤z => x≤z c) słaba asymetria x≤y i y≤x => x=y
7)R jest rel równoważności w zb X jeśli: a)zwrotna xRx b)przechodnia xRy i yRz => xRz c)symetryczność xRy => yRx
8) A i B są równoliczne gdy istnieje bijekcja A->B
9) AB={f:f:B->A}, A<w=UA{0,1,…,n+1} , [A]<w={x:xcA i x skończony}
10)Cantora_Bernsteina Jeśli istnieje injekcja A w B i B w A to istn bijekcja A na B
D:z Lematu Banacha: jeśli istnieje injekcja A w B i B w A to istn A1,A2ϵA (A1⩃A2=⦰ i A=A1uA2) & itn B1,B2 (tak jak z A) & f(A1)=B1 & g(B2)=A2 . Niech h(x)= f(x) gdy xϵA1 i g-1‑ gdy xϵA2 Czyli h|A1=f|A2 i h|A2=g-1|A2 Możemy zatem na rozłącznych zbiorach A1,A2 skleić dwie injekcje f|A1 i g-1|A2 będące zawężeniami oryginalnych funkcji. Otrzymane sklejenie f|A1 U g-1|A2 jest bijekcją
10) tw. Cantora VA |A|<|P(A)|
11)eliminacja implikacji (L=>B)(~L v B) elimin koniunkcji (L i B) ~(~L v ~B)
12) Jeśli K i L są liczbami kardynalnymi to
1)K≤L jeśli istn zb A i B t,że |A|=K & |B|=L & istn bijekcja A->B
2)K<LK≤L & K≠L
3)K+L|AuB| gdzie |A|=K & |B|=L
4)K∙L|AxB| , |A|=K & |B|=L
5)KL |AB|, |A|=K & |B|=L
)Aksjomat wycinania: Dla każdego zb Z i każdej własn. f(x) istnieje zb tych xϵZ które 1mają własność f(x) ({xϵZ:f(x)})
2)iloczyn kartez : AxB={<x,y>: xϵA i yϵB}
3)Aksjomat zb potęgowego: Dla każdego zb istnieje zb jego podzbiorów
4) identyczność: f:X->Y , g:Y->X to gof=idX (ozn. G(f(x))=x) , fog=idY
5)Jeśli f jest bijekcją to jezeli g:Y->X , gof=idX , to g jest bijekcja i g=f-1
6)Relacja ≤ nazywa się cz.porządkiem zb X jeśli a)zwrotność x≤x b) przechodność x≤y i y≤z => x≤z c) słaba asymetria x≤y i y≤x => x=y
7)R jest rel równoważności w zb X jeśli: a)zwrotna xRx b)przechodnia xRy i yRz => xRz c)symetryczność xRy => yRx
8) A i B są równoliczne gdy istnieje bijekcja A->B
9) AB={f:f:B->A}, A<w=UA{0,1,…,n+1} , [A]<w={x:xcA i x skończony}
10)Cantora_Bernsteina Jeśli istnieje injekcja A w B i B w A to istn bijekcja A na B
D:z Lematu Banacha: jeśli istnieje injekcja A w B i B w A to istn A1,A2ϵA (A1⩃A2=⦰ i A=A1uA2) & itn B1,B2 (tak jak z A) & f(A1)=B1 & g(B2)=A2 . Niech h(x)= f(x) gdy xϵA1 i g-1‑ gdy xϵA2 Czyli h|A1=f|A2 i h|A2=g-1|A2 Możemy zatem na rozłącznych zbiorach A1,A2 skleić dwie injekcje f|A1 i g-1|A2 będące zawężeniami oryginalnych funkcji. Otrzymane sklejenie f|A1 U g-1|A2 jest bijekcją
10) tw. Cantora VA |A|<|P(A)|
11)eliminacja implikacji (L=>B)(~L v B) elimin koniunkcji (L i B) ~(~L v ~B)
12) Jeśli K i L są liczbami kardynalnymi to
1)K≤L jeśli istn zb A i B t,że |A|=K & |B|=L & istn bijekcja A->B
2)K<LK≤L & K≠L
3)K+L|AuB| gdzie |A|=K & |B|=L
4)K∙L|AxB| , |A|=K & |B|=L
5)KL |AB|, |A|=K & |B|=L