Podaj definicje działań na macierzach?:Dodawanie-Sumą macierzyalbo nazywamy macierz + = Mnożeniem przez liczbę- Iloczynem macierzyprzez liczbę (rzeczywistąlub zespoloną) k nazywamy macierz: k* 2 * = Mnożenie macierzy- Iloczynem A*B macierzy, przez macierz nazywamy macierz której elementy określone są wzorami: * = Aby pomnożyć dwie macierze, liczba kolumn pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy drugiej macierzy. Definicja wyznacznika: Niech będzie macierzą rzeczywistą (zespoloną) stopnia n. Wyznaczniekiem macierzy A nazywamy liczbę detA określoną następująco:*detA=a11 , gdy n=11*detA= ,gdy n>1 Gdzie jest wyznacznikiem macierzy stopnia (n-1) powstałej z macierzy A przez usunięcie pierwszego wiersza oraz k-tej kolumny. Liczbę nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu macierzy A. Wyznacznik macierzy st.n nazywamy wyznacznikiem st.n . Det = || = 2*4-3*7=-14 Podaj Tw. Lapacea dla wyznaczników:Wartość wyznacznika macierzy kwadratowej jest równa sumie iloczynów kolejnych elementów dowolnego wiesza (lub kolumny) przez odpowiadające im dopełnienia algebraiczne. = 5*(-1 * = -5*(4*3-2*7)=-5*(-2)=10 Podaj twierdzenie Cramera:Układ n równań z n niewiadomymi ma dokładnie jedno rozwiązanie , macierz współczynników przy niewiadomych jest nieosobliwa. Rozwiązanie to wyraża się wzorami Cramera: , i=1,2,..,n , gdzie jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych (macierzą kolumny B). Jednorodny układ n rozwiązań liniowych z n niewiadomymi o nieosobliwej macierzy współczynników przy niewiadomych ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest to rozwiązanie zerowe. A=detA= ||= -16Podaj Tw. Kroneckera-Capeli: Układ równań zawierający m równań oraz n niewiadomych ma rozwiązanie , macierzy współczynników przy niewiadomych jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej. Rozwiązanie to jest uzależnione od liczby parametrów równej różnicy pomiędzy liczbą niewiadomych, a wspólnym rzędem macierzy. W przypadku, gdy wspomniane rzędy są różne, układ jest sprzeczny. Podaj Tw. O związku zbieżności ciągu z ograniczonością: Jeżeli ciąg jest zbieżny to jest ograniczony. Twierdzenie odwrotne jest SPRZECZNE. Jeżeli ciąg () jest monotoniczny i ograniczony to jest zbieżny. Jeżeli ciąg ma granicę skończoną to mówimy, że jest zbieżny, gdy w mówimy wtedy, że jest rozbieżny. 7. Podaj def ciągu ros, mal i ogr.:*Ciąg malejący *Ciąg rosnący *Ciąg Ograniczony 8. Podaj symbole nieoznaczone i przykłady trzech z nich do ciągów:np.: 1) 2) 9. Podaj definicje liczby e: Liczba e jest niewymierna i w przybliżeniu równa: e=2,718282=2,72. Granica ciągu oznaczamy literą e. 13. Podaj def ciągłości funkcji w punkcie: Jeżeli funkcja f posiada pochodną w punkcie , to jest w tym punkcie funkcją ciągłą. Z ciągłości funkcji nie wynika jej różniczkowalność. Funkcja f(x)=|x| jest ciągła w punkcjie , ale nie posiada w tym punkcie pochodnej. 14.Podaj definicje pochodnej w punkcie: Jeżeli funkcje f i g określone na pewnym przedziale (a;b) posiadają posiadają pochodne w punkcie x, to funkcje f+g ; f*g ; f/g posiadają pochodne w punkcie x oraz prawdziwe są wzory (f+g)’(x)=f’(x)+g’(x) (f*g)’ (x)=f’(x)*g(x)+g’(x)*f(x) ( 16.Podaj Tw. Largrange’a: Jeżeli:*funkcja f jest ciągła w przedziale [a;b] *funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a;b) to istnieje (przynajmniej jeden) punkt c(a;b), taki że f’(c)=. 17.Podaj trzy wnioski z Tw. Largrange’a: *Jeżeli f’(x)=0 dla każdego x(a;b), to funkcja f jest stała w przedziale (a;b).*Jeżeli funkcje f i g mają równe pochodne w przedziale (a;b) to funkcje te różnią się w tym przedziale co najwyżej o stałą. *Jeżeli f’(x)>0 dla każdego x(a;b),to funkcja jest rosnąca w tym przedziale. *Jeżeli f’(x)<0 dla każdego x(a;b) to funkcja jest malejąca w tym przedziale.18.Podaj twierdzenie o związku różniczkowalności funkcji z ciągłą:Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, to jest w tym punkcie ciągła. TW ODWROTNE NIE ZACHODZI, gdyż f(x)=|x| jest ciągła w punkcie x0=0, ale nie ma w tym punkcie pochodnej. 19. Podaj def ekstremum lokanego: Załóżmy teraz, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu . Mówimy, że funkcja f osiąga w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x0) punktu x0 takie, że: (Gdy nierówności są ostre, to mówimy o maksimum (minimum) lokalnym właściwym.20.Podaj warunek konieczny istnienia ekstremum: Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 i osiąga w tym punkcie ekstremum to f’(=0. Warunek konieczny nie jest jednak warunkiem wystarczającym, gdyż np.: funkcja f(x)= w punkcie x0=0 mają pochodną równą zero, a nie ma ekstremum. 21.Podaj definicję punktu przegięcia: Punkt x0 nazywamy pkt przegięcia krzywej f jeśli istnieje takie sąsiedztwo S(x0,ε) pkt x0 że krzywa jest wypukła (wklęsła) dla x∈(x0-ε,x_0) oraz wklęsła(wypukła) dla (x0,x_0+ε). Inaczej pkt w którym styczna przechodzi z nad krzywej pod nią lub odwrotnie. 22. Podaj 1warunek istnienia ekstremum lokalnego: Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie i różniczkowalna w sąsiedztwie S(;) punktu oraz f’(x)<0 dla x- i f’(x)>0 dla x(x0;x0+), to funkcja f osiąga w punkcie x0 minimum lokalne właściwe. Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie i z różniczkowalna w sąsiedztwie S(; punktu dla x i f’(x)<0 dla x, to funkcja f osiąga w punkcie maksimum lokalne właściwe. 23.Podaj 2 warunek istnienia ekstremum lokalnego: Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu oraz*f’(x0)=0*f”(x0)*pochodna drugiego rzędu x0 jest ciągła w punkcie x0 , to funkcja f ma punkcie x0 ekstremum lokalne. Jest to maksimum, gdy f”(x0)< minimum, gdy f”(x0)>0 .24.Podaj regułę de L’hospitala: Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie oraz istnieje granica (właściwa lub nie) to istnieje również granica . Twierdzenie odwrotne nie zachodzi! 25.Podaj Tw. O całkowaniu przez części: Jeżeli funkcje f i g posiadają ciągłe pochodne w pewnym przedziale l , to: =xsinx- 26.Podaj Tw. O całkowaniu przez podstawianie: Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w przedziale [a;b]. Jeżeli funkcja x=(t) ma ciągłą pochodną w przedziale [a;b] to zachodzi wzór: .