plik (3)

Wydział

WIiTCh

Imię i nazwisko Zespół

Data

07.01.2010

Grupa Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego

Nr ćwiczenia

3

Ocena i podpis

1. Wprowadzenie do ćwiczenia

Bryłę sztywną obracalną wokół stałej osi obrotu i poddaną momentowi sił M1, proporcjonalnemu do kąta odchylenia bryły z położenia równowagi φ, można opisać wzorem:


 M1 = −k1φ


$$I \bullet \ddot{\varphi} = - k_{1}\varphi$$

gdzie:

k1 – dodatnia stała; moment kierujący

I - moment bezwładności bryły względem osi obrotu

$\ddot{\varphi}$ – przyspieszenie kątowe

φ - kąt obrotu ciała wokół osi


φ(t) = Φsin(ωt + ε)

gdzie:

Φ - amplituda kątowa drgań,

T – okres drgań


$$\omega = \sqrt{\frac{k_{1}}{I}}$$


$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{k_{1}}}$$

Stąd:


$$\varphi\left( t \right) = \Phi\sin\left( 2\pi\frac{t}{T} + \varepsilon \right)$$

Amplituda i okres są nie zmienne w czasie, przy czym okres nie zależy od amplitudy (izochronizm drgań).

Jeżeli oprócz momentu siły M1 działają na ciało momenty sił skierowane przeciwnie do prędkości ciała, wówczas amplituda maleje z biegiem czasu; obserwujemy drgania zwane tłumionymi, zanikającymi lub gasnącymi.

Prawo zanikania amplitudy zależy od rodzaju tłumienia.

Rozpatrzmy zatem dwa rodzaje tłumienia:

  1. tłumienie drgań tarciem kulombowskim (suchym) – tłumienie momentem siły stałym co do wartości, a przeciwnie skierowanym do φ:

$M_{2} = {- M_{t}}_{\ }\frac{\dot{\varphi}}{\left| \dot{\varphi} \right|}$ , gdzie: $\dot{\varphi} \neq 0$

b) tłumienie wiskotyczne – tłumienie momentem siły proporcjonalnym do prędkości kątowej φ i przeciwnie do niej skierowanym:


$$M_{3} = - k_{2}\dot{\varphi}$$

Tłumienie tarciem kulombowskim

Równanie ruchu ciała ma postać:


$$\text{\ I}\ddot{\varphi} = - k_{1}\varphi + M_{2}$$

Rozwiązaniem tego równania są drgania tłumione o amplitudzie malejącej według postępu arytmetycznego o wielkości $\Delta\varphi = \frac{4M_{t}}{k_{1}}$ na jeden okres drgań tłumionych:

Tłumienie wiskotyczne

Występuje przy tłumieniu powolnych, mechanicznych drgań ciała zanurzonego w lepkiej cieczy lub przy tłumieniu drgań elektrycznych w obwodach elektrycznych. Równanie ruchu ma postać:


$$I\ddot{\varphi} = - k_{1}\varphi + M_{3}$$

Jego rozwiązaniem przy słabym tłumieniu (k22 < 4Ik1) jest funkcja:


φ(t) = −Φeδtsin(ω1t+ε)


$$gdzie:\ \delta = \frac{k_{2}}{2I},\ \omega_{1} = \sqrt{\frac{k_{1}}{I} - \delta^{2}}$$

Funkcja przedstawiona powyższym równaniem nie jest funkcją periodyczną jak wynika z poniższego rysunku. Jej "okres", tj. czas, jaki upływa miedzy dwoma kolejnymi maksimami lub podwójny czas między dwoma kolejnymi przejściami przez punkt 0 wynosi:


$$T_{1} = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k_{1}}{I} - \frac{{k_{2}}^{2}}{4Ik_{1}}}} = T\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{k_{2}}^{2}}{4Ik_{1}}}}$$

Okres drgań tłumionych wiskotyczne więc jest dłuższy od okresu drgań nie gasnących. Maksima funkcji są przesunięte względem maksimów funkcji sinus kąta w lewo i wartości ich maleją z czasem. Ponieważ termin amplituda odnosi się do stałej wartości maksimów funkcji sinus, wyrażenie Feδt należało by nazwać amplitudę w cudzysłowie. "Amplituda" Feδt maleje z czasem według funkcji wykładniczej, logarytm "amplitudy" maleje liniowo z czasem.

Stosunek dwóch kolejnych wychyleń po tej samej stronie położenia równowagi wynosi:


φn = F0enδT


$$\frac{F_{n}}{F_{n + 1}} = \frac{e^{\frac{- k_{2}t}{2I}}}{e^{\frac{- k_{2}\left( t + T \right)}{2I}}} = e^{\frac{k_{2}t}{2I}}$$

Stosunek ten jest stały i nosi nazwę stosunku tłumienia. Logarytm naturalny tego stosunku:


$$\ln\frac{F_{n}}{F_{n + 1}} = \frac{k_{2}T_{1}}{2I} = D$$

nosi nazwę dekrementu logarytmicznego drgań tłumionych. Jest on również wartością charakterystyczną dla tych drgań.

2. Metoda pomiaru

Przyrząd składa się z kuli zawieszonej na stalowym drucie wlutowanym osiowo w walec, obracalny w łożysku za pośrednictwem pokrętła o niewielki kąt. Wiązka światła z rzutnika odbija się od zwierciadła przymocowanego do drutu i daje na skali plamkę świetlną. Podczas drgań obrotowych kuli plamka świetlna wykonuje drgania liniowe o odchyleniu x proporcjonalnym do kąta obrotu kuli φ, gdyż dla niewielkich kątów:

(gdzie l jest odległością skali od zwierciadełka); stąd:


x ≅ 2φl

Tłumienie proporcjonalne do prędkości ruchu realizujemy przez zanurzenie drgającej kuli w lepkiej cieczy, np. w wodzie; stąd nazwa tego rodzaju tłumienia: lepkościowe lub wiskotyczne. Tłumienie stałym momentem uzyskujemy, podstawiając pod kulę cienką blaszkę przesuwalną na statywie, której wysokość, a więc i nacisk na kulę można regulować za pomocą śruby. Tłumienie pochodzące od lepkości powietrza i tarcia wewnętrznego w materiale drutu jest tak małe, że można je wobec obu rozpatrywanych momentów hamujących pominąć. Kulę wprawiamy w drganie przez powolny obrót zawieszenia z położenia wyjściowego w skrajne, a następnie szybki powrót do położenia wyjściowego.

3. Wykonanie ćwiczenia

Zadanie 1: Badanie drgań obrotowych kuli nietłumionych (z pominięciem oporów powietrza i tłumienia w metalu drutu)

  1. Obserwacja kolejnych amplitud xn po tej samej stronie położenia równowagi.

Pomiar okresu drgań przez kilkakrotny pomiar czasu przypadającego na 10 okresów.

lp. 10T [s] Xn [dz] nT
1 85,80 142 0
2 86,00 141 1T
3 86,00 140 2T
4 86,20 139 3T
5 86,40 139 4T

$$\overset{\overline{}}{10T} = 86,08\lbrack s\rbrack$$
138 5T

$$\overset{\overline{}}{T} = 8,608\ \lbrack s\rbrack$$
139 6T
138 7T
138 8T
138 9T
138 10T
  1. Wykres zależności amplitudy od czasu (wykres 1)

3) Obliczenie momentu kierującego:

m = 0, 750 [kg] R = 0, 0285 [m] R = 0, 00005[m] m = 0, 0005[kg]

Tsyst.=0,1 [s] – błąd systematyczny T

W tej części ćwiczenia mieliśmy za zadanie zmierzyć okres drgań wahadła fizycznego, oraz wychylenie. Wyznaczamy błąd 10$\overset{\overline{}}{T}$ wahadła:

10$\overset{\overline{}}{T}$=86,08 $\overset{\overline{}}{\mathbf{T}_{\mathbf{\ }}}\mathbf{= 8,608}\left\lbrack \mathbf{s} \right\rbrack$


$$S_{T} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( T_{i} - \overset{\overline{}}{T} \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}} = 0,10198039\ \left\lbrack s \right\rbrack$$


$$T_{c} = S_{\overset{\overline{}}{T}} + T_{\text{syst.}} = 0,1 + 0,10198039 \approx 0,2020\left\lbrack s \right\rbrack$$


T = (8, 6080 ± 0, 2020) [s]


$$I\ = \frac{2}{5}mR^{2} = \ 0,000243675 \approx \ 2,4368 \bullet 10^{- 4}\ \left\lbrack \text{kg} \bullet m^{2} \right\rbrack$$


$${k}_{1\ max} = k \bullet \left( \left| \frac{I}{I} \right| + \left| \frac{2T_{c}}{T_{c}} \right| \right) = 2,2238 \bullet 10^{- 5}\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$


$$k_{1} = 4 \bullet \left( 3,1416 \right)^{2}\ \bullet \frac{2,4368 \bullet 10^{- 4}}{{8,608}^{2}} = 1,29770 \bullet 10^{- 4}\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$


$$\mathbf{k}_{\mathbf{1}}\mathbf{\ }\mathbf{= \ }\left( \mathbf{\ 1,2977\ }\mathbf{}\mathbf{\ }\mathbf{0,2224\ } \right)\mathbf{\bullet 1}\mathbf{0}^{\mathbf{- 4}}\left\lbrack \frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}} \right\rbrack$$

Zadanie 2: Badanie drgań obrotowych kuli tłumionych tarciem kulombowskim

  1. Obserwacja kolejnych amplitud xn po tej samej stronie położenia równowagi

nT xn [dz] 10T [s]
1T 55 67,2
2T 53 67,0
3T 51 67,0
4T 50 67,0
5T 47 67,0
6T 44 67,0
7T 40 67,0
8T 37 66,8
9T 35 66,8
10T 32 66,8

$$\overset{\overline{}}{x} = 44,4$$

$$\overset{\overline{}}{T} = 6,70$$
  1. Wykres przedstawiający zależność „amplitudy” od czasu (wykres 2)

  2. Obliczenie momentu siły tarcia


$$M_{t} = \frac{k_{1}\varphi}{4} \cong \frac{k_{1}x}{8l}$$


$$x = \overset{\overline{}}{\left( x - x_{n + 1} \right)} = 2,56\ \left\lbrack \text{dz} \right\rbrack$$


$$k_{1}\ = \ \left( 1,2977\ \ 0,2224 \right) \bullet 10^{- 4}\left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

l = 0, 75 ± 0, 00005 [m] dx = 0, 5 [dz]


$$M_{t} = \frac{1,2977 \bullet 10^{- 4} \bullet 2,56}{8 \bullet 0,75} = 5,5369 \bullet 10^{- 5}\ \lbrack N \bullet m\rbrack$$


$$M_{t} = M_{t} \bullet \left( \left| \frac{dk_{1}}{k_{1}} \right| + \left| \frac{\text{dx}}{x} \right| + \left| \frac{\text{dl}}{8l} \right| \right) = 5,5369 \bullet 10^{- 5} \bullet \left( \frac{0,2224}{1,2977} + \frac{0,5}{2,56} + \frac{5 \bullet 10^{- 5}}{8 \bullet 0,75} \right) = 0,2031 \bullet 10^{- 5}\ \lbrack N \bullet m\rbrack$$


Mt = (5,5369±0,2031) • 10−5 [Nm]

Zadanie 3: Badanie drgań obrotowych kuli tłumionych wiskotycznie

  1. Obserwacja kolejnych wychyleń xn po tej samej stronie położenia równowagi. Pomiar okresu drgań tłumionych wiskotycznie przez kilkakrotny pomiar czasu przypadającego na 10 okresów.

nT xn [dz] 10T1 [s]
1T 152 87,2
2T 142 87,2
3T 132 87,2
4T 124 87,0
5T 116 87,4
6T 104
7T 98
8T 92
9T 86
10T 80
11T 74

$$\overset{\overline{}}{{10T}_{1}} = 87,2$$

$\overset{\overline{}}{{10T}_{1}} = 87,2\ \lbrack s\rbrack$ $\overset{\overline{}}{T_{1}} = 8,72\ \lbrack s\rbrack$

S10T1 = 0, 141421 ≈ 0, 1415 ST1 = 0, 01415


T1 = ST1 + Tsyst. = 0, 11415 [s]


T1=(8,72±0,1142)[s]

  1. Wykres przedstawiający zależność „amplitudy” od czasu (wykres 3)

  2. Obliczenie stosunku tłumienia oraz logarytmicznego dekrementu tłumienia

Stosunek tłumienia:


$$\overset{\overline{}}{\left( \frac{\varphi_{n}}{\varphi_{n + 1}} \right)} = 1,074734 \cong 1,0747$$

Logarytmiczny dekrement tłumienia:


$$D = \ln\frac{\varphi_{n}}{\varphi_{n + 1}} = \frac{k_{2}T_{1}}{2I}$$


D = ln(1, 0747)=0, 072041553 ≅ 0, 07204


D = 0, 9305

  1. Obliczenie współczynnika k2:


$$k_{2} = \frac{2DI}{T_{1}} = 4,0263 \bullet 10^{- 6}\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$


$$k_{2} = 2I \bullet \left( \frac{D}{T_{1}} + \frac{DT_{1}}{{T_{1}}^{2}} \right) = 5,2060 \bullet 10^{- 5}\left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

4. Wnioski

Wszystkie części ćwiczenia zostały wykonane poprawnie o czym świadczą wykresy. Zaistniałe niepewności były spowodowane niedokładnością ludzkiego oka i przyrządów, które mieliśmy do dyspozycji. Otrzymane w sposób eksperymentalny wyniki posiadają stosunkowo dużą niepewność. Spowodowane jest to następującymi czynnikami:


Wyszukiwarka