Wydział WIiTCh |
Imię i nazwisko | Zespół | Data 07.01.2010 |
---|---|---|---|
Grupa | Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego | Nr ćwiczenia 3 |
Ocena i podpis |
1. Wprowadzenie do ćwiczenia
Bryłę sztywną obracalną wokół stałej osi obrotu i poddaną momentowi sił M1, proporcjonalnemu do kąta odchylenia bryły z położenia równowagi φ, można opisać wzorem:
M1 = −k1φ
$$I \bullet \ddot{\varphi} = - k_{1}\varphi$$
gdzie:
k1 – dodatnia stała; moment kierujący
I - moment bezwładności bryły względem osi obrotu
$\ddot{\varphi}$ – przyspieszenie kątowe
φ - kąt obrotu ciała wokół osi
φ(t) = Φsin(ωt + ε)
gdzie:
Φ - amplituda kątowa drgań,
T – okres drgań
$$\omega = \sqrt{\frac{k_{1}}{I}}$$
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{k_{1}}}$$
Stąd:
$$\varphi\left( t \right) = \Phi\sin\left( 2\pi\frac{t}{T} + \varepsilon \right)$$
Amplituda i okres są nie zmienne w czasie, przy czym okres nie zależy od amplitudy (izochronizm drgań).
Jeżeli oprócz momentu siły M1 działają na ciało momenty sił skierowane przeciwnie do prędkości ciała, wówczas amplituda maleje z biegiem czasu; obserwujemy drgania zwane tłumionymi, zanikającymi lub gasnącymi.
Prawo zanikania amplitudy zależy od rodzaju tłumienia.
Rozpatrzmy zatem dwa rodzaje tłumienia:
tłumienie drgań tarciem kulombowskim (suchym) – tłumienie momentem siły stałym co do wartości, a przeciwnie skierowanym do φ:
$M_{2} = {- M_{t}}_{\ }\frac{\dot{\varphi}}{\left| \dot{\varphi} \right|}$ , gdzie: $\dot{\varphi} \neq 0$
b) tłumienie wiskotyczne – tłumienie momentem siły proporcjonalnym do prędkości kątowej φ i przeciwnie do niej skierowanym:
$$M_{3} = - k_{2}\dot{\varphi}$$
Tłumienie tarciem kulombowskim
Równanie ruchu ciała ma postać:
$$\text{\ I}\ddot{\varphi} = - k_{1}\varphi + M_{2}$$
Rozwiązaniem tego równania są drgania tłumione o amplitudzie malejącej według postępu arytmetycznego o wielkości $\Delta\varphi = \frac{4M_{t}}{k_{1}}$ na jeden okres drgań tłumionych:
Tłumienie wiskotyczne
Występuje przy tłumieniu powolnych, mechanicznych drgań ciała zanurzonego w lepkiej cieczy lub przy tłumieniu drgań elektrycznych w obwodach elektrycznych. Równanie ruchu ma postać:
$$I\ddot{\varphi} = - k_{1}\varphi + M_{3}$$
Jego rozwiązaniem przy słabym tłumieniu (k22 < 4Ik1) jest funkcja:
φ(t) = −Φe−δtsin(ω1t+ε)
$$gdzie:\ \delta = \frac{k_{2}}{2I},\ \omega_{1} = \sqrt{\frac{k_{1}}{I} - \delta^{2}}$$
Funkcja przedstawiona powyższym równaniem nie jest funkcją periodyczną jak wynika z poniższego rysunku. Jej "okres", tj. czas, jaki upływa miedzy dwoma kolejnymi maksimami lub podwójny czas między dwoma kolejnymi przejściami przez punkt 0 wynosi:
$$T_{1} = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k_{1}}{I} - \frac{{k_{2}}^{2}}{4Ik_{1}}}} = T\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{k_{2}}^{2}}{4Ik_{1}}}}$$
Okres drgań tłumionych wiskotyczne więc jest dłuższy od okresu drgań nie gasnących. Maksima funkcji są przesunięte względem maksimów funkcji sinus kąta w lewo i wartości ich maleją z czasem. Ponieważ termin amplituda odnosi się do stałej wartości maksimów funkcji sinus, wyrażenie Fe−δt należało by nazwać amplitudę w cudzysłowie. "Amplituda" Fe−δt maleje z czasem według funkcji wykładniczej, logarytm "amplitudy" maleje liniowo z czasem.
Stosunek dwóch kolejnych wychyleń po tej samej stronie położenia równowagi wynosi:
φn = F0e−nδT
$$\frac{F_{n}}{F_{n + 1}} = \frac{e^{\frac{- k_{2}t}{2I}}}{e^{\frac{- k_{2}\left( t + T \right)}{2I}}} = e^{\frac{k_{2}t}{2I}}$$
Stosunek ten jest stały i nosi nazwę stosunku tłumienia. Logarytm naturalny tego stosunku:
$$\ln\frac{F_{n}}{F_{n + 1}} = \frac{k_{2}T_{1}}{2I} = D$$
nosi nazwę dekrementu logarytmicznego drgań tłumionych. Jest on również wartością charakterystyczną dla tych drgań.
2. Metoda pomiaru
Przyrząd składa się z kuli zawieszonej na stalowym drucie wlutowanym osiowo w walec, obracalny w łożysku za pośrednictwem pokrętła o niewielki kąt. Wiązka światła z rzutnika odbija się od zwierciadła przymocowanego do drutu i daje na skali plamkę świetlną. Podczas drgań obrotowych kuli plamka świetlna wykonuje drgania liniowe o odchyleniu x proporcjonalnym do kąta obrotu kuli φ, gdyż dla niewielkich kątów:
(gdzie l jest odległością skali od zwierciadełka); stąd:
x ≅ 2φl
Tłumienie proporcjonalne do prędkości ruchu realizujemy przez zanurzenie drgającej kuli w lepkiej cieczy, np. w wodzie; stąd nazwa tego rodzaju tłumienia: lepkościowe lub wiskotyczne. Tłumienie stałym momentem uzyskujemy, podstawiając pod kulę cienką blaszkę przesuwalną na statywie, której wysokość, a więc i nacisk na kulę można regulować za pomocą śruby. Tłumienie pochodzące od lepkości powietrza i tarcia wewnętrznego w materiale drutu jest tak małe, że można je wobec obu rozpatrywanych momentów hamujących pominąć. Kulę wprawiamy w drganie przez powolny obrót zawieszenia z położenia wyjściowego w skrajne, a następnie szybki powrót do położenia wyjściowego.
3. Wykonanie ćwiczenia
Zadanie 1: Badanie drgań obrotowych kuli nietłumionych (z pominięciem oporów powietrza i tłumienia w metalu drutu)
Obserwacja kolejnych amplitud xn po tej samej stronie położenia równowagi.
Pomiar okresu drgań przez kilkakrotny pomiar czasu przypadającego na 10 okresów.
lp. | 10T [s] | Xn [dz] | nT |
---|---|---|---|
1 | 85,80 | 142 | 0 |
2 | 86,00 | 141 | 1T |
3 | 86,00 | 140 | 2T |
4 | 86,20 | 139 | 3T |
5 | 86,40 | 139 | 4T |
$$\overset{\overline{}}{10T} = 86,08\lbrack s\rbrack$$ |
138 | 5T | |
$$\overset{\overline{}}{T} = 8,608\ \lbrack s\rbrack$$ |
139 | 6T | |
138 | 7T | ||
138 | 8T | ||
138 | 9T | ||
138 | 10T |
Wykres zależności amplitudy od czasu (wykres 1)
3) Obliczenie momentu kierującego:
m = 0, 750 [kg] R = 0, 0285 [m] R = 0, 00005[m] m = 0, 0005[kg]
Tsyst.=0,1 [s] – błąd systematyczny T
W tej części ćwiczenia mieliśmy za zadanie zmierzyć okres drgań wahadła fizycznego, oraz wychylenie. Wyznaczamy błąd 10$\overset{\overline{}}{T}$ wahadła:
10$\overset{\overline{}}{T}$=86,08 $\overset{\overline{}}{\mathbf{T}_{\mathbf{\ }}}\mathbf{= 8,608}\left\lbrack \mathbf{s} \right\rbrack$
$$S_{T} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( T_{i} - \overset{\overline{}}{T} \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}} = 0,10198039\ \left\lbrack s \right\rbrack$$
$$T_{c} = S_{\overset{\overline{}}{T}} + T_{\text{syst.}} = 0,1 + 0,10198039 \approx 0,2020\left\lbrack s \right\rbrack$$
T = (8, 6080 ± 0, 2020) [s]
$$I\ = \frac{2}{5}mR^{2} = \ 0,000243675 \approx \ 2,4368 \bullet 10^{- 4}\ \left\lbrack \text{kg} \bullet m^{2} \right\rbrack$$
$${k}_{1\ max} = k \bullet \left( \left| \frac{I}{I} \right| + \left| \frac{2T_{c}}{T_{c}} \right| \right) = 2,2238 \bullet 10^{- 5}\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$
$$k_{1} = 4 \bullet \left( 3,1416 \right)^{2}\ \bullet \frac{2,4368 \bullet 10^{- 4}}{{8,608}^{2}} = 1,29770 \bullet 10^{- 4}\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$
$$\mathbf{k}_{\mathbf{1}}\mathbf{\ }\mathbf{= \ }\left( \mathbf{\ 1,2977\ }\mathbf{}\mathbf{\ }\mathbf{0,2224\ } \right)\mathbf{\bullet 1}\mathbf{0}^{\mathbf{- 4}}\left\lbrack \frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}} \right\rbrack$$
Zadanie 2: Badanie drgań obrotowych kuli tłumionych tarciem kulombowskim
Obserwacja kolejnych amplitud xn po tej samej stronie położenia równowagi
nT | xn [dz] | 10T [s] |
---|---|---|
1T | 55 | 67,2 |
2T | 53 | 67,0 |
3T | 51 | 67,0 |
4T | 50 | 67,0 |
5T | 47 | 67,0 |
6T | 44 | 67,0 |
7T | 40 | 67,0 |
8T | 37 | 66,8 |
9T | 35 | 66,8 |
10T | 32 | 66,8 |
$$\overset{\overline{}}{x} = 44,4$$ |
$$\overset{\overline{}}{T} = 6,70$$ |
Wykres przedstawiający zależność „amplitudy” od czasu (wykres 2)
Obliczenie momentu siły tarcia
$$M_{t} = \frac{k_{1}\varphi}{4} \cong \frac{k_{1}x}{8l}$$
$$x = \overset{\overline{}}{\left( x - x_{n + 1} \right)} = 2,56\ \left\lbrack \text{dz} \right\rbrack$$
$$k_{1}\ = \ \left( 1,2977\ \ 0,2224 \right) \bullet 10^{- 4}\left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$
l = 0, 75 ± 0, 00005 [m] dx = 0, 5 [dz]
$$M_{t} = \frac{1,2977 \bullet 10^{- 4} \bullet 2,56}{8 \bullet 0,75} = 5,5369 \bullet 10^{- 5}\ \lbrack N \bullet m\rbrack$$
$$M_{t} = M_{t} \bullet \left( \left| \frac{dk_{1}}{k_{1}} \right| + \left| \frac{\text{dx}}{x} \right| + \left| \frac{\text{dl}}{8l} \right| \right) = 5,5369 \bullet 10^{- 5} \bullet \left( \frac{0,2224}{1,2977} + \frac{0,5}{2,56} + \frac{5 \bullet 10^{- 5}}{8 \bullet 0,75} \right) = 0,2031 \bullet 10^{- 5}\ \lbrack N \bullet m\rbrack$$
Mt = (5,5369±0,2031) • 10−5 [N•m]
Zadanie 3: Badanie drgań obrotowych kuli tłumionych wiskotycznie
Obserwacja kolejnych wychyleń xn po tej samej stronie położenia równowagi. Pomiar okresu drgań tłumionych wiskotycznie przez kilkakrotny pomiar czasu przypadającego na 10 okresów.
nT | xn [dz] | 10T1 [s] |
---|---|---|
1T | 152 | 87,2 |
2T | 142 | 87,2 |
3T | 132 | 87,2 |
4T | 124 | 87,0 |
5T | 116 | 87,4 |
6T | 104 | |
7T | 98 | |
8T | 92 | |
9T | 86 | |
10T | 80 | |
11T | 74 | |
$$\overset{\overline{}}{{10T}_{1}} = 87,2$$ |
$\overset{\overline{}}{{10T}_{1}} = 87,2\ \lbrack s\rbrack$ $\overset{\overline{}}{T_{1}} = 8,72\ \lbrack s\rbrack$
S10T1 = 0, 141421 ≈ 0, 1415 ST1 = 0, 01415
T1 = ST1 + Tsyst. = 0, 11415 [s]
T1=(8, 72 ± 0, 1142)[s]
Wykres przedstawiający zależność „amplitudy” od czasu (wykres 3)
Obliczenie stosunku tłumienia oraz logarytmicznego dekrementu tłumienia
Stosunek tłumienia:
$$\overset{\overline{}}{\left( \frac{\varphi_{n}}{\varphi_{n + 1}} \right)} = 1,074734 \cong 1,0747$$
Logarytmiczny dekrement tłumienia:
$$D = \ln\frac{\varphi_{n}}{\varphi_{n + 1}} = \frac{k_{2}T_{1}}{2I}$$
D = ln(1, 0747)=0, 072041553 ≅ 0, 07204
D = 0, 9305
Obliczenie współczynnika k2:
$$k_{2} = \frac{2DI}{T_{1}} = 4,0263 \bullet 10^{- 6}\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$
$$k_{2} = 2I \bullet \left( \frac{D}{T_{1}} + \frac{DT_{1}}{{T_{1}}^{2}} \right) = 5,2060 \bullet 10^{- 5}\left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$
4. Wnioski
Wszystkie części ćwiczenia zostały wykonane poprawnie o czym świadczą wykresy. Zaistniałe niepewności były spowodowane niedokładnością ludzkiego oka i przyrządów, które mieliśmy do dyspozycji. Otrzymane w sposób eksperymentalny wyniki posiadają stosunkowo dużą niepewność. Spowodowane jest to następującymi czynnikami:
niepewności systematyczne wynikające z niezerowego tłumienia wewnątrz metalu drutu, na którym była zamocowana kula, nieidealności łożysk w pokrętle regulacyjnym, niedokładności przyrządów oraz pominięcia oporów powietrza
niepewności przypadkowe objawiające się różnym, indywidualnym czasem reakcji osoby mierzącej podczas wykonywania pomiarów oraz precyzji w odczytywaniu danych.