MECHANIKA PŁYNÓW wykład 5 5.10.2012r.

1. Równanie Hagena – Poisenille’a

Rozważanie fizyczne : p = p₁ − p₂, ρ = constans, μ = constans

R → D, Δp, v_y = v_z = 0; $\frac{\partial v_{x}}{\partial t} = 0$, X = Y = 0, z = -g

Rozważanie matematyczne: dp =  p₂ −  p₁

Rozważanie matematyczne: p =  p₂ −  p₁

• Linie prądu równoległe do osi przewodu

• Składowe prędkości odejmują się

• Ruch ciągły, ustalony (niezależny od czasu)

• Nie ma działania sił masowych w kierunkach x i y

Przyjęto warunek brzegowy:

R = R → v_x = 0 – siły adhezji powodują przyleganie ostatniej cząsteczki

Rozwiązując równanie dla przyjętych założeń i warunku brzegowego otrzymamy:

$$\mathbf{v}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{\mu L}}\left( \mathbf{R}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{r}^{\mathbf{2}} \right)$$

Parabolidalny rozkład prędkości poprzeczny tego przewodu

$$\mathbf{v}_{\mathbf{x}_{\mathbf{\max}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{4}\mathbf{\text{μL}}}\mathbf{R}^{\mathbf{2}}$$

Q = ∬_A v_xdA

Q = ∬_A v_xdA =  ∬₀^Rv_x2πrdr

$$\mathbf{Q =}\frac{\mathbf{\pi p}}{\mathbf{8}\mathbf{\text{μL}}}\mathbf{R}^{\mathbf{4}}$$

Wydatek jest proporcjonalny do ciśnień i odwracalny…

$$v_{sr} = \frac{Q}{A} = \frac{\pi p}{8\mu L}*\frac{R^{4}}{\pi R^{2}} = \frac{p}{8\mu L}*R^{2} = \ \frac{pD^{2}}{32\mu L} = \frac{pD^{2}}{32\varphi\nu L}$$

Prędkość vśr jest 2 razy mniejsza od vmax (dla danych warunków)

$$p = p_{1} - p_{2} = \frac{64}{\frac{v_{sr}D}{\nu}}*\frac{L}{D}*\ \frac{v_{sr}^{2}}{2}*\varphi$$

$$h_{l} = \ \frac{p}{\text{φg}} = \frac{64}{\frac{v_{sr}D}{\nu}}\ *\ \frac{L}{D}*\ \frac{v_{sr}^{2}}{2g}\ $$

Przy obliczaniu strat ciśnienia na długości przewodu w praktyce stosuje się wzór Darcy’ego – Weisbacha:

$$h_{l} = \ \lambda*\frac{L}{D}*\frac{v_{sr}^{2}}{2g}$$

Gdzie:

λ – współczynnik oporów liniowych; w rozważanych warunkach wynosi: $\mathbf{\lambda =}\frac{\mathbf{64}}{\mathbf{\text{Re}}}$ . Jest to wzór Hogen’a – Poisenille’a.

1. Właściwości ruchu laminarnego:

• Wszelkie cechy tłumią zawirowywanie

• Przy małych prędkościach, siły tarcia tłumią tendencje do zawirowywania przepływu związane z pulsacjami. Przepływ jest uwarstwiony, w którym nie występuje ruch płynu między warstwami w ujęciu makroskopowym (nie ma przeskoków) dla ruchu laminarnego

• W przewodzie kołowym można wyróżnić paraboidalny rozkład prędkości $\left( \lambda = \frac{64}{\text{Re}} \right)\ $, prędkość v_śr = ½ v_xmax.

$$Re = \ \frac{v_{sr}D}{\nu}\ \leq 2320$$

$$Re = \ \frac{\text{vl}}{\nu}\ \leq 5$$

l – średnica ziaren

Definiując wnioski ważne jest określenia środka, np. przewód kołowy, prostokątny itp.

Przykłady ruchu laminarnego:

• W wentylacji grawitacyjne

• W instalacji centralnego ogrzewania

• W ośrodkach porowatych, np. grunt

• Przy przepływie krwi u człowieka, zwierząt

• Soki w roślinach

• W warstwie przyściennej

Zwiększeniu liczby Reynoldsa sprzyja duża lepkość ν, małe prędkości i średnica!

1. Przepływy turbulentne i ich właściwości

• Większa prędkość

• Energia przenoszona do zjawisk charakterystycznych

• Zaburzenie przepływu

• Cząstki są w stanie pokonać opory tarcia

Przyrząd o dużej czułości mierniczej, np. laser Dopplerowski.

• Sytuacja przepływu laminarnego i turbulentnego

$$\overset{\overline{}}{\mathbf{v}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{t}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{t}_{\mathbf{1}}}\int_{\mathbf{t}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{t}_{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{vdt}}$$

$$\overset{\overline{}}{v^{'}} = \frac{1}{t_{2} - t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}{v^{'}\text{dt}} = 0$$

Pole nad wykresem (-), pole nad wykresem (+), zatem suma pól = 0.

$$\overset{\overline{}}{v^{'2}} = \ \frac{1}{t_{2} - t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}{v^{'2}\text{dt}} \neq 0$$

Pole nad wykresem (+), pole pod wykresem (-), ale przy kwadracie pola się sumują i dają wartość różną od 0.

Przepływ quazi ustalony – w rzeczywistości nieustalony, gdy operuje się uśrednioną prędkością, to jest ustalony.

• Nie ma powtarzalnych prędkości w czasie

• Przepływy powietrza atmosferycznego są turbulentne

Do opisu stosuje się:

• Hipoteza Boussinesq’a:

W trakcie ruchu występują dwa naprężenia:

• Lepkie:

$$\tau_{l} = \ \mu\frac{\partial v}{\partial i}$$

i = x,  y₀

• Turbulentne:

$$\tau_{T} = - q\overset{\overline{}}{v_{i}^{'}v_{j}^{'}}$$

Są właściwością ruchu, a nie cechą płynu.

• Hipoteza/teoria Prandtla:

• Rozkład prędkości przyściennej warstwy turbulentnej:

$$\overset{\overline{}}{v_{x}}(y)$$

• Jest wprost proporcjonalny do y. Skok tej pulsacji naniósł drogę mieszania i jest ona proporcjonalna do odległości od ściany L=Hy.

• Naprężenia styczne (opory tarcia) koncentrują się w przyściennej warstwie o grubości δ i są równe naprężeniom na ściance τ = τ₀ = constans

Stosując równanie ruchu (pędu i popędu siły) wyznaczyć możemy następujący związek:

$$\mathbf{v}_{\mathbf{*}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{\tau}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{\rho}}}\mathbf{= Hy}\frac{\mathbf{d}\overset{\overline{}}{\mathbf{v}_{\mathbf{x}}}}{\mathbf{\text{dy}}}$$

Wymiar prędkości w m/s.

v_* - prędkość dynamiczna

Dla ρ= constans oraz v_*=constans

$$\int_{}^{}\frac{d\overset{\overline{}}{v_{x}}}{v_{x}} = \ \int_{}^{}\frac{1}{H} = \ \frac{\text{dy}}{y}$$

$$\frac{\overset{\overline{}}{v_{x}}}{v_{x}} = \frac{1}{H}lny + C$$

Bez modułu, bo interesuje nas wartość tylko y>0.

• Rozkład prędkości wartości przyściennej turbulentnej zgodnie z teorią Prandtla jest rozkładem logarytmicznym.

• Stałą całkową C wyznacza się z warunku brzegowego w zależności od rodzaju brzegowego ścianki, np.:

• Gładka (hydraulicznie gładka)

• Chropowata o chropowatości k – chropowatość bezwzględna ścianki.

Znając rozkład prędkości w warstwie turbulentnej oraz liniowy rozkład w warstwie laminarnej można następnie wyznaczyć średnią prędkość przepływu i powiązać ją ze współczynnikiem oporów liniowych λ.

• Otrzymuje się dla powierzchni hydraulicznie gładkiej: (wzór Prandtla – Karmana)

$$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = \ - 2lg\frac{2,51}{\text{Re}\sqrt{\lambda}}$$

• Otrzymuje się dla powierzchni gładkiej: (wzór Prandtla – Nikunadsego)

$$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = \ - 2\lg\frac{\varepsilon}{3,71}$$

$$\varepsilon = \frac{k}{D}$$

Wzór na rozkład prędkości w przewodzie:

$$\overset{\overline{}}{v_{x}} = {\overset{\overline{}}{v}}_{\max}\left( 1 - \frac{r}{R} \right)^{\frac{1}{n}}$$

n – zależy od rodzaju powierzchni ścianki oraz od Re

$$\frac{1}{n} = \frac{1}{7}$$

$$v_{*} = \ v_{sr}\sqrt{\frac{\lambda}{8}}$$

$$\frac{\overset{\overline{}}{v_{x}}}{v_{x}} = \frac{1}{H}lny + C$$

• Hipoteza Kolmogorow’a

• Przepływ w kanałach rzek

• Ruch turbulentny jest ruchem wirowym. Wiry tworzą kaskady wirów. Wiry największe o wymiarze głębokości kanału/koryta rozpadają się na inny średniej wielkości, a te z kolei na wiry najmniejsze o wymiarze 1mm.

Wiry największe oraz średnie przekazują energię ruchu turbulentnego bez strat. W wirach najmniejszych w skutek dużych naprężeń stycznych wiry rozpadają się, rozpraszając (dyssypując) energię tego ruchu.

$$\sqrt{\frac{1}{3}*\frac{v_{x}^{'2} + v_{y}^{'2} + v_{z}^{'2}}{\overset{\overline{}}{v_{x}^{2}}}}$$

• Analiza statystyczna przepływu turbulentnego (bazuje na pomiarach prędkości pulsacyjnych)

• Stopień turbulencji (wielkość bezwymiarowa)

$$\sqrt{\frac{1}{3}*\frac{v_{x}^{'2} + v_{y}^{'2} + v_{z}^{'2}}{\overset{\overline{}}{v_{x}^{2}}}}$$

• Turbulencja izotropowa:

$$\overset{\overline{}}{v_{x}^{'2}} = \overset{\overline{}}{v_{y}^{'2}} = \ \overset{\overline{}}{v_{z}^{'2}}$$

• Do analizy szeroko wykorzystuje się korelacje między prędkościami pulsacyjnymi w danym punkcie funkcji czasu i dwóch punktach na danym kierunku.

i,  j = x,  y,  z

v_i^′,  v_j^′

• Hydrauliczne obliczanie przewodów pracujących pod ciśnieniem

• Stały przepływ

• Ruch ciągły i ustalony

• Wydatek stały (φ = constans, μ = constans, Q = constans)

• Przepływ jednowymiarowy – poszczególne strugi płyną równolegle do osi przewodu

• Równanie ciągłości

• Równanie Bernoullego dla cieczy rzeczywistej

• Równanie ciągłości

• Równanie Bernoullego

$$z_{1} + \ \frac{p_{1}}{\text{φg}} + \ \frac{\alpha_{1}v_{sr}^{2}}{2g} = \ z_{2} + \ \frac{p_{2}}{\text{φg}} + \ \frac{\alpha_{2}v_{sr}^{2}}{2g} + h_{s}$$

p₁ =  p₀ +  p_n1 (analogicznie dla p₂) – wtedy p₀ się skraca po obu stronach równania.

hs – wysokość strat między przekrojem I a II

• Linia energii ciągle obniżająca się – na rysunku (od niej zawsze zaczynamy wszelkie analizy)

$$Q = v_{sr1} + \frac{\pi D_{1}^{2}}{4} = v_{sr2} + \frac{\pi D_{2}^{2}}{4}$$

Równanie Bernoullego - ciąg dalszy:

$$z_{1} + \frac{p_{n1}}{\text{φg}} + \frac{\alpha_{1}v_{sr1}^{2}}{2g} = z_{2} + \frac{p_{n2}}{\text{φg}} + \frac{\alpha_{2}v_{sr2}^{2}}{2g} + h_{s}$$

h_l – wysokość strat na długości przewodu

h_m – wysokość oporów miejscowych na armaturze

h_s = h_l + h_m

W zapisie tym wyrażenie $\frac{v_{sr}^{2}}{2g}$ nie prezentuje rzeczywistej energii kinetycznej.

$$\frac{\alpha_{\ }v_{sr}^{2}}{2g}$$

α – współczynnik Coriollisa

$$\alpha = \frac{E_{k}(rz)}{E_{k}(v_{sr)}}$$

$$E_{k}\left( \text{rz} \right) = \iint_{m}^{\ }{\text{dm}\frac{v^{2}}{2}} = \iint_{A}^{\ }{dAvdt*\varphi\frac{v^{2}}{2}} = \frac{\text{φdt}}{2}v_{sr}^{3}\iint_{A}^{\ }\text{dA} = \frac{\mathbf{\text{φdt}}}{\mathbf{2}}\mathbf{v}_{\mathbf{sr}}^{\mathbf{3}}\mathbf{*A}\ $$

$$\alpha = \frac{E_{k}(rz)}{E_{k}(v_{sr)}} = \ \frac{\iint_{A}^{\ }{v^{3}\text{dA}}}{v_{sr}^{3}A}$$

dAvdt – objętość, jaka przepłynęła w czasie = dV

Ile razy energia rzeczywista jest większa od energii zależnej od vśr?

W przewodzie laminarnym α=2

W przewodzie turbulentnym α należy (1,7;1,9)

W kanałach rzek α należy (1;1,2)

W rozważaniach inżynierskich α=1

W przewodach turbulentnych prędkość przepływu jest bardzo mała, również energia, więc jest często pomijana.

PYTANIA:

1. Cechy ruchu laminarnego

2. Cechy ruchu turbulentnego (rysunek pulsacji, przykłady)

3. Teoria Prandtla

4. Hipoteza Bussina (naprężenia)

5. Omówić współczynnik Coriollisa (sens fizyczny, wyprowadzić wzór)