Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

Wydział Nauk Technicznych

Mechatronika

Laboratorium Automatyki

Wykonał:

………………………………………

……………….………….…………

Grupa …. ; 2012/2013

1. Wprowadź macierze opisujące w przestrzeni stanu układ dynamiczny SISO drugiego rzędu. Za pomocą funkcji dokonujących konwersji postaci modelu znajdź transmitancję operatorową układu. Przedstaw transmitancję w alternatywnych postaciach: iloczynowej (zer-biegunów), sumy ułamków prostych.

Warunki początkowe zerowe.

L$\{ a_{3}\frac{d^{3}y}{dt^{3}} + a_{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + a_{1}\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + a_{0}y\left( t \right)\} = L\{ b_{0}u\left( t \right)\}$

a₃ = 2 a₂ = 1, 5  a₁ = 0, 5  a₀ = 1  b₀ = 2

a₃s³Y(s) + a₂s²Y(s) + a₁sY(s) + a₀Y(s) = b₀U₀

Y(s)[a₃s³+a₂s²+a₁s+a₀] = b₀U(s)

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \ \frac{b_{0}}{a_{3}s^{3} + a_{2}s^{2} + a_{1}s + a_{0}}$$

L = [b₀]       M = [a₃a₂a₁a₀]

Kod programu:

clc; clear;

L=[2] %b0=2

M=[2 1.5 0.5 1] %a3=2, a2=1,5, a1=0,5,a0=1

[R,P,K]=residue(L,M) %transformacja do postaci ulamkow prostych

[Z,P1,K1]=tf2zp(L,M) %postac zero-biegunowa

Wyniki:

L = 2

M = 2.0000 1.5000 0.5000 1.0000

R = 0.5714

-0.2857 - 0.4618i

-0.2857 + 0.4618i

P = -1.0000

0.1250 + 0.6960i

0.1250 - 0.6960i

K =[]

Z =Emptymatrix: 0-by-1

P1 = -1.0000

0.1250 + 0.6960i

0.1250 - 0.6960i

K1 = 1

$$G\left( s \right) = \frac{0,5714}{s + 1} + \frac{- 0,2857 - 0,4618i}{s - 0,125 - 0,696i} + \frac{- 0,2857 + 0,4618i}{s - 0,125 + 0,696i}$$

2. Odwrotna transformata Laplace’a:

G(s)=$\frac{2}{2s^{3} + 1,5s^{2} + 0.5s + 1}$

Pierwiastek mianownika szukamy przez sprawdzanie czy któryś z dzielników liczby 1 nie jest pierwiastkiem. Okazuje się, że s=1 jest pierwiastkiem. Stąd:

(2s³+1,5s²+0.5s+1) : (s+1) = 2s² − 0.5s + 1

Rozkład na sumę ułamków prostych ma postać:

$$\frac{2}{2s^{3} + 1,5s^{2} + 0,5s + 1} = \frac{A}{s + 1} + \frac{Bs + C}{2s^{2} - 0,5 + 1}$$

Tożsamość mnożymy obustronnie przez mianownik pierwszego równania i porządkujemy wyrazy:

2=A(2s²-0,5s+1)+(Bs+C)(s+1)

2=2As²-0,5As+Bs²+Bs+Cs+c

2=2As²+Bs²-0,5As+Bs+Cs+A+C

2=s²(2A+B)+s(-0,5A+B+C)+1(A+C)

Jest to równoważne następującemu układowi równań:

$$\left\{ \begin{matrix} 2A + B = 0 \\ - 0,5A + B + C = 0 \\ A + C = 2 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} B = - 2A \\ - 0,5A - 2A + 2 - A = 0 \\ C = 2 - A \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} A = \frac{4}{7} \\ B = - \frac{8}{7} \\ C = \frac{10}{7} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Suma ułamków prostych:

$$\frac{4}{7}*\frac{1}{s + 1} + \frac{- \frac{8}{7}s + \frac{10}{7}}{s^{2} - 0,5s + 1} = \frac{4}{7}*\frac{1}{s + 1} + \frac{4}{7}*\frac{2,5 - 2s}{s^{2} - 0,5s + 1}$$

Transformata odwrotna pierwszego ułamku możemy zapisać od razu:

$$L^{- 1}\left\{ \frac{1}{s + 1} \right\} = \frac{4}{7}*e^{- t}*u(t)$$

Przez u oznaczyliśmy funkcję skoku jednostkowego. Ostatni ułamek, jako ułamek prosty, nie jest najbardziej praktycznym wyborem. W tym celu doprowadzimy go do następującej postaci:

$$\frac{2,5 - 2s}{s^{2} - 0,5s + 1} = \frac{2,5 - 2s}{{(s - \frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{\sqrt{15}}{4})}^{2}} = a*\frac{s - \frac{1}{4}}{{(s - \frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{\sqrt{15}}{4})}^{2}} + b*\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{{(s - \frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{\sqrt{15}}{4})}^{2}}$$

Obliczamy a oraz b:

$$a*\left( s - \frac{1}{4} \right) + b*\frac{\sqrt{15}}{4} = 2,5 - 2s$$

$$a*s - \frac{1}{4}a + b*\frac{\sqrt{15}}{4} = 2,5 - 2s$$

$$\left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ - \frac{1}{4}*a + b*\frac{\sqrt{15}}{4} = 2,5 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} a = - 2 \\ \frac{1}{2} + b*\frac{\sqrt{15}}{4} = 2,5 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 2*\frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{8}{\sqrt{15}} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Taka postać ułamków pozwoli od razu zapisać transformatę odwrotną jako funkcje sinus i kosinus przesunięte w dziedzinie . Prosty rachunek daje odpowiedź w postaci:

$$J\left( s \right) = \frac{2,5 - 2s}{s^{2} - 0,5s + 1} = - 2*\frac{s - \frac{1}{4}}{{(s - \frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{\sqrt{15}}{4})}^{2}} + \frac{8}{\sqrt{15}}*\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{{(s - \frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{\sqrt{15}}{4})}^{2}}$$

Stąd zaś:

$$L^{- 1}\left\{ J(s) \right\} = - 2*e^{\frac{t}{4}}\cos\frac{\sqrt{15}t}{4}*u\left( t \right) + \frac{8}{\sqrt{15}}*e^{\frac{t}{4}}\sin\frac{\sqrt{15}t}{4}*u\left( t \right)$$

3. Co to jest „residue” i „tf2zp”?

residue — rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste i odwrotnie;

[r,p,k] = residue(a,b) –rozkłada funkcję na ułamki proste,

tj. $\frac{a(x)}{b(x)} = \frac{r_{1}}{x - p_{1}} + \frac{r_{2}}{x - p_{2}} + \ldots + \frac{r_{n}}{x - p_{n}} + k_{s}$

[a,b]=residue(r,p,k)- wykonuje operację odwrotną do poprzedniej,

tf2zp – funkcja przekształcająca postać transmitancji operatorowej na postać zero-biegunową,

[z,p,k] = tf2zp(b,a)

tj. $\text{\ H}\left( s \right) = \frac{Z(s)}{P(s)} = k*\frac{\left( s - z_{1} \right)\left( s - z_{2} \right)\ldots(s - z_{m)}}{\left( s - p_{1} \right)\left( s - p_{2} \right)\ldots(s - p_{n})}$

r-rezydua; p-biegun; k-wzmocnienie; z-miejsce zerowe;