GEOMETRIA ELIPSOIDY I WSPÓŁRZĘDNE ELIPSOIDALNE

Koło wielkie –ślad przecięcia płaszczyzny sfery płaszczyzną przechodzącą przez jej środek. Trójkąt sferyczny – powstaje z przecięcia trzech kół wielkich. Trójkąt biegunowy – wierzchołki trójkąta sferycznego są biegunami boków trójkąta biegunowego i odwrotnie. Wzór cosinusowy: cosa=cosb*cosc+sinb*sinc*cosA

Wzór cosinusowo-sinusowy: sina*cosB=cosb*sinc-sinb*cosc*cosA

Elipsoida obrotowa definiowana jest parametry określające jej kształt i wielkość: duża półoś a i mała półoś b, spłaszczenie α oraz mimośród e2. Zależności między parametrami: f=(a-b)/a, e2=(a2-b2)/a2, e2= f(2-f), e’2=e2/(1-e2).

Współrzędne elipsoidalne: L-długość geodezyjna-kąt dwuścienny między płaszczyzną południka 0˚a południkiem przechodzącym przez dany punkt. B-szerokość geodezyjna–kąt między normalną do elipsoidy w punkcie P a płaszczyzną równika. Równanie południka w prostokątnym układzie wsp UZ na którym leży punkt P U²/a² + Z²/b² =1. Styczna do powierzchni elipsoidy w punkcie P tworzy z dodatnim kierunkiem osi U kąt 90+B. Przeliczanie współrzędnych: X = U cosL Y = U sinL, Z= a(1-e²)sinB/ pierw (1-e²sin²B)

Szerokość zredukowana ψ – kąt między promieniem kuli przechodzącym przez punkt P1 (będący rzutem na sferę o promieniu a punktu P), a płaszczyzną równika. Zzred.=b sin(psi). Zaleznosc miedzy szerokością zredukowaną a geodezyjną tg ψ= pierw(1-e²) * tg B Rzut punktu P na sfere o promienu a lub b będzie miał wsp geograficzna ψ L. maksymalna roznica miedzy szerokością geo a zred wynosi 5,5’ dla B=45.

Szerokość geocentryczna ρ– kąt między prostą przechodzącą przez punkt P i środek elipsoidy a płaszczyzną równika. zal miedzy geod a geoc tg ρ = (1-e2) tgB maksymalna roznica miedzy szer geod a geoc wynosi 11,5’ dla B=45

Przekroje normalne – są to przekroje płaszczyzną zawierającą sobie normalną do powierzchni w danym punkcie. Wyróżnia się 2 przekroje główne: przekrój południkowy elipsoidy obrotowej płaszczyzną południka o minimalnym promieniu krzywizny M oraz przekrój poprzeczny płaszczyzną prostopadłą do południka o maksymalnym promieniu krzywizny N. Krzywizna przekroju południkowego: M= a(1-e²)/ pierw (1-e²sin²B) Krzywizna przekroju poprzecznego: N= a/ pierw (1-e²sin²B) Promień krzywizny dowolnego przekroju normalnego:1/RA = sin²A / N + cos²A/ M Wzajemne przekroje normalne: jeżeli w punkcie P1 poprowadzimy przekrój normalny przechodzący przez punkt P2, a przez P2 przekrój normalny przechodzący przez P1 to przekroje te będą wzajemnie normalne, których wzajemne położenie określają kąty ω1 i ω2 oraz ich maksymalna odległość na powierzchni elipsoidy.

Linia geodezyjna – jest to krzywa, charakteryzująca się tym, że i normalna główna w każdym jej punkcie jest jednocześnie normalną do danej powierzchni. Płaszczyzna ściśle styczna w każdym punkcie linii geodezyjnej zawiera normalną do powierzchni w tym punkcie.

Twierdzenie Clairauta: Iloczyn promienia równoleżnika i sinusa azymutu linii geodezyjnej w każdym jej punkcie jest wielkością stałą;

r1 sinA1 = r2 sin A2 = const

Długość łuku południka:

Do 60km: S = Ms(B1-B2), Ms = M(Bśr)

60-750km: S = (M1+4Ms+M2) / 6 * (B2-B1)

Pow. 750km: S = całka(od B1 do B2) MdB

METODA CLARKE’A stosuje się w sieciach triangulacyjnych o dł boków do 30km. Prowadzimy lnie prostopadła do południka P1 przechodząca przez P2 uzyskując punkt pomocniczy C. trójkąt P1P2C rozwiązujemy na kuli o promieniu równym średniemu promieniowi krzywizny w P1

Nadmiar sferyczny E”= S12²*sin A12 *cosA12 / 2MN * ro Dla punktu P1 z tw sinusów dla trójkąta płaskiego obliczymy u i v

U= s12*sin(A12 -2/3E) V= s12*sin(A12-1/3E)

Dla punktu c w połowie odcinka u obieramy punkt s u=Ms(Bc-B1)

Po przekształceniu Bc=Ba + u/Ms * ro

Promien przekroju południkowego Ms w punkcie s Bs=B1+ 0,5u/M1 * ro

Przez punkty na rownolezniku punktu P2 prowadzimy normalne n2. Punkty C P2 Bn rzutujemy na kule o promienu Nz której srodek jest w O2. C= v/Nc

Bc=B2+d^rad d^rad= c²/2 * tgBc d^rad= v²/2Nc² * tgBc

Bc-B2= d^radNc/ Mc B2= Bc- v²tgBc *ro/ 2McNc

WZÓR NA AZYMUT ODWROTNY I DŁ L2

A21= 270 +γ-(90+E-A12) L2=L1+ΔL

Obliczamy nadmiar sferyczny z tw sinusów dla trójkąta biegunowego

W= Bc-B2

Obliczamy ΔL z tw sinusów dla trójkąta płaskiego

ΔL= c/ cos(B2 + 1/3w)

ΔL”= v/ Nc cos(B2+1/3w) * ro

Obliczamy z tw sinusów dla trójkąta płaskiego γ= ΔL sin(Bc-1/3w)

Bc=w+B2 γ”= ΔL”sin(B2+2/3w)

METODA ŚREDNIEJ SZEROKOŚCI GAUSSA WPROST

W połowie linii geo wprowadzamy punkt pomocniczy Pm-lezy dokładnie na srodku linii.przyjmujemy $B = \frac{B1 + B2}{2}$ oraz $A = \frac{A1 + A2}{2}$

Obliczamy przyrosty ΔB=B2-B1; ΔA=A2-A1

Pierwsze równanie rozwiązujemy rozwijając w szereg Taylora

B2-Bm= ∆B/∆s * s/2 +∆²B/∆s² * s²/8 + ∆³B/∆s³ * s³/48

Tak samo B1-Bm

Sumując równania B1+B2-2Bm/ 2 = B-Bm

Ostatecznie otrzymamy ∆B= B2-B1= scosA (1) {a+ c(3) +d(4)}

∆L= s sinA/cosB (2) {1+ s/24 – d(5)} ∆A= ∆LsinB {1+ c(6) + d(7)}

METODA ŚREDNIEJ SZEROKOŚCI GAUSSA ODWROTNE

Obliczamy średnie wartości szerokości i długości geo

B=B2-B1/2 L=L2-L1/2 ΔL=L2-L1; ΔB=B2-B1;

Wyprowadzamy wartości pomocne p i q

P= ∆B/ (1){1+C(3)+D(4)} q= ∆L cosB/ (2){1+s/24 – D(5)}

Obliczamy długość linii geo

S12= pier p²+q²

Obliczamy azymuty linii geo

Asr= arctg q/p ΔA=∆L”*sinB*{1+C(6)+d(7)};

A12= A- ∆A/2; A21=Asr+∆A/2±180°; M1; MS; M2;

formy

η=(e' )2 cos² B; v2 = 1+η (1) = ρ" /M;

(2)=ρ" /N; (3) = (3* tg2B + 2η2 + 2)/24;

(4) =η2* (tg2 B -4η2 tg2 B - η2 - 1)/8v4

(5) = (1 + η2 - 9η2 tg2 B)/24v2

(6) = v2/12; (7) = (3 +8 η2 + η4)/24v4

C = [(ΔL" cosB)/ρ"]2 ; S = [(ΔL" sinB)/ρ"]2 D = (ΔB"/ρ")2

METODA ADDITAMENTÓW dane ABCa, szukane bc, sinb/R= sina/R * sinB/sinA wyprowadzamy szareg (b/R – b³/6R³)= (a/R – a³/6R³)* sinB/sina b’=a’sinB/sinA

a’=a - a³/6R² b=b’ – b³/6R² I analogicznie c’=a’sinC/sinA c=c’ – c³/6R²

1) a’=a-a³/6R² 2) b’=a’sinB/sinA 3) b=b’ +b³/6R²=b’+(b’)³/6R² 4) c’=a’sinC/sinA 5) c=c’+(c’)³/6R²

METODA LEGENDRE’A trójkąt płaski w którym boki sa takie same jak w trójkącie sferycznym a kąty sa różne. Chcemy znaleźć relacje pomiędzy ABC i A’B’C’ a następnie rozwiązać trójkąt płaski. Dane ABCa, szukane bc 1) E=absinC’/ 2R² *ro

E=a²sinB’sinC’/ 2R²sinA *ro mozemy przyjąc za A’=A B’=B C’=C

E=a²sinBsinC/ 2R²sinA 2) A’=A-E/3 B’=B-E/3 C’=C-E/3 3) b= asinB’/sinA’ c=asinC’/sinA’

ODWZOROWANIE GAUSSA-KRUGERA jest odwz. równokątnym powierzchni elipsoidy obrotowej na pł. Odwzorowanie to jest odwzor. walcowym poprzecznym równokąt. pow. elips. obrotowej. Charakteryzuje się występow. niewielkich zniekształceń w wybranym, wąskim pasie południkowym. Powierzchnie elipsoidy obrotowej należy podzielić na wąskie pasy południkowe i każdy z nich odwzorować oddzielnie na płaszczyznę. Szerokość pasa południkowego (dL) zależy od przyjętych dopuszczalnych zniekształceń długości lub zniekształceń pól. Odwzorowanie Gaussa- Krugera spełnia następujące 3 warunki: jest odwzorowaniem równokątnym, obrazem południka środkowego danego pasa jest odcinek linii prostej, a obrazami pozostałych południków są linie krzywe symetrycznie rozłożone względem obrazu południka środkowego, południk środkowy pasa odwzorowuje się bez zniekształceń (m0= 1).

GEODEZJA FIZYCZNA rozpatruje metody wyznaczenia kształtu ziemi jako fiz i geom ciała na podst pomiarów geo astro i grawi. Zew pole grawitacyjne ziemi na punkt p o masie jednostkowej znajdujący się w zw polu graw działa siła przyciągania ziemi oraz siła odśrodkowa prostopadła do osi obrotu. Wypadkową sił nazywamy siłę ciężkości. Przyspieszenie siły ciężkości w danym punkcie wynosi g=F+Q. przyjmując ze ziemia jest kulą o promieniu R i masie M oraz ze punkt P znajduje się r>R to wartość siły przyciągania Fg= GM/r². GM jest iloczynem stałej grawitacyjnej i masy całkowitej kuli. Przyspieszenie siły odśrodkowej Q= ρw² przyspieszenie sily ciezkosci g= F²+Q²-2FQ*cosϕ.

POTENCJAŁ POLA SIŁY CIĘŻKOŚCI- pole grawitacyjne ziemi opisuje funkcję skalarną zwaną potencjałem siły ciężkości lub potencjałem graw. Której pochodne cząstkowe są równe trzem składowym siły ciężkości g. potencjał graw można podzielić na składowe siły przyciągania F=gradV V=V(r)=Gm/r i siły odśrodkowej Q=gradV’ V’=v’(q) = w²/2 * q²= w²(x²+y²)/ 2. Potencjał można zapsac w=v+v’. Równanie Laplace’a Pierwsze pochodne potencjału grawitacyjnego są równe składowym wektora przyspieszenia. Różniczkując te składowe otrzymuje się pochodne potencjału. ɕ²w/ ɕx² + ɕ²w/ ɕy² + ɕ²w/ ɕz² =2w². Równanie ma sens jeśli punkty znajdują się w zew polu graw. Dla punktów wew ziemi ɕ²w/ ɕx² + ɕ²w/ ɕy² + ɕ²w/ ɕz² = -4IIGσ +2w²

ELEMENTY GEOMETRII POLA pole siły ciężkości może być geom. przedstawione w postaci rodziny pow stałego potencjału równaniem W(x,y,z)=const. Oraz rodziną linii pola- linii pionu. Linie pionu których kierunek zadany jest przez kierunek wektora przysp siły ciężkości są ortogonalne do pow ewi. Są to krzywe przestrzenne do których wektor g jest styczny. Kierunek wektora przysp siły ciezkosci g jest łatwo wyznaczalny na pow ziemi jako prostopadły do pow stycznej do spoziomowanej libelli. Jeśli ds. pokrywa się z kierunkiem linii pionu do dw=-gdu. Jest to podstawowe równanie teorii wys. Definiuje zależność zmianę wielkości i zmianę potencjału siły ciężkości. W wyniku zmiany poł punktu na pow ekwi której towarzyszy zmiana przysp siły ciężkości następuje zmiana odstępu od sąsiedniej pow ekwi przy zachowaniu stałej różnicy dW. Powierzchnie ekwi ziemskiego psc nie są wzajemnie równoległe. Przez każdy punkt w przestrzeni przechodzi jedna pow ekwi.

MODEL POLA SIŁY CIĘŻKOŚCI – pow. ekwipotencjalne również geoida, pomimo kształtu zbliżonego do elipsoid obrotowych nie dają się przedstawić w postaci wzorów matematycznych. Model pola siły ciężkości Ziemi zadany jest przez geocentryczną elipsoidę obrotową o parametrach a – duża półoś elipsy, f – spłaszczenie elipsoidy. Z uwagi na to, że pole siły ciężkości jest sumą efektów grawitacji i obrotu Ziemi, do geom parametrów modelu tego pola należy dodać jeszcze 2 parametry fizyczne: M – cała masa Ziemi, w – prędkość kątowa obrotu Ziemi. Parametry a,f są zdefiniowane jako geodezyjny model odniesienia GRS 1980. Powierzchnia tak zdefiniowanej elipsoidy – elipsoida normalna – jest pow. ekwipotencjalną pola siły ciężkości generowanego przez tą obracającą się z prędkością kątową w elipsę o jednakowej maise M. Zdefiniowane jest również zew. Pole siły ciężkości zwane polem siły ciężkości o potencjale U. Powierzchnie ekwi normalnego pola siły ciężkości ziemi nazywają się pow. Sferopotencjalnymi (są obrotowe). Normalne pole graw ziemi może być przedstawione geometrycznie w postaci rodziny pow stałego potencjału U(x,y,z)= const oraz przez rodzinę linii pola(linie normalnego pionu). Linie normalnego piony których kierunek zadany jesy przez kierunek wektora nomrlanego przysp siły ciezkosci γ są ortogonalne do pow sfero. W odróżnieniu do rzeczywistych linii pionu linie normalnego pionu sa krzywymi płaskimi do których wektor γ jest styczny. Normalne przyspieszenie siły ciężkości γ0 na powierzchni elipsoidy normalnej wyraza się ścisłym wzorem Somigliana

γ0= aγ_acos²B+ bγ_bsin²B / pierw ( a²cos²B + b²sin²B) a,b duza mała półoś,

γ_a- normalne przyspieszenie siły ciezkosci na rowniku γ_b na biegunie. Normalne przyspieszenie siły ciezkosci γ na wysokości elipsoidalnej h nad pow elipsoidy γn= γ0*(1- 2/a *(1+f+m-2fsin2B)*h. Potencjał normalny pola siły ciezkosci jak i wszystkie jego wielkości pochodne dają się dokładnie obliczyć w dowolnym punkcie przestrzeni na zew elipsoidy normalnej. Wielkości te stosunkowo niewiele różnią się od odpowiadających im wielkości odniesionych od rzeczywistego psc. Różnice te nazywamy anomaliami.

SYSTEMY WYSOKOŚCI- powierzchnie o stałym potencjale ciężkości są nazywane ekwipotencjalnymi, powierzchnia opisana wzorem W=W0 pokrywająca ise z idealnym poziomem mórz nazywana jest geoidą. Odległość sąsiednich pow ekwi wyrażoną przez różniczkę potencjału i przyspieszenia siły ciężkości przedstawia wzór dh= -dW/g. Przekształcając powyższe równanie otrzymamy podstawowe równanie niwelacji w postaci: dW=-gdh Całkując powyższe równanie w granicach od W0 do WP otrzymamy tzw. liczbę geopotencjalną wyrażającą różnicę potencjału na geoidzie W = W0 i potencjału powierzchni W = WP przechodzącej przez punk P: C= W0-Wp= ∫dW Liczba geopotencjalna wyraża pracę w polu potencjalnym niezależną od drogi. Sposób wyznaczenia przyspieszenia reprezentatywnego dla drogi P_O – P wzdłuż linii pionu określa tzw. system wysokościowy, czyli system geodezyjnych pomiarów wysokościowych. Jeżeli określimy przeciętną wartość rzeczywistego przyspieszenia wzdłuż linii pionu od geoidy do punktu P przez średnią wartość całki: g’= 1/H ∫ dW a wzór na wysokość ortometryczną będzie miał postać H^ort= C/g’ . Dzieląc C przez przyspieszenie normalne obliczone dla pewnego modelu rozkładu masy w globie ziemskim, na poziomie morza i dla szerokości geograficznej 45⁰, otrzymamy wysokość dynamiczną: H^dyn= C/ γ₀⁴⁵ Uwolnienie definicji wysokości od hipotez dotyczących rozkładu mas doprowadziły do systemu wysokości normalnych: Hⁿ=C/γ’ gdzie γ’ oznacza przeciętną wartość przyspieszenia normalnego wzdłuż linii pionu pola normalnego siły ciężkości.

REDUKCJE Przyspieszenie siły ciężkości g mierzone jest na powierzchni Ziemi. Aby wyznaczyć przebieg geoidy lub odchylenie linii pionu wymagane jest: znajomość g na geoidzie, usunięcie mas z ponad geoidy. Pomierzone g należy w tym celu zredukować z powierzchni Ziemi na geoidę (wzdłuż linii pionu). Redukcja grawimetryczna polega na: 1) usunięciu mas z ponad geoidy, 2) przeniesieniu (zredukowaniu) obserwacji g z powierzchni Ziemi na geoidę.

Masy wystające ponad geoidę najczęściej modelowane są walcem. Przyspieszenie siły ciężkości dg_w w punkcie P masą walca otrzymuje się jako gradient pionowy potencjału grawitacyjnego tego walca jako dg_w= - ɕU_w/ ɕc. wyróżnia się przypadki ( punkt nad walcem, na wierzchu walca lub wewnątrz walca).

REDUKCJA BOUGUER’A – wychodzi się z założenia braku mas topo nad geoidą. Przyjmuje się powierzchnia wokół stacji P (punkt na powierzchni Ziemi, w którym pomierzono g) jest płaszczyzną poziomą, masy topograficzne pomiędzy geoidą i powierzchnią Ziemi mają stałą gęstość q. Przyspieszenie grawitacyjne wynosi dg_B= 2IIG qH Przyjmując standardową średnią gęstość skorupy ziemskiej q = 2,67 gcm^-3 dla H wyrażonego w metrach otrzymuje się: dg_B=0,1119H przy czym dg w miligalach. Usunięcie płyty Bouguer’a jest jednoznaczne z odjęciem wywołanego nią przyspieszenia grawitacyjnego od pomierzonego przyspieszenia siły ciężkości.

REDUKCJA WOLNOPOWIETRZNA- Kolejną czynnością jest opuszczenie stacji P na geoidę. W tym celu stosuje się redukcję wolnopowietrzna (po usunięciu płyty Bouguer’a stacja P jest „zawieszona w powietrzu”) dg_F= - ɕg/ ɕh *H. W praktyce zamiast stosować gradient pionowy g, który jest wielością zamienną stosuje się gradient pionowy dg_F= - ɕγ/ ɕh *H po uwzględnieniu stałych a, f, m dla przeciętnej szerokości ϕ daje dla H wyrażonego w metrach: dg_F= 0,3086H. Przez redukcję Bouguer’a często rozumie się usunięcie płyty Bouguer’a wraz z redukcją wolnopowietrzna! W wyniku zastosowania redukcji Bouguer’a otrzymuje się przyspieszenie Bouguer’a g_B na geoidzie: g_B=g- dg_B+ dg_F więc g_B= g + 0,1967H. Anomalia grawimetryczna Bouguer’a zdefiniowana jest jako: Δg_B=g_B-γ_0, γ₀– przyspieszenie normalne na elipsoidzie.

REDUKCJA TERENOWA- płyta Bouguer’a stanowi uproszczone przedstawienie topografii terenu. Uwzględnienie właściwej topografii wiąże się z redukcją terenową. Masa Δm_t w miescu A nie została usunięta redukcją B: masa ta przyciąga punkt P do góry tym samym zmniejszając przyspieszenie g na płycie B w punkcie P. Usunięcie efektu masy Δm_t w miejscu A wiąże się ze zwiększeniem przyspieszenie g w punkcie P, tzn dodaniem poprawki. Tradycyjna metoda obliczania poprawki terenowej wykorzystuje modelowanie topografii terenu za pomocą segmentów walców koncentrycznych o środku w punkcie P. Przyjmijmy, że dg_T,k oznacza poprawkę terenową wywołaną topografią w sektorze k. Wówczas poprawka terenowa w punkcie P wynosi: dg_T= Σdg_T. Przyspieszenie Bouguera g_B na geoidzie z uwzględnieniem topografii terenu ma postac g_B= g- dg_B+dg_T+dg_F. Usunięcie mas sponad geoidy zmienia zewnętrzne pole siły ciężkości – w szczególności jego potencjał W_B=W-dW_B gdzie dWB jest potencjałem płyty Bouguer’a i topografii. Potencjał zakłócający T obliczony w oparciu o anomalie Bouguer’a obarczony jest błędem dWB. Undulacja geoidy N = T/γ, jest z kolei obarczona błędem dWB/γ. Duży błąd dWB pociąga za sobą duże zniekształcenie undulacji geoidy dWB/ γ, które może nawet przekraczać wielkość N. Anomalie Bouguer’a nie są stosowane do wyznaczenia geoidy! Są one wykorzystywane do geofizycznej interpretacji pola grawitacyjnego Ziemi.

REDUKCJA IZOSTATYCZNA- Załóżmy, że masy topo są w prosty sposób nałożone na zasadniczo jednorodną skorupę ziemską. Wówczas redukcja Bouguer’a usuwałaby głównie nieregularności pola grawitacyjnego w wyniku czego anomalie Bouguer’a byłyby bardzo małe i oscylowałyby wokół zera. Wyniki pomiarów wykazują, że założenie to odpowiada rzeczywistości: *w rejonach górskich występują bardzo duże anomalie Bouguer’a (ok.. 100 mgal na 1000 m przewyższenia), * obserwowane odchylenia pionu są znacznie mniejsze od obliczonych w oparciu o model przyciągania widocznych mas. Wniosek: masy topo są częściowo skompensowane. Koncepcja izostacji Na pewnej głębokości istnieje powierzchnia równego ciśnienia, na którą masy skorupy ziemskiej wywierają jednakowe ciśnienie. Skorupa ziemska o mniejszej gęstości unosi się na pow magmy „płaszcza” o większej gęstości pozostając w równowadze. Redukcja izostatyczna powoduje pionowe przesunięcie mas górskich do ich „korzeni”, co z kolei prowadzi do regularyzacji skorupy ziemskiej. W modelach izostatycznych skorupę ziemską przedstawia się w postaci pionowych boków. Oznaczając przez dgi redukcję izostatyczną, przyspieszenie izostatyczne gi na geoidzie ma postać: g_i= g + dg_i+dg_T+dg_F Anomalia izostatyczna zdefiniowana jest jako: Δg_i=g_i-γ₀.

REDUKCJA KONDENSACYJNA HELMERTA- redukcja Bouguer’a wynosi g_B= g- dg_B +dg_T +dg_F i usuwa masy topo co wyrażone jest wyrazem –dg_B+dg_T Redukcja kondensacyjna Helmerta dg_C przywraca usunięte masy w postaci kompensacyjnej warstwy na geoidzie dając: gH= g- dg_B+ dg_T+ dg_F+ dg_C Kondensacją Helmerta można interpretować jako przypadek redukcji izostatycznej przy głębokości kompensacji zdążającej do 0. Podobnie jak redukcję Bouguer’a uzyskuje się: dg_C= 2IIG qh= dg_B skompensowanie mas w ogromnym stopniu niweluje efekt usunięcia mas. g_F= g +dg_T+dg_F

ASTRONOMIA

W rozwiązaniu zadań geodezji istotną rolę spełnia wyznaczenie punktów na powierzchni Ziemi oraz azymutów boków triangulacyjnych metodą obserwacji gwiazd i Słońca. Astronomiczne metody wyznaczenia szerokości, długości i azymutów astronomicznych mają zastosowanie przy: 1) Określaniu wymiarów i kształtu Ziemi: (- wyznaczenie parametrów ziemskiej elipsoidy odniesienia,

-wyznaczenie geoidy za pomocą astronomiczno – geodezyjnych metod badań odchyleń pionu), 2) Określaniu współrzędnych punktu wyjściowego sieci geodezyjnej oraz wyznaczeniu jej orientacji, 3) Określaniu współrzędnych punktów na powierzchni Ziemi, stanowiących osnowę dla zdjęcia topograficznego. Podstawowym zadaniami astronomii geodezyjnej są:

-wyznaczenie wsp geograficznych punktów na powierzchni Ziemi(φ, λ)- wyznaczenie czasu oraz określenie azymutu kierunku do celu znajdującego się na powierzchni Ziemi. Przyjmujemy, że gwiazdy nie zmieniają swojej pozycji oraz leżą na sferze o promieniu nieskończenie wielkim, którą nazywamy sferą niebieską. W środku sfery niebieskiej znajduje się Ziemia. Ze względu na duże odległości dzielące obserwatora i gwiazdy, nie interesują nas odległości lecz kierunki do gwiazd. Położenie dowolnego punktu na sferze niebieskiej może być wyznaczone poprzez przecięcie się dwóch kół wielkich. Wskazane jest, aby te koła były wzajemnie prostopadłe. Jeżeli przez dany punkt poprowadzimy w ten sposób, w zależności od potrzeb, różne koła wielkie, to otrzymamy różne układy współrzędnych. Promień Ziemi jest zaniedbywanie mały w porównaniu z promieniem sfery niebieskiej. Obserwowane kierunki do gwiazd z dowolnego punktu na powierzchni Ziemi będą identyczne z kierunkami geocentrycznymi.

JEDNOSTKA ASTRONOMICZNA, jest to średnia odległość Słońca od naszej planety, wynosząca ok. 149,6 mln km, używana w astronomii, jako jedna z podstawowych jednostek mierzenia odległości. Oznacza się ją zwykle jako j.a. lub częściej z angielskiego AU. Jest związana ze średnim promieniem orbity ziemi. Rok świetlny, jest to odległość, którą pokonuje w ciągu roku światło poruszające się z prędkością ok. 300.000 km/s. Parsek, jest to jednostka długości równa odległości, z której widać odcinek równy promieniowi orbity Ziemi (1 AU) pod kątem 1”. Nazwa (par-sek) pochodzi z faktu, iż jest to odległość równa paralaksie 1”.

Układ horyzontalny- rzut izometryczny Układ horyzontalny realizowany jest przez dobrze spoziomowany teodolit. Przedłużając oś obrotu teodolitu, która jest ściśle styczna do linii pionu w punkcie obserwacji, to z przecięcia ze sferą niebieską otrzymamy dwa punkty: zenit – Z oraz nadir – Nd. Koło wielkie, utworzone w przecięciu się płaszczyzny horyzontu ze sferą niebieską nazywamy horyzontem obserwatora. W wyniku przecięcia osi obrotu Ziemi ze sferą niebieską, otrzymamy bieguny świata, północny – P i południowy – P’. Linię łączącą bieguny świata nazywamy osią świata. Koło wielkie przechodzące przez zenit i nadir oraz przez bieguny świata nazywamy południkiem miejscowym. Koła wielkie przechodzące przez zenit i nadir nazywamy wertykałami. Azymutem gwiazdy AN nazywamy kąt dwuścienny zawarty między północną częścią południka miejscowego a płaszczyzną wertykału danej gwiazdy. Wysokością gwiazdy h nazywamy kąt, jaki tworzy kierunek do danej gwiazdy z płaszczyzną horyzontu (–90o ≤ h ≤ +90o). W astronomii sferycznej częściej stosuje się dopełnienie wysokości gwiazdy do 90o, współrzędna ta nosi nazwę odległości zenitalnej (0o ≤ z ≤ 180o) liczonej od zenitu do nadiru wzdłuż południka miejscowego: z = 90o – h. Układ horyzontalny jest chwilowym układem lokalnym. W celu ścisłego zdefiniowania położenia gwiazdy należy podać, oprócz współrzędnych AN i h, współrzędne geograficzne (φ, λ) obserwatora oraz moment obserwacji T.

Układ ekwinokcjalny- Układ współrzędnych równikowych ekwinokcjalnych przedstawia położenie gwiazd w jednolitym układzie dla całej Ziemi i nie jest zależny od czasu obserwacji. W wyniku przecięcia się równika ziemskiego ze sferą niebieską powstaje równik niebieski. Punkt Ekwinoncjum- punkt równonocy wiosennej (punkt barana). Koło wielkie poprowadzone przez bieguny świata i gwiazdę nazywamy południkiem danej gwiazdy.

Pozorny roczny ruch Słońca na sferze niebieskiej tworzy ekliptykę. Na pozorny ruch Słońca ma wpływ zjawisko ruchu obrotowego Ziemi wokół Słońca po orbicie ekliptycznej, czyli ekliptyką możemy nazwać również koło wielkie powstałe w wyniku przecięcia płaszczyzny orbity Ziemi ze sferą niebieską. Kąt nachylenia płaszczyzny ekliptyki względem płaszczyzny równika w przybliżeniu wynosi 23.5o. Odległość kątową gwiazdy od równika nazywamy deklinacją gwiazdy δ (–90o ≤ δ ≤ +90o). Deklinacja gwiazdy nie jest zależna od ruchu dobowego gwiazdy. Gwiazda w swym pozornym ruchu dobowym przesuwa się po równoleżniku niebieskim. W celu wyznaczenia drugiej współrzędnej przyjęto punkt odniesienia γ, którym jest jeden z dwóch punktów przecięcia się ekliptyki z równikiem niebieskim. Punkt ten nosi różne nazywany: punkt równonocy wiosennej, punkt Barana lub ekwinokcjum. Kąt zawarty między południkiem punktu Barana a południkiem gwiazdy nazywany jest rektascensją α. Rektascensję liczymy po równiku w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i wyrażamy w jednostkach czasu (od 0h do 24h). Rektascensja wzrasta w kierunku z zachodu na wschód. Do przeliczenia wielkości rektascensji z jednostek czasu na stopnie: alfa= 360 *alfa^h/24

Układ równikowy godzinny- Układ równikowy godzinny jest układem pośrednim, łączącym układ horyzontalny (realizowany przez instrument pomiarowy w trakcie pomiaru) z układem równikowym ekwinokcjalnym, w którym wyrażone są współrzędne katalogowe gwiazd. Płaszczyznami głównymi w tym układzie są: *płaszczyzna równika niebieskiego, *płaszczyzna południka miejscowego. Układ równikowy godzinny definiowany jest przez współrzędne:

*deklinację δ – jest to odległość kątowa od gwiazdy, *kąt godzinny t – kąt zawarty między południkiem miejscowym a południkiem danej gwiazdy, mierzony wzdłuż równika począwszy od południowej części południka miejscowego zgodnie z ruchem wskazówek zegara od 0h do 24h. Wartość kąta godzinnego t wzrasta proporcjonalnie do upływu czasu zgodnie z pozornym ruchem gwiazdy po równiku niebieskim. Zmiana tego kąta o 360o (24h) odpowiada jednemu obrotowi Ziemi dokoła swojej osi i stanowi jednostkę czasu zwaną dobą gwiazdową. Kąt godzinny zależy również od miejsca położenia obserwatora na Ziemi. Położenie ciała niebieskiego w tym układzie wyraża się przez podanie, oprócz współrzędnych t i δ, również momentu obserwacji T oraz współrzędnych geograficznych φ i λ obserwatora: (t, δ)φ,λ,T

Układ ekliptyczny- Układ ekliptyczny jest układem niezależnym od chwilowego położenia obserwatora. Podstawowymi płaszczyznami tego układu są ekliptyka i koło wrębne. Położenie gwiazdy określają następujące współrzędne:

l – długość ekliptyczna, wzrastająca z kierunku z zachodu na wschód od 0o w punkcie Barana do 360o, b – szerokość ekliptyczna, osiąga +90o w północnym biegunie ekliptyki i –90o w południowym biegunie ekliptyki.

RELACJE : ekwinokcjalnym i godzinnym Układy równikowe posiadają wspólną współrzędną δ (deklinację gwiazdy), należy wyznaczyć tylko związek między α i t. Między rektascensją a kątem godzinnym zachodzi chwilowy związek:

tγ = α + t. Suma rektascensji i kąta godzinnego równa jest kątowi godzinnemu punktu równonocy wiosennej. Wielkość tγ nosi nazwę czasu gwiazdowego miejscowego θ: θ = tγ, można napisać że: θ = α + t. Należy pamiętać, że θ oraz t odnoszą się do określonego południka miejscowego obserwatora i wartości te muszą odnosić się do tego samego momentu, a wartości α i t – do tej samej gwiazdy. Tak więc, wartość kąta godzinnego można obliczyć z następującej zależności: t = θ – α.

Godzinny a horyzontalny W wyniku przecięcia się podstawowych kół wielkich obu układów otrzymuje się trójkąt PZG, zwany trójkątem paralaktycznym. Kąt godzinny tgt= (-sinz sinAn)/ (cosz cosϕ – sinz sinϕ cosAn) Powyższe równanie ustala wartość kąta godzinnego t dla gwiazd położonych na wschodniej lub zachodniej półkuli nieba, ponieważ: 0o < t < 180o dla 180o < AN < 360o

180o < t < 360o dla 0o < AN < 180o Azymut gwiazdy

An tgAn= (-cosd sint)/(sind cosϕ- cosd sinϕ cost)

WSCHODY I ZACHODY W momencie wschodu i zachodu ciało niebieskie znajduje się w płaszczyźnie horyzontu, tak więc z = 90o. •Z danego punktu na kuli ziemskiej nie można obserwować całej sfery niebieskiej. •Zjawiska wschodu i zachodu zależą od szerokości geograficznej miejsca obserwacji oraz od deklinacji ciała niebieskiego. •Gwiazdy w swym pozornym ruchu dobowym poruszają się po równoleżnikach niebieskich. Warunkiem wystąpienia zjawiska wschodu i zachodu gwiazdy na danej szerokości geograficznej φ jest spełnienie następującej nierówności: ϕ-90<d<90- ϕ

KULMINACJE CIAŁ- W ciągu jednej doby gwiazdowej każda gwiazda dwukrotnie przechodzi przez południk miejscowy. Kulminacja górna (górowanie) – przejście gwiazdy przez południową część łuku południka miejscowego (maksymalna wysokość horyzontalna), osiągnięte są wówczas następujące warunki: tg=0h, Zgs= ϕ-d Zgs=180 Zgn=d-ϕ Zgn=0 Kulminacja dolna (dołowanie) – przejście gwiazdy przez północną część łuku południka miejscowego (minimalna wysokość horyzontalna), osiągnięte są wówczas następujące warunki: t=12h Zd= 180 –( ϕ+d) Ad=0 W górnej i dolnej kulminacji można obserwować tylko te gwiazdy, dla których spełniony jest warunek: d> (90- ϕ)

ELONGACJE CIAŁ- Elongacją (najmniejszą degresją) gwiazdy okołobiegunowej nazywa się takie taki jej położenie, dla którego kąt paralaktyczny gwiazdy wynosi q=90st , natomiast bezwzględna wartość azymutu AN wynosi maksimum. W elongacji mogą znajdować się tylko gwiazdy okołobiegunowe, dla których: d> ϕ Gwiazda znajdująca się w pobliżu elongacji poruszać się będzie w polu widzenia teodolitu wzdłuż nitki pionowej.

ASTRONOMICZNA RACHUBA Precesja – zjawisko wywołane ciągłym ruchem osi obrotu Ziemi, w wyniku czego w okresie 25 800 lat oś Ziemi zatacza stożek o kącie rozwarcia 47o. Precesje wywołują: •przyciąganie Słońca, •elipsoidalność (kształt) Ziemi, • brak pokrycia płaszczyzny równika z ekliptyką. Na skutek precesji zmienia się położenie równika względem ekliptyki, a punkt równonocy wiosennej przesuwa się ze wschodu na zachód 2. Nutacja – zjawisko polegające na tym, że biegun zatacza okręgi. Wywołana jest przyciąganiem księżyca. Amplituda wychyleń wynosi 9.21”, natomiast okres 18.6 lat. Paralaksa

a) dobowa – kąt pod jakim z danego ciała niebieskiego widoczny jest promień Ziemi (dla Księżyca ok. 52’, dla Słońca ok. 8,8”): b) roczna – kąt pod jakim z danego ciała niebieskiego widoczny jest promień orbity Ziemi w chwili gdy jest on prostopadły do kierunku widzenia gwiazdy (dla najbliższej gwiazdy ok. 0.763”), c) wiekowa – kąt pod jakim z danego ciała niebieskiego widoczna jest roczna droga Słońca na skutek ruchu własnego gwiazd. Jednostką paralaksy jest parsek – odległość, z której widać promień orbity pod kątem 1” (3.259 lat świetlnych). Doba gwiazdowa – odstęp czasu między dwiema kolejnymi kulminacjami górnymi punktu wiosennego. Miarą czasu gwiazdowego jest kąt godzinny punktu równonocy wiosennej, Odstęp czasu między dwoma kolejnymi przejściami Słońca przez średni punkt równonocy wiosennej nazywa się rokiem zwrotnikowym Odstęp czasu między dołowaniem Słońca a dowolnym momentem doby (wyrażony w godzinach, minutach i sekundach) nazywa się prawdziwym czasem miejscowym. Czas słoneczny średni, zwany również czasem średnim lub czasem cywilnym miejscowym, ma zastosowanie w cywilnej rachubie czasu oraz w astronomii geodezyjnej. Czas cywilny w południku Greenwich przyjęto za czas uniwersalny TU, do którego można odnosić obserwacje wykonane w różnych miejscach kuli ziemskiej.

Czas średni Tm jest mierzony kątem godzinnym średniego Słońca równikowego: Tm= to+12h lub Tm= tm+12h

Dla uniknięcia niedogodności stosowania czasu cywilnego, kula ziemska została podzielona na południkowe, piętnastostopniowe strefy, w których obowiązuje w zasadzie ten sam czas, zwany czasem strefowym. Za strefę początkową przyjęto piętnastostopniową strefę z południkiem centralnym Greenwich, w której obowiązuje ten sam czas odniesiony do tego południka, zwany czasem zachodnioeuropejskim. W strefie z południkiem centralnym 15o obowiązuje czas środkowoeuropejski, który różni się od czasu zachodnioeuropejskiego o (TU) o +1 godzinę: CSE = TU + 1h.

W rocznikach astronomicznych podawane są na każdy dzień roku wartości tego przesunięcia w odniesieniu do południka Greenwich, czyli tzw. „czas gwiazdowy Greenwich o 0h czasu uniwersalnego TU”, oznaczany symbolem θo. Tablice rocznika astronomicznego podają dla 0h TU: 1)średni czas gwiazdowy Greenwich θo, 2) prawdziwy czas gwiazdowy Greenwich θopr,

θopr = θo + no, gdzie: n0= Δ ψcose + d ψcose gdzie: no – nutacja w rektascensji (równanie ekwinokcjum), Δ ψ– długookresowa nutacja w długości eliptycznej, dψ – krótkookresowa nutacja w długości eliptycznej, e – nachylenie ekliptyki do równika.

Zjawisko załamania promieni światła w atmosferze nazywamy refrakcją. Refrakcją atmosferyczną nazywamy zmianę obserwowanego kierunku do gwiazdy. Różnica kierunków z i z’ jest wielkością refrakcji r: r = z – z’.

Poprawkę refrakcyjną r do pomierzonej odległości zenitalnej można wyznaczyć ze wzoru Radau: r = Ro + Ro Aαγ + R1 Bβ, gdzie: R1 = Ro +Ro Aαγ. Do powyższego wzoru publikowane są w Roczniku Astronomicznym specjalne tablice. Ro oznacza refrakcję normalną, której wartość określona jest dla ustalonych wartości ciśnienia, temperatury i wilgotności. Wartości te wyznaczone są w funkcji odległości zenitalnej. Pozostałe współczynniki znajduje się z tablic według funkcji następujących argumentów: A = f(toC) – temperatury, B = f(HmmHg) – ciśnienia atmosferycznego, α = f(z') – pomierzonej odległości zenitalnej, β = f(R1) – współczynnik stabelaryzowany według R1, γ = f(z’, t) – pomierzonej odległości zenitalnej i temperatury. Refrakcja atmosferyczna w horyzoncie (dla z = 90o) wynosi według Radau Rh = 36’ 36”. Na skutek refrakcji czas widzialności ciała niebieskiego wydłuża się. Ze względu na wielkość refrakcji, przy wszystkich wyznaczeniach astronomicznych należy szczególnie uwzględniać odpowiednie poprawki do pomierzonych odległości zenitalnych: z = z’ + R

Aberracją nazywamy zmianę kierunku widzenia ciała niebieskiego na sferze spowodowaną ruchem obserwatora. Obserwator znajdujący się w punkcie A bierze udział wraz z Ziemią w kilku jednocześnie odbywających się ruchach:

-w ruchu obrotowym Ziemi, powodującym aberrację dobową, -w ruchu obiegowym Ziemi wokół Słońca – aberracja roczna, -w ruchu Słońca wraz z Układem Słonecznym wokół centrum Galaktyki – aberracja wiekowa.

Promienie światła rozchodzą się od gwiazdy G z prędkością światła c. Obserwator A wraz z Ziemią ma prędkość v. Obserwator A wraz z Ziemią ma prędkość v. Wartość kąta υ, o który obserwator musi pochylić lunetę, oblicza się z zależności: sin v/ sin(w-v) = v/c Wartość aberracji dobowej można obliczyć podstawiając do powyższego wzoru prędkość obserwatora wynikającą z ruchu obrotowego Ziemi. Prędkość obrotową Ziemi na szerokości geocentrycznej φ’ wyraża się wzorem: v= 2IIRcosϕ’/86164

MIĘDZYNARODOWY CZAS ATOMOWY TAI- TAI jest czasem opartym na na wzorcu atomowym i odmierzanym przez zsynchronizowane zegary atomowe rozmieszczone w laboratoriach na całym świecie. Skala TAI jest wypadkową wskazań tych zegarów. Wzorce atomowe wykorzystują zjawisko przejść kwantowych między poziomami energetycznymi atomów lub cząstek. Czas atomowy został wyskalowany do czasu astronomicznego efemerydalnego na epokę 1900.0. Tak więc interwał sekundy TAI jest równy sekundzie efemerydalnej.

CZAS GPS jest czasem atomowym używanym w systemie globalnej nawigacji satelitarnej GPS. Podstawą skali czasu GPS są atomowe zegary umieszczone na pokładach satelitów GPS, zegary atomowe zlokalizowane w ośrodkach sterowania systemem GPS. Skala czasu GPS jest zbliżona do skali czasu TAI i zsynchronizowana ze skalą UTC na epokę 1980 styczeń 6d0h UTC. Związek pomiędzy tymi skalami czasu jest następujący: TAI – GPS Time = 19s + C0 19s – stała różnica między TAI i UTC na epokę1980 styczeń 6d0h UTC, C0 – zmienna w czasie poprawka rzędu 10ns wynikająca z zastosowania różnych zegarów w obu systemach czasu.

CZAS ZIEMSKI TT jest skalą czasu przeznaczoną do praktycznego odmierzania czasu na Ziemi, jako czas odniesienia dla pozornych, geocentrycznych efemeryd. Związek pomiędzy międzynarodowym czasem atomowym, a czasem ziemskim jest następujący: TT – TAI = 32.184S Czas ziemski jest idealną formą TAI (skala czasu TAI obarczona jest wpływem błędów wynikających z niedoskonałości zegarów atomowych) uwzględniającą przesunięcie 32.184S. CZAS SŁONECZNY (Solar Time) Czas słoneczny może być prawdziwy lub średni. Czas słoneczny prawdziwy odmierza się geocentrycznym kątem godzinnym środka tarczy słonecznej, zwiększonym o 12h. Czas ten można wyznaczyć bezpośrednio z obserwacji Słońca. Czas słoneczny średni odmierza się kątem godzinnym tzw. Słońca średniego, tj. punktu na równiku o rektascensji równej średniej długości ekliptycznej Słońca prawdziwego, również zwiększonym o 12h. Czas ten jest zbliżony do jednostajnego i jest stosowany w obliczeniach astronomicznych. Czas słoneczny, jako czas obrotowy, może być miejscowy – odniesionym do południka miejscowego lub Greenwich – odniesionym do południka Greenwich. Czas słoneczny Greenwich różni się od czasu słonecznego miejscowego o długość geograficzną λ. Z zależności pomiędzy czasem słonecznym prawdziwym a średnim wynika równanie czasu: E = czas słoneczny prawdziwy – czas słoneczny średni.

CZAS UNIWERSALNY UT- Czas uniwersalny to średni czas słoneczny południka Greenwich. Rozróżnia się następujące systemy czasu uniwersalnego: UT0 – czas uniwersalny prawdziwy, UT1 – czas uniwersalny średni, UT2 – czas uniwersalny quasi-jednostajny. Zależności pomiędzy systemami czasu uniwersalnego są następujące: UT1 = UT0 + Δλ UT2 = UT0 + Δλ + ΔTS = UT1 + ΔTS Δλ – poprawka ze względu na ruchy bieguna, ΔTS – popr. ze względu na sezonową nieregularność ruchu obrotowego Ziemi.

CZAS UNIWERSALNY ŚREDNI (UT1) Czas uniwersalny średni UT1, jest to średni czas słoneczny średniego południka Greenwich, odniesionego do średniej osi obrotu Ziemi. Średni czas uniwersalny można uważać za kątową miarę rzeczywistego obrotu Ziemi wokół średniej osi obrotu, która łączy średnie bieguny geograficzne.

CZAS UNIWERSALNY KOORDYNOWANY UTC Czas uniwersalny koordynowany jest najbardziej zbliżony do czasu słonecznego średniego na południku Greenwich. Wskazania UTC mogą odbiegać mniej niż 1 sekundę od uniwersalnego średniego UT1 i różnić się od jednoczesnych wskazań TAI tylko o całkowitą liczbę sekund. Zmiany zapobiegające większemu od 1 sekundy oddalenia czasu UTC od UT1, dokonywane są poprzez dodanie sekundy przestępnej 31 grudnia lub 30 czerwca.

Konwencjonalny układ Ziemski

1). Początek układu: środek mas Ziemi

2). Oś podstawowa: średnia oś obrotu ziemi

3). Oś drugorzędna : przecięcie płaszczyzny średniego równika z płaszcz. średniego poł. Greenwich

4). Oś trzeciorzędna: ortogonalna w układzie prawoskrętnym

Realizacją CT jest układ ITRF oraz EUREF. Aktualna osnowa geodezyjna w Polsce odniesiona jest do systemu UEREF – 89.

Lokalny układ współrzędnych Astronomicznych (LA)

1). Początek układu: pkt P

2). Oś podstawowa: normalna do powierzchni poziomej w pkt P

3). Oś drugorzędna : północny kierunek stycznej do powierzchni w ekwipotencjalnej w pkt P w płaszczyźnie południka astronomicznego

4). Oś trzeciorzędna: ortogonalna w układzie lewoskrętnym.

Współrzędne Astronomiczne

Szerokość geograficzna – kąt zawarty między linią pionu w dany pkt a pł równika

Długość geograficzna – kąt dwuścienny między pł. Południka miejscowego Greenwich a południk miejsca danego pkt na ziemi.

Globalny układ geodezyjny

Współrzędne Astronomiczne

1). Początek układu: środek geometryczny elipsoidy

2). Oś podstawowa: a oś obrotu elipsoidy

3). Oś drugorzędna : przecięcie płaszczyzny II do średniego równika z płaszcz. średniego południka Greenwich

4). Oś trzeciorzędna: ortogonalna w układzie prawoskrętnym.

Układ ten związany jest z konkretną elipsoida (ziemską GRS-80)

Lokalny układ wspołrzędnych geod. LG

1). Początek układu: pkt P leży na pow Ziemi

2). Oś podstawowa: normalna do elipsoidy w pkt P

3). Oś drugorzędna : północny kierunek prostopadły do osi z w płaszczyźnie południka geodezyjnego pkt P

4). Oś trzeciorzędna: ortogonalna w układzie lewoskrętnym.