Szczecin, 12.04.2016r.

Ćwiczenie nr 1

RACHUNEK BŁĘDÓW NA PODSTAWIE POMIARÓW MASY I DŁUGOŚCI

Technologia chemiczna, rok II
Grupa Laboratoryjna IIB
Duber Ewa
Goc Magdalena
Kłosin Dominika
Zakrzewska Agata

Przebieg ćwiczenia

Podczas ćwiczenia wykonano pomiary wymiarów przestrzennych drewnianego klocka oraz pomiar jego masy. Na podstawie zgromadzonych danych sporządzono rachunek błędów dla każdego z pomiarów oraz obliczono gęstość badanego obiektu.

Sprzęt i aparatura

Suwmiarka (o dokładności 0,01mm)
Waga analityczna (o dokładności 0,0001g)

Rysunek badanego obiektu

Wyniki pomiarów przestrzennych

Nr części	Pomiar I [mm]	Pomiar II [mm]	Pomiar III [mm]	Pomiar IV [mm]	Średnia [mm]	Niepewność standardowa średniej arytmetycznej
	śr.	wys.	śr.	wys.	śr.	wys.
1	13,12	4,55	13,14	4,47	13,18	4,49
2	7,88	4,48	7,89	4,08	7,86	4,38
3	17,72	4,41	17,61	4,3	17,72	4,43
4	10,53	3,86	10,64	4,32	10,63	3,82
5	16,52	30,6	16,49	30,67	16,56	30,7
6	10,29	2,42	10,08	2,31	10,32	2,39
7	3,9	7,06	4,2	7,05	3,9	7014

Lp.	Promień (r) [mm]
1	6,57
2	3,945
3	8,85
4	5,31
5	8,26
6	5,11
7	2,035

Wyniki pomiarów masy

Pomiar	Masa [g]
I	10,3643
II	10,3643
III	10,3639
IV	10,3640

Średnia arytmetyczna: 10,3641
Niepewność standardowa średniej arytmetycznej: 0,0001

Niepewność rozszerzona

Dla niewielkiej liczby pomiarów za miarę niepewności średniej arytmetycznej przyjmujemy połowę przedziału ufności:

$$X = \overset{\overline{}}{X} \pm U$$

gdzie: X – wynik pomiaru, $\overset{\overline{}}{X}$ - średnia arytmetyczna, U – niepewność rozszerzona.

Niepewność rozszerzoną wyznaczamy ze wzoru

$$U = \ S_{\overset{\overline{}}{X}} \times t(n,\ p)$$

gdzie $S_{\overset{\overline{}}{X}}$ jest niepewnością standardową średniej arytmetycznej, zaś t(n, p) jest tzw. współczynnikiem Studenta, zależnym od liczby pomiarów (n) i zadanego prawdopodobieństwa (p). Dla n = 4 i p = 0,9973 współczynnik studenta jest równy 9,219. Stąd niepewności rozszerzone dla wymiarów przestrzennych każdej części badanego obiektu wynoszą:

Nr części	Niepewność rozszerzona
	promienia
1	0,14
2	0,16
3	0,3
4	0,27
5	0,16
6	0,5
7	0,89

Zaś dla masy tego klocka:

U = 9,219 × 0,0001 = 0,00095

Przestawienie wyników

Wymiary przestrzenne każdej z części [mm] (promień x wysokość):

1 – 6,57±0,14 x 4,51±0,18
2 – 3,945±0,16 x 4,32±0,79
3 – 8,85±0,3 x 4,4±0,33
4 – 5,31±0,27 x 3,95±1,17
5 – 8,26±0,16 x 30,69±0,37
6 – 5,11±0,5 x 2,43±0,55
7 – 2,035±0,89 x 7,13±0,45

Masa całego obiektu:

m = 10,3641±0,00095 g

Obliczanie gęstości (pomiar złożony)

Objętości danego ciała stałego nie da się zmierzyć bezpośrednio, dlatego wykorzystujemy związek pomiędzy masą a objętością:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

Z powodu występowania błędów oraz niepewności pomiarów do obliczenia gęstości badanego klocka wykorzystujemy metodę najmniej korzystnego przypadku. Dla obliczenia objętości tego klocka należy obliczyć wartość maksymalną i minimalną objętości:

V_max = (r²×π+U) × (X_wysokosc + U)

V_min = (r²×π−U) × (X_wysokosc−U)

a następnie wyznaczyć ich średnią arytmetyczną (V). Niepewność pomiaru będzie równa:

$$V = \frac{1}{2}(V_{\max} - V_{\min})$$

Stąd objętości każdej części obiektu:

Nr części	Vmax [mm^2]	Vmin [mm^2]	ΔV	Vśrednie [mm^2]
1	636,67	586,61	25,03	611,64
2	250,29	171,7	39,30	211
3	1164,69	1002,17	81,26	1083,42
4	454,24	244,94	104,66	349,59
5	6659,1	6490,74	84,18	6574,92
6	245,62	153	46,31	199,31
7	105,28	80,89	12,20	93,08

Sumując wartości V otrzymamy średnią objętość badanego klocka:

_Vcałk = 9122,96 mm³

To samo działanie przeprowadzamy dla masy obiektu:

m_max = 10,36505 g
m_min = 10,36315 g
m_średnie = 10,3641 g
Δm = 0,00095

Objętość drewnianego klocka wynosi:
ρ = m/V = 10,3641/9122,96 = 1,136×10^-3 g/mm³

Wnioski

Pojawiające się niepewności pomiarowe oraz duże rozbieżności pomiędzy poszczególnymi wynikami wynikają z występowania błędów popełnianych przez osobę dokonującą pomiaru (złe użycie przyrządu pomiarowego, niedokładność, przybliżenia i uproszczenia stosowane podczas obliczeń) lub też błędów urządzenia (zbyt niska klasa dokładności lub rozdzielczość). Pojawiające się rozbieżności pomiędzy wynikami pomiarów tej samej części wynikają z tego, że każdy pomiar był wykonywany przez inną osobę.