Politechnika Gdańska

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska

Katedra Budownictwa i Inżynierii Materiałowej

Konstrukcje Drewniane

Projekt dachu płatwiowo-kleszczowego

wykonała:

Aleksandra Czaplińska

nr indeksu: 139938

1. Dane projektowe

Typ dachu: płatwiowo-kleszczowy
Rozpiętość dachu: L=10.2m
Nachylenie dachu: α=41˚
Rozstaw wiązarów: a=0,75 m
Pokrycie dachu: dachówka cementowa
Klasa drewna: C22

Łączniki w węźle pośrednim: śruby
Lokalizacja: Warszawa

2. Parametry wytrzymałościowe drewna

-Wartości charakterystyczne: dla drewna o wilgotności 12%

Wytrzymałość na zginanie: f_m,k=22 MPa
Wytrzymałość na ściskanie wzdłuż włókien: f_c,0,k=20 MPa
Moduł sprężystości wzdłuż włókien: E_0,05=6700MPa

Wytrzymałość na rozciąganie: f_t,0,k = 13 MPa

-Wartości obliczeniowe:
X_d =k_mod*X_k/γ

γ=1,3 dla elementów drewnianych

Średnia roczna wilgotność powietrza w Warszawie to 67%

klasa użytkowania 2 (powietrze <85%, drewno <20%),

klasa trwania obciążenia: stałe k_mod=0,6

Wartości obliczeniowe
f_m,o= k_mod* f_m,k /γ=0,6*22/1,3=10,2 MPa
f_c,0,d= k_mod* f_c,0,k /γ=9,2 MPa

ft_,0,d= k_mod* f_t,_0,k /γ=6,0 MPa

3.1. Schemat osiowy konstrukcji [cm]

3.2. Dobór przekrojów elementów

krokiew: 80 x 200 mm

płatew: 150 x 150 mm

słupek: 150 x 150 mm

miecze: 75 x 75 mm

kleszcze: 2x38 x 125 mm

3.3 Dobór warstw pokrycia:

dachówka ceramiczna firmy Euronit o ciężarze powierzchniowym: g= 0,5 kPa

długość dachówki: 42 cm

łaty: przekrój 3 x 5 cm, rozstaw co 75 cm

kontrłaty: 2,5 x 5 cm rozstaw co 38 cm

ciężar objętościowy drewna: 4,1 kN/m³

4. Zebranie obciążeń

4.1. Ciężar poszycia:

uwaga: ciężar własny konstrukcji dachu został uwzględniony automatycznie w programie obliczeniowym Robot

Rodzaj obciążenia	Obc. Charakterystyczne [kN/m]	Współczynnik bezpieczeństwa	Obc. obliczeniowe [kN/m]
Dachówka cementowa (0,5 kN/m2)	0,375	1,2	0,45
łaty (0,03m*0,05m*4,1 kN/m3)	0,0062	1,2	0,0074
kontrłaty (0,025m*0,05m*4,1kN/m3)	0,0103	1,2	0,0124
krokiew	-	1,1	-
wełna mineralna (0,18 * 1,3 kN/m3)	0,1755	1,2	0,2106
płyta G-K (0,09 kN/m2)	0,0675	1,2	0,081
suma	0,634	-	0,761

4.2. Obciążenie śniegiem

Lokalizacja obiektu: Warszawa, I strefa obciążenia śniegiem

średnia wysokość n.p.m.: A= 78,26 m
Q_k = max(0,007*A-1,4; 0,7)=max(0,007*78-1,4;0,7)= 0,7 kN/m²

C₁(α)=0,8*((60-α)/30)= 0,8*((60-41)/30)=0,51
C₂(α)=1,2*((60-α)/30)= 1,2*((60-41)/30)=0,76

Obliczeniowe obciążenie śniegiem na 1 krokiew (rozstaw 0,75 m)

ɣ_f = 1,4

S_max= a*Q_k* C₂*ɣ_f=0,75* 0,7*0,76*1,4= 0,56 kN/m połać nawietrzna

S_min=a*Q_k* C₁*ɣ_f=0,75*0,7*0,51*1,4=0,37 kN/m połać zawietrzna

4.3. Obciążenie wiatrem:

Lokalizacja obiektu: Warszawa, I strefa wiatrowa

q_k= 0,3 kN/m² dla strefy pierwszej oraz A<300 m n.p.m.
z=H+h_dachu=9m+4,43 m=13,43 m

Przyjęto teren B zabudowany przy wysokości istniejących budynków do 10 m
C_e=0.55 + 0.02*13,43=0,82

Wariant I (α ≥ 20◦):
C_z=0.015α − 0.2=0,415 połać nawietrzna
C_z= -0,4 połać zawietrzna

C = C_p= C_z − C_w
C_w=0 budowle zamknięte
β=1,8

Obciążenie obliczeniowe wiatrem na 1 krokiew

Wariant I (α ≥ 20◦):
p₂^a =a · q_k · C_e · C · β · γ_f= 0,75*0,3*0,82*0,415*1,8*1,4=0,193 kN/m połać nawietrzna
p₁^a = a · q_k · C_e · C · β · γ_f= 0,75*0,3*0,82*(-0,4)*1,8*1,4=-0,186 kN/m połać zawietrzna

5. Kombinacje i wykresy sił wewnętrznych

5.1. Momenty zginające: wartości w kNm

5.2. Siły normalne: wartości w kN

5.3. Reakcje w węźle 2 i 4 (tożsame z siłą normalną w słupkach):

R₂ = 8,6 kN

R₄ = 5,4 kN

6. Wymiarowanie krokwi:

przekrój 8 x 20 cm

W_x = b*h²/6 = 533,3 cm³

przekrój osłabiony nacięciem 4cm: W_x' = 341,3 cm³

M_max = 2,0 kNm

N_max = 4,3 kN (ściskanie)

6.1. Ściskanie:

naprężenia ściskające: σ_t,0,d = N/A = 4,3 / (0,08*0,2) = 268,75 kPa = 0,27 MPa

dopuszczalne naprężenia: f_t,0,d=6,0 MPa > σ = 0,27 MPa

6.2. Zginanie:

naprężenia zginające: σ_m,y,d = M/W_x = 2/(341,3*10^-6 ) = 5,86 MPa

dopuszczalne naprężenia: f_m,o=10,2 MPa > σ_m,y,d = 5,86 MPa

6.3. Wyboczenie:

długość wyboczeniowa: l_eff = μ*l = 0,85*3,66 = 3,11 m

promień bezwładności: i=2,31 cm

smukłość względna: λ = l_eff/i = 134,6 < 150

naprężenia krytyczne: σ_crit = Π²*E_0,05/λ² = 3,62 MPa

smukłość sprowadzona przy ściskaniu: λ_rel = (f_c,0,k /σ_crit )^0,5 = 2,34 > 0,5 – należy uwzględnić wyboczenie

współczynnik pomocniczy:

k_y = 0, 5 * (1+β_c(λ_rel, y−0,5)+λ_rel, y²) = 0, 5 * (1+0,2*(2,34−0,5)+2,34*2,34) = 3, 42

współczynnik wyboczeniowy:

k_c = (k_y+(k_y²- λ_rel²)^0,5)^-1=0,169

6.4. Nośność krokwi:

warunek nośności

σ_t,0,d /(k_c * f_{t,0,d )}+ σ_m,y,d/ f_m,o = 0,27/(0,169*6) + 5,86/10,2 = 0,84 < 1 – nośność zachowana

smukłość przy zginaniu:

$$\lambda_{rel,m} = \sqrt{\frac{l_{d}*h*f_{m,k}}{\pi*b^{2}*E_{k}}*\sqrt{\frac{E_{0,mean}}{G_{\text{mean}}}}} = \sqrt{\frac{3,11*0,20*22}{3,14*{0,08}^{2}*6700}*\sqrt{\frac{10}{0,63}}} = 0,64$$

współczynnik stateczności giętnej;

k_crit= 1,0 dla λ_rel, m < 0, 75

warunek stateczności:

σ_m,y,d=5,86 MPa <k_crit*f_m,d = 10,2 MPa

stateczność zachowana

SGN spełniony

6.4. Ugięcie krokwi:

do obliczenia ugięcia posłużono się wartościami charakterystycznymi obciążenia przemnożonymi przez wartość (1+k_def)

dla 2 lasy obciążenia:

k_def = 0,8 – obciążenie długotrwałe (ciężar własny, poszycie dachu)

k_def = 0,25 – obciążenie średniotrwałe (śnieg)

k_def = 0 – obciążenie krótkotrwałe (wiatr)

maksymalne ugięcie odczytane z programu obliczeniowego wynosi : u = 0,324 cm

dopuszczalne ugięcie: u _dop = L/200 = 366/200 = 1,8 cm > u

SGU zachowany

7. Wymiarowanie kleszczy:

przekrój 2x3,8x12,5 cm

długość: l= 4,68 m

siła ściskająca: N = 1 kN

moment zginający: M=0,1 – pomijalnie mały

moment od obciążenia człowiekiem z narzędziami: (P=1 kN)

M_cz = 0,25*P*l = 0,25*1*4,68 = 1,17 kNm

W_y = 2*b*h²/6 = 2*3,8*156,25/6 = 197,92 cm³

7.1. Ściskanie:

naprężenia ściskające: σ_t,0,d = N/A = 1/ (2*0,038*0,125) = 105 kPa = 0,105 MPa

dopuszczalne naprężenia: f_t,0,d=6,0 MPa > σ = 0,105 MPa

7.2. Zginanie:

naprężenia zginające: σ_m,y,d = M/W_y = 1,17/(197*10^-6 ) = 5,94 MPa

dopuszczalne naprężenia: f_m,o=10,2 MPa > σ_m,y,d =5,94 MPa

7.3. Wyboczenie:

długość wyboczeniowa: l_eff = μ*l = 1,0*4,68 = 4,68 m

promień bezwładności: i=3,46 cm

smukłość względna: λ = l_eff/i = 468/3,46=135 < 150

naprężenia krytyczne: σ_crit = Π²*E_0,05/λ² = 3,64 MPa

smukłość sprowadzona przy ściskaniu: λ_rel = (f_c,0,k /σ_crit )^0,5 = (20/3,64) ^0,5=2,4> 0,5 – należy uwzględnić wyboczenie

współczynnik pomocniczy:

k_y = 0, 5 * (1+β_c(λ_rel, y−0,5)+λ_rel, y²) = 0, 5 * (1+0,2*(2,4−0,5)+2,4*2,4) = 3, 57

współczynnik wyboczeniowy:

k_c = (k_y+(k_y²- λ_rel²)^0,5)^-1=0,161

7.4. Nośność kleszczy:

warunek nośności

σ_t,0,d /(k_c * f_{t,0,d )}+ σ_m,y,d/ f_m,o = 0,105/(0,161*6) + 5,94/10,2 = 0,7 < 1 – nośność zachowana

smukłość przy zginaniu:

$$\lambda_{rel,m} = \sqrt{\frac{l_{d}*h*f_{m,k}}{\pi*b^{2}*E_{k}}*\sqrt{\frac{E_{0,mean}}{G_{\text{mean}}}}} = \sqrt{\frac{4,68*0,12*22}{3,14*{0,08}^{2}*6700}*\sqrt{\frac{10}{0,63}}} = 0,605$$

współczynnik stateczności giętnej;

k_crit= 1,0 dla λ_rel, m < 0, 75

warunek stateczności:

σ_m,y,d=5,94 MPa <k_crit*f_m,d = 10,2 MPa

stateczność zachowana

SGN spełniony

7.5. Ugięcie kleszczy:

do obliczenia ugięcia posłużono się wartościami charakterystycznymi obciążenia przemnożonymi przez wartość (1+k_def)

dla 2 lasy obciążenia:

k_def = 0,8 – obciążenie długotrwałe (ciężar własny, poszycie dachu)

k_def = 0,25 – obciążenie średniotrwałe (śnieg)

k_def = 0 – obciążenie krótkotrwałe (wiatr, człowiek z narzędziami)

maksymalne ugięcie odczytane z programu obliczeniowego wynosi : u = 0,57 cm

dopuszczalne ugięcie: u _dop = L/200 = 468/200 = 2,34 cm > u=0,57

SGU zachowany

8. Wymiarowanie płatwi:

przekrój 15 x 15 cm

Długości obliczeniowe
l_y=3*a=3*0,75=2,25 m
l_z=5*a=5*0,75 = 3,75 m

- obciążenia pionowe q_y
q_y=(0,5l_d+l_g)*(g+S*cosα+p*cosα)=(0,5*3,66 + 3,1)*(0,5*1/0,75+0,56*0,75*cos41+0,193*cos41) = 4,93*1,13= 5,57 kN/m
-obciążenia poziome q_z
q_y=(0,5l_d+l_g)*p*sinα=(0,5*366+3,1)*0,193*sin41 = 0,624 kN/m

Momenty
M_y= q_y*l_y²/8=3,52 kNm
M_z= q_z*l_z²/8=1,09 kNm

Wskaźnik wytrzymałości
W_y=W_z = h³/6=0,15³/6=0,5625*10^-3m³

8.1. Zginanie
σ_m,y,d= M_y / W_y=3,52/0,5625 = 6,26 MPa
σ_m,z,d= M_z / W_z=1,09/0,5625 = 1,94 MPa

8.2. Nośnośc płatwi

σ_m,y,d/ f_m,y,d+ σ_m,z,d/ f_m,z,d= 6,26/10,2+1,94/10,2 = 0,804 < 1

SGN zachowany

8.3. Ugięcia

- ugięcia w płaszczyźnie pionowej

pasmo zbierania obciążeń: s = 0,5l_d+l_g = 4,93 m

wskaźnik wytrzymałości: I_y=I_z = b*h³/12 = 15⁴/12 = 4218,75 cm⁴

długość obliczeniowa płatwi: l=3*a = 2,25 m

stosunek L/h = 225/15 = 15 <20

ciężar własny belki: g₁ = 0,15*0,15*340*10 = 76,5 N/m = 0,076 kN/m

k_def = 0,8

g₁’ = (1+k_def)*g₁ = 1,8*0,076 = 0,137 kN/m

ciężar poszycia dachu: g₂ = 0,918 kN/m²

k_def = 0,8

g₂’ = (1+k_def)*k₂*s*cos41°=1,8*0,918*4,93*0,755 = 6,15 kN/m

obciążenie wiatrem: p₁ = 0,184 kN/m²

k_def = 0

p₁’ = (1+k_def)*p₁*s*sin41° = 0,595 kN/m

obciążenie śniegiem: p₂ = 0,532 kN/m²

k_def = 0

p₂’ = (1+k_def)*s*p₂ = 2,62 kN/m

sumaryczne obciążenie pionowe: q_y = 9,5 kN/m

ugięcie od obciążeń pionowych: u_M = 5*q_y*l_y⁴/(384*E_0,mean*I_y) = 5*9,5*2,25⁴/(384*10*10⁶*4218,75*10^-8) = 1217,37/162000 = 7,51*10^-3 m = 7,51 mm

u_y = u_M * [1+19,2*(h/L)²] = 7,51*1,0853 = 8,15 mm

- ugięcie w płaszczyźnie poziomej

pasmo zbierania obciążeń: s = 0,5l_d+l_g = 4,93 m

wskaźnik wytrzymałości: I_y=I_z = b*h³/12 = 15⁴/12 = 4218,75 cm⁴

długość obliczeniowa płatwi: l=5*a = 3,75 m

stosunek L/h = 375/15 = 25 > 20

obciążenie wiatrem: p₁ = 0,184 kN/m²

k_def = 0

p₁’ = (1+k_def)*p₁*s*cos41° = 0,685 kN/m

ugięcie od obciążeń poziomych: u_z = 5*q_z*l_z⁴/(384*E_0,mean*I_z) = 5*0,685*3,75⁴/(384*10*10⁶*4218,75*10^-8) = 677,3/162000 = 0,42*10^-3 m = 0,42 mm

- ugięcie końcowe belki:

u_fin = (u_z² + u_z²)^0,5 = 7,52 mm

u_dop = L/200 = 2250/200 = 11,25

u_fin<u_dop

SGU zachowany

9. Wymiarowanie słupków:

przekrój 15 x 25 cm

9.1. Ściskanie

Siła ściskająca w słupku:
N=5*a*q_y=5*0,75*5,57 = 20,9 kN

A = 0,0225 m²

σ_c,0,d = N/A = 0,0209/0,0225 = 0,93 Mpa

9.2. Wyboczenie
Długości wyboczeniowe
l_c,y= μ_y *(L_słupka-a)= 2,4-0,75=1,65 m
l_c,z= μ_z *L_słupka=2,4 m
μ_y= μ_z=1,0

Promienie bezwładności

i_y= i_z= b /=0,043 m

Smukłości:

λ_y= l_c,y/ i_y=38,37 <150

λ_z= l_c,z/ i_z=55,42 <150

Naprężenia krytyczne
σ_crit,y=π²*E_0,05/ λ_y²=44,87 MPa
σ_crit,z=π²*E_0,05/ λ_z²=21,51 MPa

Smukłość sprowadzona przy ściskaniu
λ_rel,y==0,667 >0,5
λ_rel,z== 0,964 > 0,5
Należy uwzględnić wpływ wyboczenia w obu kierunkach

Współczynniki pomocnicze
k_y = 0, 5*(1 + β_c (λ_rel,y − 0, 5) + λ²_rel,y)=0,739

k_z = 0, 5*(1 + β_c (λ_rel,z − 0, 5) + λ²_rel,z)=1,011
β_c=0,2 dla drewna litego

Współczynnik wyboczenia

k_c,y=1/ (k_y+)) = 0,946

k_c,z=1/( (k_z+)) = 0,76

kc= min{k_c,z; k_c,y} = 0,76

9.3. Nośność słupka

warunek nośności : σ_c,o,d/(k_c,z *f_c,o,d)= 0,93/(0,76*9,2) = 0,13 ≤1

SGN zachowany

10. Wymiarowanie mieczy

przekrój: 7,5 x 7,5 cm

siła ściskająca w mieczu:

N=5*a* q_y/(2*sin45˚)= 14,78 kN
naprężenia ściskające: σ_c,o,d = N/A = 14,78/0,00525 = 2,2 MPa

Długość wyboczeniowa  l_c,y=a *=0,75 *=1,06 m
Promień bezwładności  i_y=i_z = b/= 0,022m

Smukłość: λ_y= l_c,y/ i_y=48,18

Naprężenie krytyczne: σ_crit,y=π²*E_0,05/ λ_y²=28,46 MPa

Smukłość sprowadzona przy ściskaniu: λ_rel,y== 0,84 >0,5

Należy uwzględnić wyboczenie

Współczynniki pomocnicze
k_y = 0, 5*(1 + β_c (λ_rel,y − 0, 5) + λ²_rel,y)= 0,887
β_c=0,2 dla drewna litego

Współczynnik wyboczenia

k_c,y=1/ (k_y+)) = 0,853

Nośność miecza:

warunek nośności : σ_c,o,d/(k_c,z *f_c,o,d)= 2,62/(0,853*9,2) = 0,33 ≤1

SGN zachowany

11. Wymiarowanie połączenia kleszczy ze słupem i z krokwią

siła pionowa w węźle: N_v = 0,5 kN

siła pozioma w węźle: N_h = 5*1,0 = 5 kN

siła wypadkowa: N = 5,03 kN

przyjęto śruby M10

t₁ = 38 mm

t₂ = 150 mm

gęstość drewna: ρ_k = 340 kg/m³

- wytrzymałość drewna na docisk:

f_h,0,k = 0,082(1 − 0,01d)ρ_k = 0,082*(1 − 0,01* 10)*340 = 25,09 N/mm²

k₉₀ = 1,35 + 0,015*d = 1,35 + 0,015* 10 = 1,5

- moment uplastycznienia śruby:

M_y,k = 0,8*f_u,k *d³/6 = 0,8* 300*10³/6 = 40000 Nmm

M_y,d = M_y,k/ɣ_M = 40000/1,1 = 36364 Nmm

kat nachylenia siły do włókien: α=154°

- wytrzymałość na docisk

f_h,k = f_h,0,k / (k₉₀*sin²α+ cos²α) = 25,09/(1,5*0,192+0,808) = 22,9 Nmm

f_h,d = k_mod*f_h,k / ɣ_M = 0,6*22,9/1,3 = 10,57 Nmm

- stosunek wytrzymałości materiałów: β = 1

- nośność jednego ciecia:

R_d^g = f_h,1,d* t₁*d = 10,57*38*10 = 4016,4 N

R_d^h = f_h,1,d *t₂*d*β = 10,57*80*10*1 = 8456 N

t_pom = 7,54

R_d^j = = 2008,3*[4,53-3,1] = 2871,9 N

R_d^k =
= 1,1*1*(2*36364*10,57*10)^0,5 = 3094,9 N

R_{d =} min{4016,4; 8456; 2871,9; 3094,9} = 2871,9 N

- potrzebna liczba śrub

n = N/(2*R_d) = 5,03/(2*2,87) = 0,88

przyjęto po jednej śrubie M10 na każde połączenie

- przyjęte rozstawy śrub:

odległość od nieobciążonego końca: a_4t = max {4d, (1 + 6 |sin α|) d} = max{40; 10} = 40 mm

odległość od brzegu: a_4,c = max{3d; 2+2*sinα} = 30 mm