Rozdział 2
Kinematyka
Definicja 3 Kinematyka jest to dział mechaniki opisuja˛cy ruch punktu lub bryły, bez uwzgle˛dniania masy i przyczyn wywołuja˛cych zmiane˛ ruchu.
Kinematyczne równania ruchu punktu materialnego:
x = f1 (t) , y = f2 (t) , z = f3 (t) - równania parametryczne toru punktu
lub
r = r (t) .
2.1 Pre˛dko´s´c
Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu ∆t = t2 − t1, w którym punkt przebył droge˛ ∆s = P[1P2. Dla dwóch kolejnych połoz˙ e´n mamy
r2 = r1 + ∆r, ∆r = r2 − r1.
Je´sli ∆t → 0, to
v = lim
∆r
dr
= = r˙
∆t→0 ∆t dt
Pre˛dko´s´c punktu jest wektorem okre´slonym przez pierwsza˛ pochodna˛
wektora połoz˙ enia wzgle˛dem czasu.
Składowe
v = x˙i + y˙j + z˙k,
v jest wektorem stycznym do toru.
Niech s (t) przedstawia droge˛ punktu P w przedziale ∆t, to
v =
dr
dt
dr ds
=
ds dt
= s˙−→τ o ,
gdzie −→τ o -wektor jednostkowy styczny do toru w danym punkcie.
Moz˙ na sta˛d wywnioskowa´c, z˙ e moduł wektora pre˛dko´sci, to pochodna drogi po czasie.
2.2 Przyspieszenie
Rozpatrzmy z kolei, jak zmienia sie˛ wektor pre˛dko´sci w czasie ∆t. Dla dwóch kolejnych połoz˙ e´n mamy
v2 = v1 + ∆v.
Je´sli ∆t → 0, to
a = lim
∆v
dv
= = v˙
= r¨ .
∆t→0 ∆t dt
Przyspieszeniem nazywamy wektor dany przez pierwsza˛ pochodna˛ wek- tora pre˛dko´sci lub druga˛ pochodna˛ wektora połoz˙ enia wzgle˛dem czasu.
Składowe
a = x¨i + y¨j + z¨k.
Kierunek wektora przyspieszenia jest styczny do hodografu pre˛dko´sci. Równanie hodografu
v = v (t) ,
vx = vx (t) , vy = vy (t) , vz = vz (t) .
Przykład 4 Dane sa˛ równania ruchu punktu
x = b1 cos (ωt) , y = b2 sin (ωt) , z = 0.
Znale´z´c równanie toru, równanie hodografu pre˛dko´sci oraz warto´s´c pre˛d- ko´sci i przyspieszenia w chwili t = t1.
2.3 Ruch punktu we współrze˛dnych biegunowych
Równania ruchu we współrze˛dnych biegunowych
r = f1 (t) , ϕ = f2 (t) .
Zgodnie z twierdzeniem o sumie rzutów, rzut wektora na dowolna˛ o´s jest równy sumie rzutów składowych danego wektora na ta˛ o´s, rzutujemy vx, vy na kierunek r i przyrostu ϕ (w danej chwili). Inaczej- rzutujemy
v na r i ϕ.
vr = vx cos ϕ+vy sin ϕ, vϕ = −vx sin ϕ+vy cos ϕ.
Uwzgle˛dniaja˛c zwia˛zki
x = r cos ϕ, y = t sin ϕ,
mamy
vx = x˙ = r˙ cos ϕ − rϕ˙ sin ϕ, vy = y˙ = r˙ sin ϕ + rϕ˙ cos ϕ.
Sta˛d
dr dϕ
vr = dt = r˙, vϕ = r dt = rϕ˙ .
Pre˛dko´s´c promieniowa (radialna) jest pierwsza˛ pochodna˛ promienia wodza˛cego wzgle˛dem czasu. Pre˛dko´s´c obwodowa (transwer-
salna) jest iloczynem promienia wodza˛cego przez pierwsza˛ pochodna˛
ka˛ta biegunowego wzgle˛dem czasu.
Podobnie z przyspieszeniem
ar = ax cos ϕ + ay sin ϕ, aϕ = −ax sin ϕ + ay sin ϕ
ax =
ay =
v˙x = r¨ cos ϕ − 2r˙ϕ˙ sin ϕ − rϕ¨ sin ϕ − rϕ˙ 2 cos ϕ,
v˙y = r¨ sin ϕ + 2r˙ϕ˙ cos ϕ + rϕ¨ cos ϕ − rϕ˙ 2 sin ϕ.
Sta˛d
ar =
r¨ − rϕ˙ 2 = v˙r −
v2
ϕ , (radialne)
r
1 d
aϕ = 2r˙ϕ˙ + rϕ¨ = r dt (rvϕ) , (transwersalne).
Przykład 5 Zbada´c ruch okre´slony równaniami r = At, ϕ = Bt.
2.4 Przyspieszenie styczne i normalne
Naturalny (normalny) układ współrze˛dnych
1. Pre˛dko´s´c v = vτ τ o + vnno + vbbo. Poniewaz˙ wektor pre˛dko´sci jest styczny do toru to vn = vb = 0.
2. Przyspieszenie a = aτ τ o + anno + abbo. Poniewaz˙
w układzie
lokalnym moz˙ liwy jest rozkład przyspieszenia na styczne i nor- malne to ab = 0.
Wektor pre˛dko´sci jest funkcja˛ czasu (zmienny co do kierunku i warto´sci),
to
v = v (t) ,
v = vτ o, τ o- wektor jednostkowy w kierunku v w danej chwili.
v = v (t) , τ o = τ o (t) .
Sta˛d
a =
dv τ o + v dt
dτ
. dt
Przyspieszenie dv = aτ nazywamy przyspieszeniem stycznym.
Znajdziemy pochodna˛ wektora jednostkowego po czasie. Skorzys- tamy z iloczynu skalarnego
τ o ◦ τ o = 1.
Sta˛d
(τ o τ o) =
dt
dτ o
dt
◦ τ o + τ o◦
dτ o
dt
= 2τ o ◦
dτ o
dt
= 0.
o
Mamy zatem, dt
jest prostopadły do τ o czyli do v. Zna-
o
dt
¯ ∆τ o ¯
∆ϕ ∆ϕ
¯ ¯ = 1 sin
¯ ¯ 2 2
dla małych ka˛tów,
¯ dτ o ¯
¯ ∆τ o ¯
∆ϕ dϕ
¯ ¯ = lim ¯
¯ = lim = .
¯ dt ¯
∆t→0 ¯ ∆t ¯
∆t→0 ∆t dt
Oznaczaja˛c wektor normalnej do v przez no mamy
dτ o
dt
= dϕ no, dt
a sta˛d
a =
dv
dv dt
= dv τ o + v dt
dϕ
dϕ no. dt
dt = aτ , v dt
= an, a = aτ τ o + anno.
Ile teraz wynosi moduł przyspieszenia an?
dϕ dϕ ds
2 dϕ
an = v dt = v ds dt = v ds ,
ds- róz˙ niczka ruchu. Wiemy, z˙ e ds = ρdϕ, (ρ− promie´n krzywizny).
Sta˛d
an = v2
dϕ v2
= , ρdϕ ρ
3
¡1+ y02¢ 2
ρ =
|y00 |
gdy y = y(x),
¡x˙ 2 + y˙ 2¢ 2
ρ =
|x˙ y¨ − x¨y˙ |
gdy x = x(t), y = y(t).
Przykład 6 Ruch punktu okre´slono równaniami x = 40t, y = 5t2. Obliczy´c aτ , an oraz ρ dla t = 3s.
2.5 Ruch poste˛powy bryły
Jez˙ eli bryła porusza sie˛ tak, z˙ e jej chwilowe połoz˙ enia sa˛ równoległe do połoz˙ enia pocza˛tkowego, to mówimy, z˙ e bryła porusza sie˛ ruchem poste˛powym.
Trzy stopnie swobody
A− biegun
ri = rA + ρi, (bryła sztywna: ρi = const.)
xi = xA + C1, yi = yA + C2, zi = zA + C3.
W ruchu poste˛powym tory wszystkich punktów sa˛ równoległe. Pre˛dko´s´c w ruchu poste˛powym
ri = rA + ρi, ρi = 0.
ri = rA.
Pre˛dko´sci wszystkich punktów bryły porusza ja˛cej sie˛ ruchem poste˛powym sa˛ w danej chwili wektorami równoległymi.
Przyspieszenie
vi = vA,
ai = aA.
Przyspieszenia wszystkich punktów bryływ ruchu poste˛powym sa˛ w danej chwili wektorami równoległymi.
2.6 Ruch obrotowy bryły dookoła stałej osi
Jez˙ eli dwa punkty bryły sa˛ stałe, to bryła porusza sie˛ ruchem obrotowym.
Te dwa punkty wyznaczaja˛ o´s obrotu. Jeden stopie´n swobody
ϕ = ϕ(t)
Obieramy dwie płaszczyzny w bryle przecinaja˛ce sie˛ wzdłuz˙ osi obrotu l, S- jest stała, R- ruchoma zwia˛zana sztywno z bryła˛. Chwilowe połoz˙ enia płaszczyzny R, czyli połoz˙ enia bryły sa˛ opisane ka˛tem obrotu ϕ. Pierwsza pochodna ϕ jest pre˛dko´scia˛ ka˛towa˛ ω.
Druga pochodna ϕ jest przyspieszeniem ka˛towym ε.
ϕ˙ = ω,
ϕ¨ = ε.
Pre˛dko´s´c dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym
Zwia˛zek mie˛dzy pre˛dko´scia˛ liniowa˛ punktu bryły a pre˛dko´scia˛ ka˛- towa˛ bryły
vi = ω × ri, vi = ωhi, vi = ωri sin α.
Dowód. Obieramy układ z, y, z i x0, y0, z0 w ten sposób, z˙ e pokry- waja˛ sie˛ osie z i z0 . Gdy bryła obraca sie˛ zmieniaja˛ sie˛ kierunki wektorów
i0, j0 a k0 jest stały.
−→k˙ 0 = 0. Wektory jednostkowe w układzie primowanym spełniaja˛ zwia˛zki
|
|
|
|
|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
Róz˙ niczkuja˛c te równania otrzymujemy
−→˙
−→˙
i0 ◦ i0 = 0,
j0 ◦ j0 = 0,
−→˙
−→˙
i0 ◦ j0 + j0 ◦ i0 = 0, (2.1)
−→˙
−→˙
i0 ◦ k0 = 0,
j0 ◦ k0 = 0.
Wynika sta˛d, z˙ e je´sli −→i˙0
nie jest równy zeru, to musi by´c prostopadły
do i0 i k0, czyli równoległy do j0 , podobnie −→j˙ 0
jest równoległy do i0 .
Moz˙ emy wie˛c napisa´c
−→˙
−→˙
i0 = λ1j0 i
j0 = λ2i0,
gdzie λ1 i λ2 sa˛ modułami wektorów −→i˙0
i −→j˙ 0 .
Wstawiaja˛c otrzymany
zwia˛zek do 2.1 mamy
λ1 ³
i0
j0 ◦ j0 ´ + λ2 ³
◦ i0 ´ = 0,
λ1 = −λ2.
Wprowad´zmy teraz nowy wektor zwany pre˛dko´scia˛ ka˛towa˛ ω = λ1k0 .
Lez˙ y on na osi obrotu bryły i jej moduł wynosi
¯ ¯ ¯ ¯
|ω| = ¯
¯ = ¯
¯ = |λ1| = |λ2| .
¯ j˙ 0 ¯
¯ i˙0 ¯
¯ ¯ ¯ ¯
Moz˙ na teraz przy pomocy ω przedstawi´c wszystkie pochodne wektorów
jednostkowych układu ruchomego
−→˙
k0
µ υ ω ¶
i0 = λ1j0 = λ1 ³
× i0 ´ = λ1
× i0
1
= ω × i0,
−→˙
j0
µ ¶
j0 = λ2i0 = −λ1 ³
× k0 ´ = −λ1
j0 ×
1
= −j0 × ω = ω × j0 .
Poniewaz˙ −→k˙ 0
= 0, to ogólnie mamy
−→e˙
= ω × e
Przejd´zmy teraz do wyznaczenia vi dowolnego punktu P o współrze˛d- nych x0 , y0 , z0 .
ri = rA + ρi, rA = 0 =⇒ ri = ρi ,
ρi = x0i0 + y0j0 + z0k0
Sta˛d
vi = −→ρ˙
= x0 −→˙
+ y j0 + z0
x ,y ,z
= const. -poniewaz˙ bryła jest sztywna,
i i0
0 −→˙
k˙ 0 , ¡ 0
0 0¢
x0 0
0 0 0 0´
vi = x0ω ×i0 + y0ω × j0 + z0ω × k0 = ω × ³
vi = ω × ρi.
× i + y
× j
+ z × k ,
Pre˛dko´s´c liniowa dowolnego punktu bryły w ruchu obro- towym jest równa iloczynowi wektorowemu wektora pre˛dko´sci ka˛towej przez wektor połoz˙ enia punktu (pocza˛tek układu na osi obrotu).
Przyjmijmy układ współrze˛dnych (o´s obrotu przechodzi przez pocza˛tek układu)
vi = vixi + viyj + vizk,
ωi = ωixi + ωiyj + ωizk,
ri = rixi + riyj + rizk.
¯
¯ i
vi = ¯
j k ¯
¯
¯
¯
¯ ωx ωy ωz ¯
¯ ¯
¯ xi yi zi ¯
Sta˛d vix = ωy zi − ωz yi, viy = ωz xi − ωxzi , viz = ωxyi − ωy xi .
Poniewaz˙ wszystkie punkty lez˙ a˛ce na osi obrotu maja˛ pre˛dko´s´c równa˛
zeru, sta˛d otrzymujemy równanie osi obrotu
x y z
= = . ωx ωy ωz
Jez˙ eli teraz o´s obrotu nie przechodzi przez pocza˛tek układu, to
|
|
|
|
|---|---|---|---|
|
|
|
|
vi = ω × (ri − rA) .
¯
¯ i
vi = ¯
j k ¯
¯
¯
¯
¯ ωx ωy ωz ¯
¯ ¯
¯ xi − xA yi − yA zi − zA ¯
|
|
|
|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
Równanie osi obrotu w tym przypadku ma posta´c
x − xA = y − yA = z − zA .
ωx ωy ωz
2.7 Przyspieszenie punktów bryływ ruchu obro-
towym
Korzystamy z definicji
ai = −→v˙ i.
Zakładamy, z˙ e o´s obrotu przechodzi przez pocza˛tek układu współrze˛d-
nych
d
ai =
(ω r ) = ω˙
dt
× ri + ω ×
r˙ i,
ai = ε × ri + ω × (ω × ri ) .
Poniewaz˙
b ´ ³ ´
a × ³ × c
= (a ◦ c)b −
a ◦ b
c,
to
ai = ε × ri + ω (ω ◦ ri) − ω2ri.
|=0,{ωz
r }
⊥ i
Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym jest suma˛ geometryczna˛ przyspiesze´n: obrotowego aoi i doosiowego adi .
aoi = εri sin (ε, ri ) = εhi ,
adi = ωvi sin (ω, vi ) = ω2hi.
Składowe przyspieszenia
aix = εy zi − εz yi + ωx (ωxxi + ωy yi + ωz zi) − ω2xi, aiy = εz xi − εxzi + ωy (ωxxi + ωy yi + ωz zi) − ω2yi, aiz = εxyi − εy xi + ωz (ωxxi + ωy yi + ωz zi ) − ω2zi.
2.8 Ruch płaski bryły
Definicja ruchu
Ruch płaski moz˙ emy traktowa´c jako chwilowy ruch obrotowy wokół chwilowego ´srodka obrotu lub jako złoz˙ enie ruchu poste˛powego bieguna i obrotowego wzgle˛dem bieguna.
Równania ruchu płaskiego
xA = xA (t) , yA = yA (t) , zA = zA (t) ,
ri = rA + ρi.
⎧ xi = x + ξ cos ϕ − η sin ϕ
A i i
⎨
yi = yA + ξi sin ϕ + ηi cos ϕ
⎩⎪ ϕ = ϕ (t)
2.8.1 Pre˛dko´s´c w ruchu płaskim
−→r˙ i
= −→r˙
A + −→ρ˙ i,
−→r˙ i
= vi , −→r˙ A
= vA.
Wektor ρi opisuje ruch punktu wzgle˛dem bieguna sta˛d pre˛dko´s´c −→ρ˙ i (z
ruchu obrotowego) wynosi
−→ρ˙
i = ω × ρi.
Sta˛d
vi = vA + vP /A = vA + ω × ρi.
Pre˛dko´s´c dowolnego punktu w ruchu płaskim jest suma˛ geometryczna˛ pre˛dko´sci ruchu poste˛powego i pre˛dko´sci ruchu obrotowego dookoła bieguna.
Zrzutujemy vP = vi na kierunek AP .
(vP )AP = (vA)AP + ¡vP /A¢ ,
vP /A ⊥ AP ⇒ ¡vP /A¢
= 0.
Zatem
(vP )AP = (vA)AP .
Rzuty pre˛dko´sci dwóch punktów na kierunek ła˛cza˛cy te punkty sa˛ sobie
równe.
¯
¯ i
vi = vA + ¯
j k
¯
¯
¯
¯ (ogólnie),
¯ ωx ωy ωz ¯
¯ ¯
¯ xi − xA yi − yA zi − zA ¯
ale
ωx = ωy = 0, ωz = ω (ruch płaski).
Sta˛d
vix =
viy =
x˙ A − (yi − yA) ω,
y˙A − (xi − xA) ω.
Podobnie okre´slamy pre˛dko´sci w układzie ruchomym ξ, η.
o
Uwzgle˛dniaja˛c, z˙ e ωξ = ωη = 0, ως = ω oraz ς i = ξiξ
+ ηiηo otrzymu-
jemy
¯ o
¯ ξ
vi = vA + ¯
ηo
ς o ¯
¯
¯
¯
¯ 0 ωy ω ¯
¯ ¯
¯ ξi ηi 0 ¯
|
|
|
|---|---|---|
|
|
|
2.9 Przyspieszenie w ruchu płaskim
Korzystamy z definicji
−→v˙ i
= −→v˙
A + −→ω˙
× ρi + ω × −→ρ˙ i,
ai = aA + ε × ρi + ω × (ω × −→ρ i) ,
|
|
|
|---|---|---|
|
|
Przyspieszenie w ruchu płaskim jest suma˛ geometryczna˛ przyspieszenia ruchu poste˛powego, przyspieszenia obrotowego i przyspieszenia doosiowego.
Składowe przyspieszenia w układzie stałym
¯
¯ i
ai = aA + ¯
j k
¯
¯
¯
¯ − ω2 (r
− r ) .
¯ 0 0 ε ¯ i A
¯ ¯
¯ xi − xA yi − yA 0 ¯
Sta˛d
aix =
aiy =
x¨A − ε (yi − yA) − ω2 (xi − xA) , y¨A + ε (xi − xA) − ω2 (yi − yA) .
Składowe w układzie ruchomym
¯ o
¯ ξ
ai = aA + ¯
ηo
ς o
¯
¯
¯
¯ − ω2−→ρ ,
¯ 0 0 ε ¯ i
¯ ¯
¯ ξi ηi 0 ¯
a sta˛d
aiξ = aAξ − εη − ω2ξ2, aiη = aAη − εξ − ω2η2.
2.10 ´Srodek przyspiesze´n
Przyspieszenie dowolnego punktu B
aB = aA + aB/A,
aB/A = ε × ρB − ω2ρB .
Warto´sci
aτ n 2
B/A = ερAB , aB/A = ω
ρAB ,
sta˛d
aB/A =
r³ ´2
B/A
³ ´2
B/A
= ρAB pε2 + ω4,
tan β =
τ
B/A = ε
nie zalez˙ y od połoz˙ enia punktu.
n 2
B/A
Moz˙ na wykaza´c, z˙ e istnieje taki punkt S figury płaskiej, którego przyspiesze- nie w danej chwili jest równe zeru.
Poniewaz˙ przyspieszenie kaz˙ dego punktu wzgle˛dem bieguna jest nachy- lone zawsze pod tym samym ka˛tem do prostej ła˛cza˛cej ten punkt z
biegunem, wie˛c wybieraja˛c odpowiednia˛
prosta˛
nachylona˛
pod tym
ka˛tem do przyspieszenia bieguna moz˙ na znale´z´c punkt S, którego całkowite przyspieszenie jest równe 0.
aS = aA + aS/A = 0, aS/A = ρAS pε2 + ω4,
sta˛d odległo´s´c tego punktu od bieguna, przy załoz˙ eniu, z˙ e jego przyspiesze- nie ma by´c równe zeru
aA
AS ε2 + ω4 S A − AS
pε2
+ ω4.
Taka konstrukcja jest moz˙ liwa, poniewaz˙ za biegun moz˙ na przyja˛´c dowolny punkt ciała, a ´srodek przyspiesze´n musi lez˙ e´c na prostej nachylonej pod ka˛tem β do przyspieszenia danego punktu. Z kolei ka˛t β nie zalez˙ y od połoz˙ enia punktu.
Na tej drodze moz˙ na w prosty sposób znajdowa´c przyspieszenia dowolnego punktu figury, bo zakładaja˛c, z˙ e biegun znajduje sie˛ w ´srodku przyspiesze´n, mamy aA = aS = 0, a sta˛d
aB = aB/A,
aB = aB/A = ρSB pε2 + ω4.
´Srodek przyspiesze´n wyznacza sie˛ przy znajomo´sci przyspiesze´n dwóch dowolnych punktów figury.
2.11 Ruch kulisty bryły
Połoz˙ enie dowolnego punktu bryły w ruchu kulistym:
Układ 0, x, y, z- stały, A, ξ, η, ζ - ruchomy, zwia˛zany z bryła˛.
Okre´slenie połoz˙ enia bryły sprowadza sie˛ dookre´slenia połoz˙ enia układu
ruchomego
ri = rA + ρi .
ri = xii + yij + zik,
o o
ρi = ξi ξ
+ ηiηo + ζ iζ ,
rA = xAi + yAj + zAk.
Ruch kulisty rozpatrujemy jako chwilowy ruch obrotowy dookoła chwilowej osi obrotu.
Chwilowa pre˛dko´s´c ka˛towa
dϕ ω = .
dt
Wektor ω lez˙ y na chwilowej osi obrotu. W ruchu kulistym sa˛ 3 stopnie swobody- 3 równania ruchu
ϕ = ϕ (t) , ψ = ψ (t) , υ = υ (t) .
Poniewaz˙
rA jest wektorem stałym, nic nie stoi na przeszkodzie, by
pocza˛tki obu układów były wspólne.
ϕ- ka˛t obrotu własnego,
ψ- ka˛t precesji,
υ- ka˛t nutacji.
Pre˛dko´s´c ka˛towa w układzie Eulera
ω =
ϕ˙ k1 + ψ˙ k2 + υ˙ k3
ω = ω1 + ω2 + ω 3,
ω1- pre˛dko´s´c ka˛towa obrotu własnego,
ω2- pre˛dko´s´c ka˛towa precesji,
ω3- pre˛dko´s´c ka˛towa nutacji.
Wyznaczymy teraz składowe prostoka˛tne ω w układzie x, y, z (ω2
na podstawie ostatniego rysunku).
ω 2 = [0, 0, ω2] ,
ω 3 = [ω3 cos ψ, ω3 sin ψ, 0] .
Na podstawie poniz˙ szego rysunku wyznaczymy ω1.
ω 1 = [ω1 sin υ sin ψ, −ω1 sin υ cos ψ, ω1 cos υ] .
Poniewaz˙ ω1 = ϕ˙ , ω2 = ψ˙ , ω3 = υ˙ , mamy
ωx = ω1 sin υ sin ψ + ω3 cos ψ = ϕ˙ sin υ sin ψ + υ˙ cos ψ,
ωy = −ω1 sin υ cos ψ + ω3 sin ψ = −ϕ˙ sin υ cos ψ + υ˙ sin ψ, ωz = ω1 cos υ + ω2 = ϕ˙ cos υ + ψ˙ ,
natomiast w układzie ruchomym
ωξ =
ωη =
ωζ =
ψ˙ sin υ sin ϕ + υ˙ cos ϕ, ψ˙ sin υ cos ϕ − υ˙ sin ϕ,
ϕ˙ + ψ˙ cos υ.
Rozpatrzmy teraz szczególny przypadek ruchu kulistego, w którym υ =
const = υ0, ω1 = ϕ˙
= const, ω2 = ψ˙
= const. Poniewaz˙ υ˙
= 0, wie˛c
chwilowa pre˛dko´s´c ka˛towa be˛dzie wynosiła
ω = ω 1 + ω2.
Z rysunku wida´c, z˙ e
q
ω2
+ ω2
+ 2ω1ω2
cos υ0
oraz, z˙ e ω ma stała˛ warto´s´c i jest nachylona pod stałymi ka˛tami do osi
z i ξ. Aksoide˛ nieruchoma˛ jest stoz˙ ek o osi z, a ruchoma˛ stoz˙ ek o osi ξ.
Ten przypadek nazywa sie˛ precesja˛ regularna˛. Jez˙ eli ka˛t mie˛dzy pre˛dko´scia˛ ka˛towa˛ obrotu własnego a pre˛dko´scia˛ ka˛towa˛ precesji jest ostry, to mamy precesje˛ prosta˛, a gdy rozwarty- precesje˛ odwrotna˛.
Łatwo zauwaz˙ y´c, z˙ e w tym przypadku zwia˛zana z ciałem o´s ξ "wiruje"jednostajnie wokół osi z ze stała˛ pre˛dko´scia˛ ω 2- pre˛dko´scia˛ precesji.
2.12 Pre˛dko´s´c w ruchu kulistym
Sprowadzaja˛c pocza˛tek układu ruchomego do pocza˛tku układu stałego mamy
ri = ρi.
W chwilowym ruchu obrotowym
vi = ω × ri = ω × ρi .
Składowe pre˛dko´sci w układzie stałym
|
|
|
|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
Poniewaz˙ wszystkie punkty bryły posiadaja˛ pre˛dko´s´c równa˛ 0 na chwilowej
osi obrotu, sta˛d równaie chwilowej osi obrotu w układzie stałym
x y z
= =
ωx ωy ωz
lub
y = ωy x ωx z = ωz x ωx
= f1 (t) ,
= f2 (t) .
Jez˙ eli z tych równa´n wyrugujemy czas otrzymamy równanie aksoidy
stałej
F ³ y , z ´ = 0.
x x
Składowe pre˛dko´sci w układzie ruchomym
viξ = ωη ζ i − ωζ ηi, viη = ωz ξi − ωξ ζ i, viζ = ωξ ηi − ωη ξi.
Równanie osi chwilowej
ξ η ζ
= =
ωξ ωη ωζ
lub
η = ωη
ξ ωξ
ζ = ωζ
ξ ωξ
= g1 (t) ,
= g2 (t) .
Równanie aksoidy ruchomej
µ η ζ ¶
G ,
ξ ξ
= 0.
2.13 Przyspieszenie w ruchu kulistym
Przyspieszenie liniowe punktu bryły
ai = −→v˙
i = −→ω˙
× ri
+ ω × −→r˙ i,
ai = ε × ri + ω × (ω × ri) ,
ai = ε × ri + ω (ω ◦ ri) − ω2ri .
Składowe przyspieszenia w układzie stałym
aix = εy zi − εz yi + ωx (ωxxi + ωy yi + ωz zi) − ω2xi , aiy = εz xi − εxzi + ωy (ωxxi + ωy yi + ωz zi ) − ω2yi , aiz = εxyi − εy xi + ωz (ωxxi + ωy yi + ωz zi) − ω2zi .
W układzie ruchomym
aiξ = εη ζ i − εζ ηi + ωξ (ωξ ξi + ωη ηi + ωζ ζ i) − ω2ξi, aiη = εζ ξi − εξ ζ i + ωη (ωξ ξi + ωη ηi + ωζ ζ i) − ω2ηi, aiζ = εξ ηi − εη ξi + ωζ (ωξ ξi + ωη ηi + ωζ ζ i) − ω2ζ i.
2.13.1 Przyspieszenie ka˛towe w przypadku precesji reg- ularnej
Poniewaz˙ |ω| = const., a pochodna wektora jest styczna do jego hodografu, ponadto wektorem połoz˙ enia punktu D jest ω, sta˛d (pre˛dko´s´c ka˛towa
ω to ω 2)
Poniewaz˙ ω = ω 1 + ω 2, to
dω
dt
= ω2 × ω.
ε =
dω dt
= ω 2 × (ω1 + ω 2) = ω2 × ω1.
2.14 Ruch ogólny bryły
Ruch ogólny: ruch poste˛powy + kulisty, 6 stopni swobody.
Równania ruchu
xA = xA (t) , yA = yA (t) , zA = zA (t) , ϕ = ϕ (t) , ψ = ψ (t) , υ = υ (t) .
2.14.1 Pre˛dko´s´c w ruchu ogólnym
ri = rA + ρi,
vi = −→r˙
A + −→ρ˙ i ,
vi = vA + ω × ρi.
2.14.2 Przyspieszenie w ruchu ogólnym
−→a i = −→v˙
A + −→ω˙
× ρi + ω × −→ρ˙ i,
ai = aA + ε × ρi + ω × (ω × −→ρ i ) ,
ai = aA
|{z}
przysp. ruchu poste˛powego
+ ε × ρi
| {z }
przyspieszenie obrotowe
+ ω (ω ◦ −→ρ i ) − ω2−→ρ i.
| {z }
przyspieszenie doosiowe
2.15 Ruch wzgle˛dny
Układ x, y- nieruchomy, ξ, η- ruchomy.
Znajdziemy najpierw pochodna˛ bezwzgle˛dna˛ wektora ρ wzgle˛dem
czasu. W ruchomym układzie
ρ = ξξo + ηηo + ζζ o,
dρ
=
dt
dξ ξo +
dt
dη ηo +
dt
dζ ζ o
dt
dξo
+ ξ
dt
dηo
+ η
dt
dζ o
+ ζ , dt
dξo
dt
= ω × ξ ,
dηo
dt
= ω × ηo,
dζ o
dt
= ω × ζ .
Sta˛d
dρ
=
dξ ξo +
dη ηo +
dζ ζ o
+ ω × ³
ξo + ηηo + ζ ζ o´ ,
dt
dρ
=
dt
dt dt
δρ
δt
|{z}
ξ
dt
+ ω × ρ.
poch. wzgle˛dna
Pochodna bezwzgle˛dna wektora wzgle˛dem czasu jest równa sumie pochod- nej wzgle˛dnej i iloczynu wektorowego pre˛dko´sci ka˛towej przez dany wek- tor.
2.16 Pre˛dko´s´c w ruchu wzgle˛dnym
ri = rA + ρi,
−→r˙ i
= −→r˙
A + −→ρ˙ i ,
−→r˙ i
= −→r˙
δρ
A + + ω ρ , δt
vb = vu + vw ,
gdzie
vb = −→r˙
vu = −→r˙
i,
+ ω × ρi,
vw =
A
δρ
. δt
W ruchu wzgle˛dnym pre˛dko´s´c bezwzgle˛dna jest suma˛ geometryczna˛
pre˛dko´sci wzgle˛dnej i pre˛dko´sci unoszenia.
2.17 Przyspieszenie w ruchu wzgle˛dnym
Pre˛dko´s´c
vb = vA + ω × ρi + vw ,
−→v˙ b
= −→v˙
A + ε × ρi + ω × −→ρ˙
i + vw ,
−→ρ˙
δρ
= + ω
δt
× ρi
= vw +
× ρi,
−→v˙ w
δ µ δρ ¶
= +
δt δt
× vw
δvw
= + ω v . δt
Sta˛d
−→v˙ b
= −→v˙
A + ε × ρi + ω × (ω × ρi)+
δvw + 2ω v , δt × w
ab = −→v˙
aw = −→v˙
b,
+ ε × ρi + ω × (ω × ρi) ,
A
ac = 2ω × vw .
W ruchu wzgle˛dnym przyspieszenie bezwzgle˛dne jest suma˛ geometryczna˛ przyspieszenia wzgle˛dnego, przyspieszenia unoszenia i przyspieszenia Coriolisa.