Ekonomia menedżerska

Dr Tomasz Kijek

Wykład 1

Obszar zainteresowań ekonomii menedżerskiej

Proces podejmowania decyzji jest efektem ciągu sekwencyjnych czynności, które są pomiędzy sobą powiązane przyczynowo – skutkowymi, zaś ich wynikiem jest decyzja ostateczna (optymalna)

Etapy procesy podejmowania decyzji to:

1. Zdefiniowanie problemu

2. Określenie celu

3. Przygotowanie wariantów decyzji

4. Analiza skutków rozpatrywanych wariantów

5. Wybór wariantu optymalnego

6. Analiza wrażliwości

Rodzaje decyzji:

1. Decyzje strategiczne – podjęcie w tym przypadku decyzji odnosi się do dalekiej przyszłości, której decydent nie jest w stanie przewidzieć lub może ją przewidzieć tylko z pewnym prawdopodobieństwem np. wybór obszaru działalności

2. Decyzje taktyczne – występują, gdy należy doprecyzować decyzje strategiczne i dopasować je do zmieniających się warunków otoczenia np. ustalenia poziomu cen lub polityki zatrudnienia

3. Decyzje operacyjne – związane z planowaniem, koordynacją procesów realizowanych w przedsiębiorstwie i odnoszą się przede wszystkim do kosztów wytworzenia dóbr i usług

Decyzje prywatne –

Teorie przedsiębiorstwa

1. Nieklasyczna teoria przedsiębiorstwa – celem działalności jest maksymalizacja zysku zaś w dłuższym okresie maksymalizacja wartości przedsiębiorstwa zdefiniowana jako zaktualizowana wartość oczekiwanych przyszłych zysków

2. Model behawioralny – przedsiębiorstwo próbuje zmaksymalizować całkowitą wielkość sprzedaży przy założeniu osiągnięcia minimalnego poziomu zysku

3. Model społecznej odpowiedzialności biznesu - produkcja dóbr i usług sprzyja wzrostowi gospodarczemu, zapewnia wzrost zatrudnienia i w konsekwencji wpływa na poprawę stopy życiowej społeczeństwa.

W rzeczywistości w przedsiębiorstwie realizowana jest wiązka celów, jednakże ostatecznym celem jest maksymalizacja wartości przedsiębiorstwa.

Decyzje publiczne

W przypadku decyzji o charakterze publicznym cele rozważane są w znacznie szerszym zakresie. Przy podejmowaniu decyzji publicznych celem jest wzrost dobrobytu społecznego, przy czym przez społeczeństwo rozumie się wszystkie osoby, których interesy są brane pod uwagę i na które ma wpływ podjęcie określonej decyzji.

Przy podejmowaniu decyzji publicznych wykorzystuje się analizę kosztów i korzyści, która przebiega w następujących etapach:

1. Określenie wszystkich potencjalnych kosztów i korzyści danej decyzji

2. Pomiar bądź oszacowanie wartości pieniężnej kosztu i korzyści określonej decyzji

3. Podjęcie decyzji zgodnie z zasadą: podejmij program lub projekt tylko wtedy, gdy całkowite korzyści przewyższają ego całkowite koszty.

Wykład 2

Metody optymalizacji – analiza marginalna

1. Cel:

1. Omówienie założeń analizy marginalnej

2. Przedstawienie zasad podejmowania decyzji produkcyjnych i cenowych w przedsiębiorstwie maksymalizujących zysk

1. Kluczowe pojęcia

• Korzyść marginalna

• Koszt marginalny

• Korzyść netto

Analiza marginalna
Maksymalizacja korzyści netto NB tj. różnica pomiędzy korzyścią całkowitą – TB, a kosztem całkowitym – TC osiąganymi z działalności gospodarczej, oznacza iż należy tak długo zmieniać poziom działalności gospodarczej – a (activity), aż nie stwierdzimy, że korzyści wynikające z tej zmiany (korzyści krańcowe – MB) zrównają się z kosztem, jaki ta zmiana pociąga za sobą (koszt krańcowy – MC)

MB > MC rozwój działalności

MB < MC ograniczanie działalności

MB = MC optymalny poziom działalności

Zasada malejących korzyści krańcowych
Wraz ze wzrostem rozmiarów krańcowych maleją korzyści osiągane ze zwiększenia działalności o dodatkową jednostkę – maleją korzyści marginalne/ krańcowe

Korzyść całkowita TB (a)

Korzyść krańcowa MB (a) = TB’(a)

Zasada rosnących kosztów krańcowych
Wraz ze wzrostem rozmiarów działalności wzrastają koszty ponoszone na zwiększaniu działalności i dodatkową jednostkę – rosną koszty marginalne/ krańcowe.

Koszt całkowity TC (a)

Koszt krańcowy MC (a)=TC’(a)

Maksymalizacja funkcji korzyści netto

Wniosek: każdy podmiot gospodarczy dążący do maksymalizacji korzyści netto ze swojej działalności powinien zwiększać ją lub zmniejszać, aż do momentu zrównania się korzyści krańcowych z kosztami krańcowymi.

Decyzje przedsiębiorstwa
Dla producenta korzyścią całkowita jest utarg (przychód) całkowity ze sprzedaży dóbr – TR. Jeżeli każda jednostka dobra jest sprzedawana po identycznej cenie, to utarg jest iloczynem ceny – P i ilości sprzedanego dobra – Q.

TR = P • Q

Utarg (przychód) krańcowy – MR informuje o ile zmieni się utarg całkowity po sprzedaniu kolejnej jednostki dobra .

$$MR = \frac{TR}{Q} = \frac{\text{δTR}}{\text{δQ}}$$

Kosztem całkowitym, jaki ponosi przedsiębiorstwo jest koszt ekonomiczny wytworzenia tego dobra. Koszt krańcowy to przyrost kosztu całkowitego wynikający z wytworzenia dodatkowej jednostki dobra.

$$MC = \frac{TC}{Q} = \frac{\text{δTC}}{\text{δQ}}$$

Korzyścią netto dla przedsiębiorstwa jest zysk całkowity – Π, czyli różnica między utargiem całkowitym a kosztem całkowitym.

Π = TR − TC

Maksymalizacja zysku ekonomicznego
Zdefiniowanie problemu

Firma oferująca jeden produkt na rynku musi ustalić cenę produktu i wielkość produkcji w celu maksymalizacji zysku.
Zapis formalny

Π(Q)→max maksymalizacja zysku

Π(Q) = TR(Q) − TC(Q) zysk to nadwyżka przychody nad kosztem

$M\Pi = \frac{\delta\Pi}{\delta Q} = 0$ warunek konieczny istnienia ekstremum, zysk marginalny równy zero

$M\Pi = \frac{\text{δTR}}{\text{δQ}} - \frac{\text{δTC}}{\text{δQ}} = 0$ $\frac{\delta^{2}\Pi}{\text{δQ}^{2}} < 0$ warunek dostateczny

$\frac{\text{δTR}}{\text{δQ}} = \frac{\text{δTC}}{\text{δQ}}$

MR = MC przychód krańcowy równa się kosztowi krańcowemu

Interpretacja pochodnej
Pochodna informuje o tempie przyrostu funkcji pierwotnej w stosunku do przyrostu jej argumentu. Graficznie wartość pochodnej w danym punkcie jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji pierwotnej w tym punkcie.

Funkcja y(x) maleje- pochodna y’(x) ujemna

Funkcja y(x) rośnie- pochodna y’(x) dodatnia

Funkcja y(x) osiąga min lub max- pochodna y’(x) równa 0

Wykład 3

Kluczowe pojęcia

• Funkcja popytu

• Analiza regresji

• Determinanty popytu

• Prognozowanie popytu

Funkcja popytu przedstawia zależność pomiędzy ilością dobra – Q, jaką nabywcy chcą i mogą w danym okresie nabyć a czynnikami ją określającymi, tj. determinantami popytu: ceną dobra – P, dochodem konsumenta – I, cena innego dobra - P_y (substytucyjnego - P_s lub komplementarnego - P_k), liczbę nabywców – N i innymi zmiennymi

Czynniki cenowe	Czynniki nie cenowe
Cena dobra – P(↑P→↓Q) Cena substytutów - Ps(↑Ps → ↑Q)	Dochody konsumentów – I(↑I→↑Q) Liczba nabywców - N(↑N → ↑Q)

Funkcja popytu może opisywać decyzje zakupowe pojedynczego nabywcy/konsumenta, tj. funkcja popytu indywidualnego, bądź też może opisywać zachowania grupy nabywców, tj. funkcja popytu rynkowego.

Wykorzystanie informacji o popycie każde przedsiębiorstwo dąży do uzyskania następujących informacji dotyczących popytu na oferowane dobro:

1. Które czynniki i w jakim stopniu wpływają (czy też będą wpływać) na ilość sprzedawanego dobra?

2. Ile będzie wynosił popyt na sprzedawane dobro w różnych okresach przyszłości, przy założeniu określonego poziomu czynników go determinujących ?

Oszacowanie funkcji popytu na produkt lub usługę przedsiębiorstwa jest podstawą formułowania m.in. optymalnych strategii cenowych i produkcyjnych.

Analiza regresji to metoda statystyczna, która pozwala określić ilościową zależność danej zmiennej ekonomicznej od jednej lub większej liczby zmiennych niezależnych.

Procedura regresji obejmuje kilka etapów:

1. Zbieranie danych o badanych zmiennych, tj. o popycie oraz o czynnikach na niego wpływających

2. Wybór zmiennych wpływających na popyt

3. Wybór postaci równania opisującego

4. Szacowanie współczynników równania popytu

5. Ocena dokładności (dopasowania) równania

6. Przeprowadzenie prognozy i ocena dokładności prognoz

AD1 Źródła informacji o popycie i jego determinantach

Wśród podstawowych źródeł informacji o popycie i jego determinantach wyróżniamy:

1. Historyczne dane statystyczna – są to dane liczbowe dotyczące statystyki gospodarczej kraju, jak również dane dotyczące historii działalności przedsiębiorstwa

2. Wywiady i badania ankietowe – wśród obecnych i potencjalnych klientów dzięki którym może uzyskać wiele cennych informacji o popycie na dobro

3. Kontrolowane badania rynku polegające na wytypowaniu kilku podobnych rynków i sprzedawaniu na nich danego wyrobu przy różnych wartościach kluczowych zmiennych decyzyjnych.

AD2 Wybór zmiennych wpływających na popyt

Jest wiele metod doboru zmiennych objaśniających do modelu regresji m.in. metoda Hellwiga, jednakże wyboru zmiennych wpływających na popyt można także dokonać intuicyjnie.

Zmienne wpływające na popyt muszą mieć związek ekonomiczny i logiczny ze zmienną objaśniającą (popytem)

Zmienne objaśniające muszą być generalnie dobrze skorelowane ze zmienną objaśniającą oraz słabo skorelowane między sobą. Można to sprawdzić na wykresie lub licząc współczynniki korelacji $r_{\text{xy}}r_{\text{xy}} = r_{\text{yx}} = \ \frac{\frac{1}{n}\sum_{t = 1}^{n}{(x_{1} - \overline{x})(y_{t} - \overline{y}})}{S_{x}S_{y}}$

AD3 Wybór postaci równania regresji

Pomocne w ustaleniu zależności między zmienną objaśnią (y), a zmiennymi objaśniającymi (x) jest sporządzenie wykresu przedstawiającego punktowy rozkład kolejnych obserwacji, a następnie wykreślanie krzywej najlepiej dopasowanej do poszczególnych obserwacji.

Podstawowe rodzaje zależności są następujące:

1. Liniowa – rodzaje poszczególnych obserwacji układa się w linii prostej

2. Kwadratowa – rozkład obserwacji układa się w parabole

3. Wykładnicza – rozkład obserwacji przypomina funkcję wykładniczą.

Przykładowe równanie poszczególnych funkcji popytu:

1. Q = a₀ + a₁P + a₂P_k + a₃I

2. Q = a₀ + a₁P + a₂P² + a₃P_k + a₄P_k²

3. Q = e^a₁P

Q – popyt na dane dobra, P – cena dobra, P_k – cena dobra komplementarnego, I – dochód realny nabywców

AD4 Szacowanie parametrów funkcji popytu liniowego jednoczynnikowa funkcja popytu na następującą postać:

Q = a₀ + a_1P + ε

Gdzie : Q – wielkość popytu, P – cena dobra, a₁, a₂ – parametry modelu, e – składnik losowy

Po oszacowaniu parametrów równanie zmiennej objaśniającej będzie miało następującą postać:

$$Q = {\hat{a}}_{0} + {\hat{a}}_{1}P$$

Q –wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej y₀, ${\hat{a}}_{0},\ \ {\hat{a}}_{1}$ – estymatory nieznanych parametrów a₀,   a₁

Estymatory parametrów równania regresji liniowej najczęściej szacuje się stosując klasyczną metodę najmniejszych kwadratów (KMNK)

AD5 Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów

Estymatory uzyskane KMNK minimalizują sumę kwadratów odchyleń wartości empirycznych od wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej tj. $\sum_{t = 1}^{n}{(Q_{t} - \hat{a_{0}} - \hat{a_{1}P_{t}})}^{2} \rightarrow min$

W celu oszacowania estymatorów parametrów funkcji popytu można zastosować funkcje REGLINP w arkuszu kalkulacyjnym Excel.

AD6 Interpretacja parametrów funkcji popytu

Estymator nieznanego parametru funkcji popytu informuje, o ile przeciętnie wzrosła lub zmalała wielkość popytu, gdy cetera paribus wielkość zmiennej objaśniającej zmieniła się o jednostkę.

Dla funkcji popytu rynkowego na dobro o postaci:

Q = 15 − 2P

Parametr prze zmiennej P i informuje, że przy innych czynnikach niezmiennych, wzrost ceny dobra o jednostkę powoduje przeciętnie spadek popytu na to dobro w 2 jednostki. Wyraz wolny tj. 15, informuje nas o chłonności rynku, tj. wielkości popytu przy cenie wynoszącej zero.

W przypadku funkcji popytu uwzględniającej więcej zmiennych objaśniających np. Q = 5 − 7P + 3P_s + 9I, estymatory uzyskane przy wykorzystaniu regresji wielokrotnej, maja analogiczną interpretację jak powyżej, np. wzrost dochodu o jednostkę powoduje przeciętnie wzrost popytu o 9 jednostek.

Najważniejsze statystyki:

1. Współczynnik determinacji

2. Błędy szacunku parametrów

3. Istotność zmiennych objaśniających

Prognozowanie popytu

Znając funkcję popytu można określić prawdopodobny popyt na dane dobro przy zakładanych wartościach zmiennych objaśniających.

W przypadku funkcji popytu rynkowego o postaci Q = 15 − 2P + 4I możemy określić wielkość popytu na produkt przedsiębiorstwa dla każdego poziomu ceny danego dobra i przeciętnego poziomu dochodu nabywców, np. dla ceny równej 5j, i dochodzie równym 100j. popyt będzie wynosił Q = 15 − 2 • 5 + 4 • 100 = 405j.

W przypadku funkcji popytu o postaci : lnQ = 2, 3 − 2ln(P) + 5ln(P_s)+5ln(I), którą otrzymujemy po obustronnym zlogarytmowaniu następującej funkcji popytu: Q = 10P⁻²P_s⁵I⁵, parametry przy logarytmach naturalnych zmiennych objaśniających informują nas o relatywnej/procentowej zmianie popytu w wyniku relatywnej/procentowej zmiany czynnika determinującego popyt, gdyż $\ln{(x)} \approx \frac{x}{x}$. Tak więc możemy prognozować, że wzrost np. ceny o 1% spowoduje spadek popytu o 2%.

Wykład 4

Analiza popytu i optymalna polityka cenowa

Kluczowe pojęcia:

• Elastyczność popytu

• Nadwyżka konsumenta

• Dyskryminacja cenowa

• Optymalny narzut na koszty krańcowe

• Taryfa dwuczęściowa

• Sprzedaż wiązana

Literatura LO I, rozdz. 3

Polityka cenowa firm posiadających siłę rynkową.

Ustalenie cen przez firmy posiadające siłę rynkową, tj. mające wpływ na cenę, wymaga znajomości cen popytu rynkowego. Skuteczna polityka cenowa wymaga analizy popytu i odpowiedniego zarządzania produkcją.
Ceny produktów firmy nieposiadających siły rynkowej ustalone są przez rynek. Pojedynczy procent musi skoncentrować się na takim zarządzaniu produkcją (i kosztami), aby maksymalizować zyski.

Elastyczność popytu

Znajomość elastyczności popytu wykorzystywana jest przez przedsiębiorstwa w podejmowaniu decyzji cenowych. Elastyczność popytu jest miarą względnej (procentowej) zmiany popytu na dane dobro do względnej zmiany czynnika oddziałującego na popyt.
Formuły elastyczności cenowej popytu można przedstawić następująco:

$$E_{p} = \frac{zmiana\ ilosci\ w\ \%}{zmiana\ ceny\ w\ \%} = \frac{\frac{Q}{Q}}{\frac{P}{P}} = \frac{QP}{PQ} = \frac{\text{δQP}}{\text{δPQ}}$$

Zmiany Zmiany

skokowe ciągłe

Jeżeli znamy elastyczność cenową popytu na dane dobro, możemy zbadać, jaki wpływ będzie miała zmiana ceny na jego sprzedaż. W tym celu wystarczy przekształcić wzór do postaci:

zmiana ilosci w %= E_p • (zmiana ceny w %)

Z reguły współczynnik E_p jest ujemy. W praktyce posługujemy się wartością bezwzględną współczynnika E_p. Jeżeli |E_p| > I mówimy, że popyt jest elastyczny. W sytuacji gdy |E_p| = I popyt określamy jako proporcjonalny, |E_p| < I – popyt nieelastyczny.

Funkcja popytu o zmiennej i stałej elastyczności cenowej
Elastyczność cenowa popytu jest różna w każdym punkcie liniowej funkcji popytu. Im wyższa cena, tym bardziej elastyczny popyt i odwrotnie.

|E_p| = +∞

|E_p| > 1

|E_p| = 1

|E_p| < I

|E_p| = 0

$$Q = a + bP \rightarrow E_{p} = \frac{\text{δQ}}{\text{δP}}\frac{P}{Q} = b\frac{P}{Q}$$

Elastyczność cenowa popytu jest stała dla potęgowej funkcji popytu o postaci: Q = kP^α

|E_p| = α

$$Q = k^{p\alpha} \rightarrow E_{p} = \frac{\text{δQ}}{\text{δP}}\frac{P}{Q} = \text{kαP}^{\alpha - 1}\frac{P}{\text{kP}^{\alpha}} = \alpha$$

Elastyczność cenowa popytu a zmiana utargu całkowitego dla liniowej funkcji popytu
Fakt, że przy popycie proporcjonalnym utarg całkowity jest największy możemy znaleźć poziom ceny, dla której wartość sprzedaży jest maksymalna

|E_p| > 1

|E_p| = 1

|E_p| < I

Q₀

Cena oparta na pełnych kosztach
W praktyce przedsiębiorstwa ustalają cenę stosując zasady narzutu na koszt całkowity przeciętny –ATC

P = (1+m)ATC

Gdzie: m – narzut na koszty przeciętne

Uwzględnienie kosztów stałych (pozwala w kosztach przeciętnych manie nie w końcowych) może prowadzić do błędnych decyzji cenowych

Zasada optymalnego narzutu na koszty krańcowe
Wielkość stosowanego przez przedsiębiorstwo narzutu – markup (narzut ponad koszt krańcowy wyrażanego jako procent kosztu krańcowego), będącego podstawą konkurencji ceny, jest odwrotnie proporcjonalna do cenowej elastyczności popytu na dane dobro czy usługę

$$\frac{(P - MC)}{P} = \frac{- 1}{E_{p} + 1}$$

Cena gwarantująca maksymalne zyski jest więc iloczynem kosztu krańcowego w współczynnika narzutu.

$$P = MC\left( \frac{E_{p}}{1 + E_{p}} \right)$$

Uwaga: zasada ta ma zastosowanie w przypadku popytu elastycznego, tj: |E_p| > 1

Nadwyżka (renta) konsumenta
Nadwyżka funkcji popytu pozwala na obliczenie nadwyżki konsumenta.
Nadwyżka konsumenta związana jest z sytuacja, gdy nabywca jest skłonny zapłacić za produkt zgodnie ze swoimi preferencjami a rynek wycenia ten produkt niżej. Różnica między ceną,, którą za dany produkt jest skłonny zapłacić konsument a ceną rynkowa stanowi nadwyżkę konsumenta

Nadwyżka konsumenta - CS

Nadwyżka konsumenta dla liniowej funkcji popytu równa jest polu trójkąta CS = PME

Menedżerowie dążą do przejęcia nadwyżki konsumenta stosując różne strategie cenowe, np. dyskryminacji cenowej.

Dyskryminacja cenowa
Dyskryminacja cenowa polega na sprzedaży kolejnych jednostek dobra po różnych cenach (dyskryminacja I i II stopnia) lub podziale rynku na segmenty i ustaleniu różnych cen dla poszczególnych segmentów.

Dyskryminacja cenowa I stopnia stosowana tam, gdzie można przechwycić całą nadwyżkę konsumenta pobierając od konsumenta maksymalną cenę, jaką jest on skłonny zapłacić

Dyskryminacja cenowa II stopnia stosowana tam, gdzie konsument płaci różną cenę w zależności od ilości jaką nabywa (np. rabaty ilościowe)

Dyskryminacja cenowa III stopnia stosowana tam, gdzie konsumenci są podzieleni na segmenty (np. według płci, wieku, itp.) i pobiera się od nich różne ceny (niezależnie od okupowanej ilości).

Taryfa dwuczęściowa
W sytuacji, gdy znana jest funkcja popytu „typowego konsumenta”, zastosowanie taryfy-opłaty dwuczęściowej pozwala na przejęcie przez producenta całej nadwyżki konsumenta.
Cena składa się z dwóch elementów stałej opłaty (T) oraz opłaty jednostkowej (P) np. klub tenisowy (opłata za członkostwo, za korzystanie z kortu).

Stała opłata T=16PLN

Opłata jednostkowa

Dyskryminacja cenowa I stopnia

Zyski 5(4-0)(10-2)=16PLN

Koszty całkowite 8 PLN

Ograniczenia stosowania:

1. Zbyt wielu nabywców (niepraktyczna)

2. Niemożliwe oszacowanie maksymalnej ceny, jaka skłonny jest zapłacić każdy konsument

Dyskryminacja cenowa II stopnia

W praktyce stosuje się tabelę opłat, w ramach której cena jest malejącą funkcją nabywanej ilości.

Dyskryminacja cenowa III stopnia

Zakładając, że popyt całkowity na dany produkt jest zgłaszany przez dwie grupy nabywców cechujące się różną elastycznością cenową popytu |E_p1| > |E_p2|, można stwierdzić, że grupa pierwsza jest bardziej wrażliwa na zmianę ceny, niż grupa druga, tak więc ceny maksymalizujące zysk wynoszą odpowiednio:

$P_{1} = MC\left( \frac{E_{p1}}{{1 + E}_{p1}} \right)$ MR₁ = MR₂ = MC

$$P_{2} = MC\left( \frac{E_{p2}}{{1 + E}_{p2}} \right)$$

P₁<P₂

Sprzedaż wiązana

Sprzedaż wiązana- bundling jest strategią cenową polegającą na sprzedaży nabywcom w pakieciedwóch lub więcej produktów, tak aby cena takiego pakietu była niższa od sumy cen poszczególnych produktów nabywanych osobno.
Zastosowanie sprzedaży wiązanej jest uzasadnione, gdy relacje cen, jakie nabywcy (segmenty) chcą zapłacić za poszczególne produkty w pakiecie są odwrotne dla poszczególnych nabywców (segmentów).
strategie lepiej sprawdza się dla produktów mających pewne cechy podobieństwa, produkty zaś całkiem różne należy raczej sprzedawać oddzielnie.

Wykład 5

Decyzje produkcyjne w przedsiębiorstwie

Kluczowe pojęcia:

• Funkcja produkcji

• Technologia

• Korzyści skali

• Optimum produkcji w długim i krótkim okresie

Zadania menadżera w zarzadzaniu procesem produkcyjnym

Podstawowe cele menadżera w odniesieniu do organizowania procesu produkcyjnego to:

1. Zapewnienie, że przedsiębiorstwo wytwarza dobra/usługi zgodnie z funkcją produkcji

2. Zapewnienie, ze przedsiębiorstwo wykorzystuje właściwe ilości czynników produkcji/nakładów

Funkcja produkcji przedstawia maksymalną wielkość produkcji, jaką przedsiębiorstwo może osiągnąć z danej kombinacji czynników produkcji.

Technologia jest to określona ilość kombinacji nakładów czynników wytwórczych stosowana w procesie produkcji.

Czynniki produkcji są to zasoby wytwarzane w procesie produkcji dóbr. Zasoby klasyfikowane są najczęściej w ramach czterech kategorii: praca – L, kapitał – K, ziemia – M, wiedza – E.

Produkcja w długim i krótkim okresie

Krótki okres – to taki, w którym przyrost produkcji następuje wyłącznie w wyniku zmian jednego z czynników, a nakłady pozostałych czynników są stałe. Jeżeli zakładamy, że nakładami są kapitał i praca to w krótkim okresie kapitał traktowany jest jako czynnik stały, a praca jako czynnik zmiany.
Długi okres – to taki, w którym mogą zmieniać się wszystkie nakłady oraz występują zmiany w technologiach produkcji.
Podział na okres krótki i długi ma charakter umowny i zależy od specyfikacji branży.

Optymalne wykorzystanie czynnika produkcji w krótkim okresie
Produkt marginalny (PM) – to przyrost produkcji osiągany z dodatkowej jednostki czynnika zmiennego (pracy-L), przy pozostałych czynnikach stałych.

$$\text{MP}_{L} = \frac{Q}{L} = \frac{\text{δQ}}{\text{δL}}$$

Marginalny przychód z czynnika produkcji oznacza przyrost przychodu całkowitego (wartość sprzedaży) w wyniku zwiększenia nakładu danego czynnika o jednostkę

MRP_L = MR • MP_L

Optymalne wykorzystanie czynnika zmiennego (pracy) występuje gdy marginalny przychód z tego czynnika - MRP_L zrównuje się z jego kosztem krańcowym - MC_L, a więc:

MRP_L = MC_L

gdzie: $\text{MC}_{L} = \frac{TC}{L} = \frac{\text{δTC}}{\text{δL}}$

Decyzje produkcyjne w długim okresie
W długim okresie przedsiębiorstwo może zmieniać nakłady wszystkich czynników produkcji, co wymaga określenia:

1. Proporcji, w jakich czynniki produkcji są wykorzystywane w procesach wytwórczych oraz ewentualnych zakresów substytucji

2. Skali inwestycji tj. jaka jest najbardziej opłacalna (minimalizująca koszty) metoda rozszerzenia działalności?

Optymalne wykorzystanie czynników produkcji w długim okresie
Maksymalizacja produkcji przy danych kosztach, aby relacje produktów marginalnych czynników wytwórczych do ich cen (w – cena pracy, r – cena kapitału) były sobie równe. Dla dwóch czynników produkcji mamy więc tj.:

maxQ = f(L,K) ∖ n

$${\frac{\text{δZ}}{\text{δL}} = \frac{\text{δQ}}{\text{δL}} = \lambda w = 0\ \_(1)}{\frac{\text{δZ}}{\text{δK}} = \frac{\text{δQ}}{\text{δK}} = \lambda r = 0\ \_(2)}{\frac{\text{δZ}}{\text{δλ}} = TC - wL - \lambda k = 0\ \_(3)}$$

$$\frac{\text{PM}_{L}}{w} = \frac{\text{PM}_{k}}{r}$$

Korzyści skali

Skala produkcji przedsiębiorstwa oznacza wielkość nakładów z wszystkich stosowanych przez nie czynników produkcji.

Zmiana skali jest rozumiana jako określona procentowa zmiana nakładów wszystkich czynników produkcji.

Przychody ze skali to miara procentowej zmiany wielkości produkcji wynikającej z danej procentowej zmiany czynników produkcji. Wyróżnia się trzy rodzaje przychodów ze skali , tj.:

1. Stałe przychody ze skali – występują wówczas gdy dana procentowa zmiana wszystkich czynników produkcji wywołuje dokładnie taką samą procentową zmianę wolumenu produkcji, tj. przedsiębiorstwo może łatwo powielać swój proces produkcji.

2. Rosnące przychody ze skali – występują wówczas gdy dana procentowa zmiana wszystkich czynników produkcji wywołuje większą procentową zmianę wolumenu produkcji, np. dzięki wykorzystaniu nowych technologii czy specjalizacji siły.

3. Malejące przychody ze skali – występują wówczas gdy dana procentowa zmiana wszystkich czynników produkcji wywołuje mniejszą procentową zmianę wolumenu produkcji, np. w skutek problemów z koordynacją w wielu poziomach zarzadzania.

Liniowa funkcja produkcji
Zakładając że praca i kapitał są doskonałymi substytutami, funkcja produkcji przyjmuje następującą postać:

Q = aL + bK + c

gdzie a, b i c są parametrami, które należy oszacować na podstawie dostępnych danych. Produkt końcowy każdego z czynników produkcji jest stały:

MP_L = a   oraz   MP_K = b

Jeśli nakłady są doskonałymi substytutami, to przedsiębiorstwo będzie wybierać ten z nakładów, który jest tańszy na jednostkę produkcji, a więc funkcja kosztu jest następująca:

$$TC = \min{\left\lbrack \frac{w}{a},\frac{r}{b} \right\rbrack Q}$$

Funkcja produkcji COBBA-DOUGLASA

W formie dwuczynnikowej funkcja Cobba-Douglasa ma postać:

Q = cL^cK^β

gdzie:

a – łączna produkcyjność czynników produkcji tzn. ile produktu otrzymamy jeżeli użyjemy jednej jednostki nakładu

α- elastyczność produkcji względem pracy, informuje o ile procent wzrośnie wielkość produkcji jeśli nakład pracy wzrośnie o 1%

β – elastyczność produkcji względem kapitały, informuje o ile procent wzrośnie wielkość produkcji jeśli nakład kapitału wzrośnie o 1%

Charakter przychodów ze skali zależy od sumy wykładników potęg:

α + β = 1 − stale przychody z skali ∖ nα + β > 1 − rosnace przychody z skali ∖ nα + β < 1 − malejace przychody z skali

Szacowanie funkcji produkcji
Decyzje produkcyjne mogą, być podejmowane prze wykorzystaniu funkcji produkcji jeżeli ostaną one skonstruowane i oszacowane .

Oszacowanie funkcji produkcji może odbywać się w oparciu o:

1. Dane techniczne dotyczące zależności technologicznych w fizycznych procesach produkcji (podejście inżynierskie)

2. Dane ekonomiczne (informacje statystyczne) – występujące w formie szeregów czasowych lub jako dane przekrojowe o charakterze ex post.

Estymacją parametrów liniowej funkcji produkcji oraz funkcji Cobba-Douglasa postaci zlogarytmizowanej tj. (lnQ = lnc + αlnL + βlnK)można dokonać w oparciu o Klasyczną Metodę Najmniejszych Kwadratów – KMNK

Alokacja pojedynczego czynnika pomiędzy różne zakłady.
Jeżeli przedsiębiorstwo chce wytworzyć dany wolumen produkcji przy najniższych kosztach, to powinno rozdzielić wolumen produkcji pomiędzy dwa zakłady (A i B) aby ich produkty krańcowe były równe, tj. MP_A = MP_B

Wykład 6

Analiza kosztów-korzyści skali i zakresu

• Koszty utopione

• Korzyści zakresu

• Minimalna skala efektywna

• Krzywa uczenia się

Koszty istotne prze podejmowaniu decyzji o zmianie skali działalności

Z punktu widzenia zmiany zakresu działalności jedynymi istotnymi kosztami są te które zmieniają się wraz ze zmianą skali działalności (wariantu działalności )

Rodzaj kosztów	Definicja	Istotne?
Stałe	Koszty, których wielkości nie zmienia się w zależności od przyjętego wariantu działania	Nie
Utopione (historyczne)	Poniesiony wydatek, którego nie można odzyskać	Nie
Zmienne	Koszty, których wielkość zmienia się w zależności od przyjętego wariantu działania	Tak
Marginalne	Zmiana kosztów całkowitych wynikająca ze zmiany produkcji o jedną jednostkę	Tak
Alternatywne	Wielkość korzyści, jakie mógłby przynieść alternatywny wariant działania	Tak

Koszty produkcji w krótkim okresie
Funkcja produkcji jest relacja między kosztami produkcji (TC) i odpowiednią wielkością produkcji (Q):

TC = f(Q)

W krótkim okresie można wyróżnić następujące rodzaje kosztów:

• Koszty stałe (FC)

• Koszty zmienne (VC)

• Koszty całkowite (TC=FC+VC)

• Koszty przejęte: stałe, zmienne, całkowite (AFC=FC/Q, AVC=VC/Q, AC=TC/Q)

• Koszty marginalne $MC = \frac{\text{δTC}}{\text{δQ}}$

Koszty przeciętne w długim okresie – przychody ze skali
W długim okresie przedsiębiorstwo może dowolnie zmieniać nakłady wszystkich czynników produkcji. W konsekwencji wszystkie koszty są kosztami zmiennymi. Kształt krzywej kosztów długookresowych przeciętnych zależy od charakteru przychodów ze skali.

(a) Zmieniające się przychody dla Q>MSE (c) stałe przychody ze skali dla Q>MSE

MSE – minimalna skala efektywna (najmniejsza możliwa wielkość produkcji dla której koszt przeciętny osiąga min.)

Korzyści zakresu
korzyści zakresu – economies of scope (korzyści produkcji łącznej) występują wtedy, gdy łączne koszty wytworzenia różnych produktów są niższe niż suma kosztów ich oddzielnego wytworzenia.

Przykłady:

• Rolnictwo – plan główny i plany uboczne;

• Produkcja elektroniczna – typoszeregi obudów, zasilaczy, pozwalające na zwiększenie wielkości zamówienia

• Produkcja samochodów – typoszeregi części

$$\boxed{KZ = \frac{{K(Q}_{1}) + {K(Q}_{2}) - {K(Q}_{1},Q_{2})}{{K(Q}_{1}) + {K(Q}_{1})}}$$

Decyzje inwestycyjne związane z wejściem na nowy rynek
W celu ustalenia czy inwestycja (np. wejście na nowy rynek) wymagająca poniesienia kosztów stałych jest zyskowna należy określić, czy wielkość sprzedaży pozwoli osiągnąć ilościowy próg rentowności (BEP):

$$BEP = \frac{\text{FC}}{P - MC}$$

Koszty stałe trzeba brać pod uwagę przed ich poniesieniem.

Analiza progu rentowności nie może być podstawą decyzji podniesienia ceny lub zwiększenia produkcji.

Ceny zamknięcia
w krótkim okresie przedsiębiorstwo powinno kontynuować produkcję dopóty, dopóki cena pokrywa (przewyższa) przeciętne koszty zmienne – AVC

s / jedn. produktu

MC AC

p* AVC

MR popyt produkcja

Q*

W długim okresie przedsiębiorstwo powinno zamknąć zakład i wyjść z gałęzi, gdy cena kształtuje się na poziomie kosztów przeciętnych – AC.

Krzywa uczenia się
krzywa uczenia się przedstawia odwrotną zależność między kosztem przeciętnym a skumulowaną (w czasie) wielkością produkcji.

Opis krzywej uczenia się często sprowadza się do określenia jak podwojenie skumulowanej produkcji wpłynie na koszt przeciętny. Jeżeli podwojenie skumulowanej produkcji skutkuje obniżą kosztu przeciętnego o 20%, to stopa uczenia się (stosunek nowego kosztu przeciętnego do pierwotnego) stanowi 80% stopa uczenia się wynosi 2^b.

AC = aQ^b

Gdzie:

AC – koszt przeciętny

Q – skumulowana wielkość produkcji

B – elastyczność kosztów

przeciętnych względem produkcji

Skumulowana produkcja a>0, b<0

Przesłanki błędów decyzyjnych
W praktyce czasami występują dwa przypadki błędnych przesłanek przy podejmowaniu decyzji menedżerskich , tj.:

1. Przekonanie o możliwości zwiększenia zysku przedsiębiorstwa w miarę powiększania korzyści skali (zbliżania się do minimum kosztów przeciętnych), przy braku uwzględniania warunku marginalnego zapewniającego maksymalizację zysku.

2. Przekonanie o konieczności podwyżki cen w celu zwiększenia zysku, jeżeli obecny poziom produkcji i ceny w przedsiębiorstwie jest niezadawalający

s / jedn. produktu

AC MR^( ) popyt^( )

P

MR popyt Q

Q⁽⁾ Q^( ) Q_min Q^( )

( ) => nie widziałem co było na slajdzie

Wykład 7

Siła rynkowa przedsiębiorstwa

• Struktura rynku

• Paradygmat S-C-P

• Bariery wejścia

• Siła rynkowa

• Dobrobyt społeczny

Struktura rynku – pojęcie, typologia

Struktura rynku to określenie modelu opisującego charakterystyki rynku i ich wpływ na zachowania podmiotów na nim funkcjonujących

Podstawowe kryteria typologiczne struktury rynku:

• liczba przedsiębiorstw w gałęzi

• siła barier wejścia na rynek

• możliwości zróżnicowania produktów

• przekonanie pojedynczego przedsiębiorstwa o wpływie na cenę

Wśród podstawowych struktur rynku wyróżniamy konkurencję doskonała (brak przedsiębiorstwa na czele), oligopol, konkurencję monopolistyczną, monopol (maksymalna siła rynkowa umożliwiająca podnoszenie cen ponad koszt krańcowy)

Paradygmat S-C-P

Zgodnie z klasycznym paradygmatem struktura-zachowanie-wynik (SCP), struktura rynku wywiera bezpośredni wpływ na zachowanie (strategię działania) przedsiębiorstwa, w tym decyzje cenowe, produkcyjne, promocyjne, integracyjne i B&R, które następnie determinują wynik działalności organizacji (rentowność, produktywność)

Struktura rynku =>zachowania=> efekty

Współczesna (uaktualniona) wersja paradygmatu S-C-P zakłada, że:

• zachowania rynkowe wpływają na strukturę rynkową

• wyniki działalności maja wpływ zarówno na strukturę rynku jak i na zachowania przedsiębiorstw

Typologia struktur rynkowych wg wskaźnika koncentracji

Najbardziej rozpowszechnioną miarą struktur rynku jest wskaźnik koncentracji. Do najczęściej stosowanych wskaźników koncentracji zalicz się

• wskaźnik koncentracji CR_K, który stanowi sumę udziałów rynkowych k – największych przedsiębiorstw w danej gałęzi:

$$\text{CR}_{K} = \sum_{i = 1}^{K}S_{i}$$

S_i – udział i-tego sprzedawcy w rynku

Wskaźnik ten przejmuje wartość od 0 do 100%.

• Wskaźnik Herfindahla-Hirschmana, przyjmujący wartość od 0 do 100% liczony jest jako suma udziałów wszystkich firm w podnieconych do kwadratu

$$HHI = \sum_{i = 1}^{n}S_{i}^{2}$$

Forma rynku	CRK	HHI
Konkurencja doskonała	0-40	0-1000
Luźny oligopol	40-60	1000-1800
Ścisły oligopol-monopol	60-100	1800-10000

Test analityczny struktur rynku

Technika statyki porównawczej zakłada możliwość identyfikacji struktur rynku na podstawie oszacowania wyrażenie:

$$PR = \sum_{i = 1}^{m}{\frac{W_{i}}{\text{TR}^{*}} \bullet \frac{\delta\text{TR}^{*}}{\delta W_{i}}}$$

Pr stanowi sumę elastyczności funkcji przychowu całkowitego – TR względem cen czynników wytwórczych – Wi

W przypadku monopolu, PR pozwala określić jak zmienią się przychody monopolisty w przypadku wzrostu kosztów o 1%. Uwzględniające, iż monopolista oferuje wielkość produkcji, dla której popyt jest elastyczny, wzrost kosztów marginalnych powoduje ograniczenie produkcji a więc spadek TR, tj. PR<0.
Jeżeli rynek nie jest zmonopolizowany to PR>0, zaś dla rynku doskonale konkurencyjnego w długim okresie PR=1

Barier wejścia

Bariery wejścia to czynniki, które powodują, iż przedsiębiorstwa działające na rynku mają przewagę nad potencjalnymi konkurentami, przez co są one zdolne podnosić ceny ponad przeciętne koszty produkcji.
Istnieje sześć głównych źródeł barier wejścia na rynek:

• Ekonomia skali

• Zróżnicowanie kapitałowe

• Dostęp do kanałów dystrybucji

• Gorsza sytuacja kosztowa przedsiębiorstw z zewnątrz (niezależnie od skali)

• Polityka państwa

  Bariery wejście i koncentracji rynku są podstawą relacji między strukturą rynku a wynikami.

  Koncentracja rynku a siła rynkowa

  Zgodnie z teorią rynkową, wyższy stopień koncentracji umożliwia sprzedawcom ograniczanie konkurencji i zwieranie porozumień cenowych, co prowadzi do wzrostu ich siły rynkowej (możliwości podniesienia ceny ponad koszt krańcowy) oraz zysków.

  Z kolei według teorii innowacji wyższy stopień koncentracji umożliwia „dużym” przedsiębiorstwom prowadzenie prac badawczo-rozowjowych, które pozwalają na obniżenie kosztów i wzrostu efektywności.

$$L = \sum_{i = 1}^{n}\left( \frac{P - \text{MC}_{i}}{P} \right) \bullet S_{i} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}S_{i}^{2}}{\varepsilon_{\text{cp}}}$$

$L^{n} = \frac{1}{|\varepsilon_{\text{cp}}|}$ L ∈ (0; 1)

konkurencja doskonała monopol

w przypadku monopolu indeks LerneraLⁿstanowi odwrotność współczynnika cenowej elastyczności popytu - ε_cp. Zgodnie z formułą indeksu Lernera, siła rynkową przedsiębiorstwa zależy nie tylko od warunków instytucjonalnych (np. pozycja monopolistyczna), ale również od warunków rynkowych.

Struktura rynkowa a dobrobyt społeczny

Dobrobyt społeczny – W, stanowiący sumę nadwyżki konsumenta – CS i nadwyżki producenta (suma zysków wszystkich firm działających na rynku), jest istotnym kryterium decyzyjnym w odniesieniu do regulacyjnej polityki państwa.

$$W = CS + \sum_{i = 1}^{n}\pi_{i}$$

Z punktu widzenia maksymalizacji dobrobytu społecznego najbardziej pożądaną sytuacją rynkową jest konkurencja doskonała, co skutkuje aktywną rolą państwa w niedopuszczaniu do monopolizacji rynku i ograniczania konkurencji.

Miara wpływu marginalnego zamian konfiguracji rynkowej (tj. zwiększenia wielkości podaży rynkowej w społecznie pożądanym kierunku) na dobrobyt społeczny jest gradientowy indeks Donsby’egoWiliga

$$DW = \left\lbrack \sum_{i = 1}^{n}\left\lbrack \frac{P_{i} - \text{MC}_{i}}{P_{i}} \right\rbrack^{2} \right\rbrack^{\frac{1}{2}}$$

Wykład 8

Decyzje menedżerskie w modelach konkurencji doskonałej i monopolu

• Konkurencja doskonała

• Monopol naturalny

• Monopol „wymuszony”

• Strata dobrobytu

  Konkurencja doskonała – założenia

  W modelu konkurencji doskonałej przyjmowane są następujące założenia odnoście warunków funkcjonowania przedsiębiorstw:

• Duża liczba nabywców i sprzedawców

• Wytwarzane dobra są doskonałymi substytutami (jednorodność dóbr)

• Doskonała informacja o warunkach rynkowych

• Brak barier wejścia

Kluczowa implikacja powyższych założeń to fakt, iż przedsiębiorstwo jest biorcą cen (nie ma wpływu na cenę rynkową)

Pomimo nierealności powyższych założeń istnieją przekonywujące argumenty wykorzystania tego modelu rynku do analizy decyzji menedżerskich gdyż:

• Wiele małych podmiotów funkcjonuje w warunkach braku wpływu na cenę rynkową a więc zasady podejmowania decyzji takich firm są podobne do ___ decyzyjnych wynikających z modelu konkurencji doskonałej

• Model uwidacznia „zagrożenie” dla menedżerów wynikające z funkcjonowania w otoczeniu konkurencyjnym, wskazuje możliwości zmiany tych warunków poprzez różnicowania produktów

Decyzje produkcyjne przedsiębiorstw w krótkim okresie

Przedsiębiorstwo, nie mając wpływu na cenę rynkową, ustala wielkość produkcji maksymalizując zysk, zgodnie z zasadą MC=MR. Biorąc pod uwagę, iż P=MR, to P=MC

Qr – optimum techniczne

Qe – optimum ekonomiczne

Decyzje produkcyjne przedsiębiorstwa w długim okresie

Przedsiębiorstwo maksymalizuje zysk w długim okresie, gdy P=LMC=LAC=MR, przy tak ustalonej wielkości produkcji zysk ekonomiczny jest równy zero, jednocześnie przedsiębiorstwo maksymalizuje zysk normalny i wytwarza po najwyższych kosztach (paradoks wolnej konkurencji)

Efektywne zróżnicowanie przedsiębiorstw

Kiedy nie wszystkie przedsiębiorstwa są tak samo efektywne technicznie tylko przedsiębiorstwo o najwyższych kosztach przeciętnych (przedsiębiorstwo marginalne) nie osiągnie dodatkowego zysku, pozostałe bardziej efektywne przedsiębiorstwa osiągną zyski ekonomiczne.

1. Każdy produkt bardziej efektywny

2. Produkt najmniej efektywny

W warunkach konkurencji doskonałej istnieją silne przesłanki do poszukiwania przez przedsiębiorstwa trwałej przewagi kosztowej.

Monopol

W warunkach monopolu na rynku działa jeden producent. Przyczyny monopolu mogą mieć charakter naturalny (ekonomia skali, ekonomia zakresu, komplementarność kosztów) lub wymuszony (patenty, licencje, koncesje, itd.).

Monopolista posiada siłę rynkową i ma wpływ na cenę rynkową. Zmiennymi decyzyjnymi w przypadku monopolisty są wielkości produkcji i cena, przy czym wybór zmiennej decyzyjnej pozbawiony jest znaczenia.

Ponieważ krzywa popytu na produkty monopolu pełnego jest równoznaczna z krzywą popytu rynkowego posiadającą nachylenie negatywne, zwiększenie rozmiarów sprzedaży wymaga zmniejszenia ceny, natomiast mniejsza sprzedaż może być realizowana po większej cenie.

Decyzje monopolisty w krótkim okresie

Monopolista, podobnie jak przedsiębiorstwa działające w warunkach doskonałej konkurencji, maksymalizuje zysk lub minimalizuje straty, gdy koszt krańcowy równa się utargowi krańcowemu (punkt Cournot) tj. MR=MC

Decyzje monopolisty w długim okresie

W długim okresie firma monopolistyczna nie może ponosić strat. Dochodzi więc do takich zmian produkcji, dzięki którym może obniżyć przeciętny koszt wytworzenia. Wyjątek stanowi sytuacja, gdy pomimo faktu, iż monopolista generuje straty, produkcja monopolu jest uważana za nie zbędną, więc jedynym rozwiązaniem jest subwencjowanie działalności monopolu.

Nieefektywność monopolu

Monopolizacja rynku prowadzi do ograniczenia podaży i wzrostu ceny w porównaniu z wielkością produkcji i ceną na rynku wolnokonkurencyjnym.

Strata dobrobytu (suma nadwyżki producenta i konsumenta) wynik odchylenia ceny monopolistycznej od kosztu krańcowego, co prowadzi do spadku nadwyżki konsumenta, który jest większa niż dodatkowy zysk osiągany przez monopolistę.

Przedsiębiorstwo monopolistyczne

Przedsiębiorstwo konkurencyjne – społecznie pożądany poziom cen i produkcji

Nieefektywność monopolu – czysta strata

Regulacja monopolu naturalnego

W celu wyeliminowania straty społecznej wynikającej z istnienia monopolu naturalnego, który pojawia się wówczas, gdy przeciętne koszty produkcji zmniejszają się dla wszystkich wielkości podaży, Państwo może podjąć decyzje o regulacji ceny rynkowej i ustalić ją w oparciu o koszt przeciętny

Optimum monopolu

Cena monopolu po redukcji

Regulacja ceny rynkowej przez Państwo jest utrudniona ze względu na ograniczony dostęp do informacji na temat kosztów monopolisty. Może to prowadzić do zawyżania kosztów przez monopolistę w celu uzasadnienia wyższego poziomu cen.

Wykład 9

Teoria gier a zachowania strategiczne przedsiębiorstw w warunkach oligopolu

• Równowaga Nasha

• Strategie mieszane

• Gra o sumie zerowej

• Gra sekwencyjna

Rynek oligopolistyczny

Oligopol to model rynku, na którym działa niewielka liczba firm (od 2 do 10). Firmy pomimo, że działają niezależnie od siebie uwzględniają wpływ decyzji podjętych przez inne firmy na własne decyzje i na odwrót – współzależność decyzji. Oligopoliści stają przed dylematem czy przyjąć strategię współdziałalności, porozumieć się i realizować wspólne cele, czy walczyć z konkurencją - zagarnięcie jej największej części rynku dla siebie.

Teorią , która pozawala na opis sytuacji konfliktowych, ale również sytuacji w których interesy oligopolistów są zgodne jest teoria gier.

Teoria gier

Teoria gier to zbiór koncepcji i zasad ukierunkowanych na myślenie strategiczne. Gra jest opisem strategicznych współzależności (relacji) między dwoma lub więcej graczami (podmiotami decyzyjnymi). Centralnym problemem dla teorii gier jest wybór strategii optymalnych.

Każdy podmiot decyzyjny (gracz) działa w sposób racjonalny, dążąc do osiągnięcia korzyści dla siebie, jednocześnie przyjmuje, iż konkurenci działają również racjonalnie.

Gra w postaci normalnej składa się z:

1. Graczy (co najmniej dwóch) I={1,…,N}

2. Strategii – planów dziaań A={A₁, …A_N}

3. Wypłata – miar stopnia osiągnięcia celu π = {π₁, …, π_N} dla każdego możliwego wyniku gry a={a₁, …, a_N}

Gra w postaci strategicznej

Gra w postaci strategicznej to przedstawienie uwarunkowań strategicznym pod postacią tabeli, gdzie wiersze ukazują strategie, spośród których może wybrać pierwszy gracz, kolimny – strategie, które ma do wyboru drugi gracz, a komórki – konsekwencje (wypłaty) poszczególnych decyzji z perspektywy obydwu graczy.

	Gracz 2
	STR 1
Gracz 1	STR 1
	STR 2

W sytuacji gdy gracze posiadają strategie dominujące tj. najkorzystniejszą strategie niezależnie od wyborów pozostałych graczy, to znika problem analizy równowagi, gdyż strategie dominujące są strategiami optymalnymi (w tablicy powyżej są to strategie SRT2 dla gracza 1 oraz STR2 dla gracza 2)

Identyfikacja równowagi

W celu identyfikacji równowagi Nashanależy po pierwsze odrzucić strategie zdominowane (selekcja strategii), a następnie znaleźć strategie, które tworzą optymalną odpowiedź na określone strategie pozostałych graczy. W równowadze wielkość wypłaty każdego gracza jest maksymalizowana w warunkach określonych przez wybór strategii przez przeciwnika i żaden gracz nie ma powodów do jednostronnego odstąpienia od strategii równowagi (stabilność równowagi)

1. Równowaga wielokrotna

	Gracz 2
	STR 1
Gracz 1	STR 1
	STR 2

1. Równowaga wielokrotna

	Gracz 2
	STR 1
Gracz 1	STR 1
	STR 2

1. Brak równowagi

	Gracz 2
	STR 1
Gracz 1	STR 1
	STR 2

- wybór gracza 2 przy danej strategii gracza 1

- wybór gracza 1 przy danej strategii gracza 2

Gry o sumie zerowej

W grach o sumie zerowej wygrana jednego z graczy jest tożsama ze stratą drugiej strony (np. gra o udział w rynku) w przeciwieństwie do gry o sumie dodatniej, gdzie zwiększenie się korzyści jednego gracza nie jest uzależnione od pogorszenia się korzyści innego gracza.

Dla gier o sumie zerowej przyjmujemy uproszczoną konwencję zapisu, do której tabela zawiera tylko wypłaty 1 gracza, wypłaty drugiego gracza są przeciwne od wypłat 1 gracza.

	Gracz 2
	STR 1
Gracz 1	STR 1
	STR 2

Punkt tabeli wypłat, którego wartość jest nie większa od innych wartości w jego pierwszym wierszu oraz nie mniejsza od innych wartości o jego kolumnie nazywamy punktem siodłowym.

Każdy punkt siodłowy jest rozwiązaniem gry.

Kooperacja czy zdrada: dylemat więźnia

Dylemat więźnia stworzony przez Dreshera i Flooda ilustruje zagadnienie racjonalnego uzasadnienia braku współpracy. W istocie zastosowanie tej strategii wykracza znacznie poza sytuację dylematu dwóch podejrzanych o przestępstwo. Gracze nie kontaktując się ze sobą, mają do wyboru: lojalność wobec towarzysza (nie przyznanie się przy założeniu, że on też się nie przyzna) lub zdrada – przyznanie się i wrobienie kolegi w zamian za złagodzenie kary.

	Gracz 2
	STR 1
Gracz 1	STR 1
	STR 2

Wynik obopólnej zdrady jest równowagą Nasha tej gry. Dylemat więc modeluje wiele zjawisk zachodzących w realnych sytuacjach społecznych, gospodarczych a nawet globalnych problemach ekologicznych świata, w których dwie strony mogą uzyskać obopólnie korzystny wynik przy zachowaniu kooperacyjnym, jednakże obawa przed egoistycznym zachowaniem partnera i chęć maksymalizacji własnych korzyści skłania je często do wyboru opcji niekooperacyjnej ("zdrady" w przyjętej tu terminologii) i uzyskaniu kiepskiego rezultatu. Przykładami są negocjacje, podział zasobów, konfrontacja związki zawodowe - zarząd firmy, rywalizacja departamentów w firmie, relacje pracownik - przełożony, relacje między współpracownikami i wiele innych.[!!!AKAPIT Z INTERNETU!!!]

Korzyści ze współpracy – turniej axelroda

Robert Axelrod ogłosił wśród specjalistów zajmujących się teorią gier turniej na najlepszą strategię będącą kombinacją posunięć. Współpraca – zdrada w interacji (z powtórzeniami) dylematu więźnia.

W turnieju, w którym każda strategia walczyła po kolei z wszystkimi innymi o zwycięstwo po kolei z wszystkimi innymi o zwycięstwo proste, nadesłane przez psychologa Anatola Rapoporta rozwiązanie o nazwie wet za wet (strategia relacji). Zgodnie ze strategią gracz zawsze zaczyna od współpracy, a następnie powiela posunięcia drugiej strony.

Strategia relacji jest skutecznym sposobem skłaniania konkurentów do współpracy.

Strategia ta posiada cztery zalety:

1. jest bardzo czuła – stosuje się ją po załamanie porozumienia

2. ma charakter odwetowy – kara za złamanie porozumienia jest natychmiastowa

3. jest czytelna

4. daje możliwość powrotu do współpracy

strategie mieszane

W przypadku gier, które nie mają w zbiorze strategii czystych (wybieranych w odpowiedzi na ruch przeciwnika prawdopodobieństwem 100%), równowagi poszukujemy w zbiorze strategii mieszanych. Strategie mieszaną nazywamy taki sposób gry, w którym gracz wybiera dostępne opcje w sposób losowy z prawdopodobieństwem p. Zgodnie z definicją równowaga w strategiach mieszanych, ma taką własność, że żaden z graczy nie może podwyższyć swojej wygranej (jej wartości oczekiwanej – EV) poprzez jednostronną zmianę swojej strategii.

	Gracz 2
	STR 1
Gracz 1	STR 1
	STR 2

EV₁ = EV₂ ∖ nqa + (1−q)c = qe + (1−q)g ∖ nEV₃ = EV₄ ∖ nqb + (1−q)f = qd + (1−q)h

Gry sekwencyjne

W ramach gry sekwencyjnej (dynamicznej) uczestnicy wykonują swoje ruchy po kolei. Grę sekwencyjną można przedstawić za pomocą drzewa gier, składającego się z węzłów i gałęzi. Węzeł symbolizuje moment wyboru dokonywany przez gracza, natomiast gałęzie z niego wychodzące oznaczają opcje dostępne w danym wariancie rozgrywki:

Grę sekwencyjną rozwiązuje się w oparciu o metodę indukcji wstecznej zakładając rozpoczęcie wnioskowania od analizy przesuwania się w kierunku węzła początkowego.

Wykład 10

Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności

• Niepewność

• Drzewo decyzji

• Wartość oczekiwana

• Użyteczność oczekiwana

Fazy procesu decyzyjnego w warunkach niepewności

Proces wyboru optymalnej decyzji w warunkach niepewności obejmuje następujące etapy:

1. Sporządzenie listy istniejących wariantów decyzyjnych (działania)

2. Próba oszacowania wyników podjętych działań (realizacja poszczególnych wariantów)

3. Ocena prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych zdarzeń

4. Określenie własnego stosunku do każdego z wyników podjętych działań (stosunku do ryzyka)

Cechy szczególne decyzji w warunkach niepewności to konieczność oceny: prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń (wyników podjętych decyzji), własnego stosunku (menedżera, firmy) do ryzyka.

Niepewność i prawdopodobieństwo

Niepewność (ryzyko) oznacza sytuację, w której istnieje więcej niż jeden możliwy wynik podjętej decyzji. Najogólniej biorąc, im większe rozproszenie możliwych wyników, tym większa niepewność (ryzyko).

Prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia (wynik) to szansa wystąpienia tego zdarzenia (wyniku).

W przypadku istnienia obiektywnych podstaw oceny szansy wystąpienia zdarzenia (np. w przypadku danych statystycznych) prawdopodobieństwo rozumiane jest jako częstość wystąpienia zdarzenia w długim okresie.

Zgodnie z podejściem subiektywnym, prawdopodobieństwem jakiegoś wyniku jest jego ilościowo wyrażone przekonanie osoby podejmującej iż wynik ten wystąpi.

Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana – średnia ważona, zmiennej losowej (wyników działań), gdzie3 wagami są prawdopodobieństwa wystąpienia wszystkich możliwych wyników – zawierające się w przedziale od 0 do 1. Dopełniające się do jedności. O wartości oczekiwanej decyduje zatem rozkład prawdopodobieństwa.

$$EV = p_{1}v_{1} + p_{2}v_{2} + p_{3}v_{3} + \ldots + p_{n}v_{n} = \sum_{i = 1}^{n}{p_{i}v_{i}}$$

Wartość oczekiwana nie dostarcza informacji o poziomie ryzyka związanego z możliwością wystąpienia poszczególnych wyników działania.

Wariancja jako miara ryzyka

Popularną miarą ryzyka bezwzględnego jest wariancja - S², która jest sumą iloczynów prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych wyników i kwadratów ich odchyleń odwrotności oczekiwanej.

Pierwiastek kwadratowy z wariancji, odchylenie standardowe – wskazuje, jakie jest średnie odchylenie wyników od wartości oczekiwanej.

$$S^{2} = p_{1}{(v_{1} - EV)}^{2} + p_{2}{(v_{2} - EV)}^{2} + p_{3}{(v_{3} - EV)}^{2} + \ldots + p_{n}\left( v_{n} - EV \right)^{2} = \sum_{i = 1}^{n}{p_{i}{(v_{i} - EV)}^{2}}$$

W przypadku porównywania wariantów decyzji dla których koszty korzyści nie są zbliżone, należy posługiwać się miarą ryzyka względnego czyli współczynnikiem zmienności – V

$$V = \frac{S}{\text{EV}}$$

Drzewa decyzyjne

Drzewo decyzyjne to mające wszechstronne zastosowanie metoda przedstawiania procesu decyzyjnego i związanych z nim zdarzeń losowych oraz możliwości wyników różnych wariantów decyzyjnych w warunkach niepewności.

Drzewo decyzyjne składa się z prostokątów – reprezentujących węzły decyzyjne, kół – przedstawiających zdarzenia losowe, trójkątów – oznaczających węzły końcowe, gałęzi – łączących powyższe elementy i symbolizujące możliwe warianty.

Kryterium decyzyjne – maksymalizacja wartości oczekiwanej

Kryterium wartości oczekiwanej umożliwia menedżerowi wybór takiego wariantu działania, który pozwala zmaksymalizować wartość oczekiwanego zysku.

Ocena prawidłowości decyzji powinna uwzględniać początkowo zasób informacji, tj. przed podjęciem decyzji należy odróżnić złe decyzje od złych wyników.

Właściwości kryterium wartości oczekiwanej:

1. Pozwala uwzględniać nie tylko możliwe wyniki działań, ale także prawdopodobieństwo ich wystąpienia

2. Ma zastosowanie w przypadku rutynowych, powtarzalnych decyzji, które podejmowane sa z dużą częstością

3. Ma zastosowanie dla menedżerów, którzy w swoich decyzjach opierają się na wartościach przeciętnych.

Kryterium decyzyjne – maksymalizacja użyteczności oczekiwanej

Użyteczność oczekiwana – EU jest to suma iloczynów prawdopodobieństw użyteczności każdego z możliwych wariantów podjętych decyzji.

$$EU = p_{1}U\left( v_{1} \right) + p_{2}U\left( v_{2} \right) + p_{3}U\left( v_{3} \right) + \ldots + p_{n}U\left( v_{n} \right) = \sum_{i = 1}^{n}{p_{i}U(v_{i})}$$

Procedura zastosowania kryterium użyteczności oczekiwanej składa się z etapów:

1. Budowa skali użyteczności

2. Konstrukcja drzewa decyzyjnego wykorzystującego przyjętą skalę. Menedżer podejmując decyzje oblicza nie przeciętną pieniężnych wycen wszystkich możliwych wyników, liczy średnią użyteczności związanych z poszczególnymi wartościami pieniężnymi, zgonie z zasadą substytucji pieniężnej wyceny wyników decyzji oczekiwaną użyteczności.

Menedżer podejmując decyzję powinien podjąć takie działania, które pozwolą zmaksymalizować jego oczekiwaną użyteczność.

Użyteczność oczekiwana a stosunek do ryzyka

Wykres krzywej użyteczności osoby cechującej się niechęcią do ryzyka jest krzywą wklęsłą, w odróżnieniu do osoby neutralnej wobec ryzyka (linia prosta) i skłonnej do ryzyka (krzywa wypukła)

1. Osoba niechętna wobec ryzyka

2. Osoba neutralna wobec ryzyka

3. Osoba skłonna do ryzyka

Menedżer niechętny wobec ryzyka

W przypadku menedżera unikającego ryzyka udział w grze o wartości oczekiwanej – EV daje mniejsze zadowolenia (użyteczność) niż posiadanie kwoty EV ze 100% pewnością. Kwotą, która daje menedżerowi taką samą użyteczność danej gry nazywamy ekwiwalentem pewności – CE. Menedżer byłby w stanie zrezygnować z ekwiwalentu pewności w zamian za udział w grze, gdyby otrzymał premie za ryzyko – RP.

Menedżer skłonny do ryzyka

W przypadku menedżera skłonnego do ryzyka udział w grze o wartości oczekiwanej – EV daje większe zadowolenie (użyteczność) niż posiadanie kwoty EV ze 100% pewnością. Dla każdej gry ekwiwalent pewności – CE jest większy od jej wartości oczekiwanej, tak więc premia za ryzyko jest ujemna (osoba może przystąpić do gry nawet jeżeli musi za to zapłacić).

Ubezpieczenie na wypadek ryzyka

Menedżer niechętny wobec ryzyka może podjąć decyzje o wykupieniu na początku okresu polisy ubezpieczeniowej gwarantującej wypłatę pełnego odszkodowania na wypadek strat powstałych w trakcie tego okresu (np. ubezpieczenie strat finansowych z tytułu ryzyka kursowego). Uiszczenie pewnej opłaty pozwala działać w warunkach pewności.

Minimalne wynagrodzenie ubezpieczyciela (zapewniające zrównanie się przychodów z kosztami) zostanie określone na poziomie, jaki podmiotowi ubezpieczającemu się zapewni w warunkach pewności poziom majątku, który w sytuacji obarczonej ryzykiem odpowiada oczekiwanej wartości majątku jednostki.

Wykład 11

Rola informacji w procesie podejmowania decyzji menadżerskich

• Asymetria informacji

• Negatywna selekcja

• Screening

• Signaling

• umowa warunkowa

wartość informacji

Każde nowe źródło informacji ma potencjalną wartość jako czynnik mogący wpłynąć na jakość prognoz niepewnych zdarzeń i tym samym przyczynić się do podjęcia lepszej decyzji.
Decydent powinien pozyskać dodatkowe informacje wtedy i tylko wtedy gry jej wartość – EV(z punktu widzenia jakości decyzji) przewyższa koszty jej zdobycia.

EVI = wartosc oczekiwana uwzgledniajaca informacje − wartosc oczekiwana bez informacji

Decydent nie powinien z góry przesądzać o wyborze jednego wariantu działania. Z wyborem najlepszego wariantu działania powinien wstrzymać się do chwili uzyskania pełnej dostępnej informacji.

Asymetria informacji

W przypadku asymetrii informacji jedna ze potencjalnej transakcji jest lepiej poinformowana od drugiej strony (np. rynek kredytowy, rynek ubezpieczeń).
Asymetria informacji może prowadzić do zjawiska negatywnej selekcji, w ramach której gorzej poinformowana strona transakcji pozyskuje dobro o wartości mniejszej niż wartość przez nią zakładana (np. rynek samochodów używanych).
W skrajnym przypadku zjawisko negatywnej selekcji prowadzi do załamania rynku (rynek przestaje funkcjonować).

Neutralizacja asymetrii informacji

Neutralizacja asymetrii informacji przez gorzej poinformowaną stronę może mieć charakter:

1. bezpośredni – ocena stanu faktycznego poprzez pozyskanie niezbędnych danych (np. ocena zdolności kredytowej, ocena samochodu przez rzeczoznawcę) przy założeniu, że:

   1. własności będące przedmiotem asymetrii informacji muszą poddawać się obiektywnej ocenie

   2. potencjalna korzyść musi pokrywać koszty oceny

2. pośrednie poprzez

   1. screening

   2. sygnalizowanie wartości (signaling)

   3. zawarcie umowy warunkowej

Wykład 11 cd

Screening

Screening to działanie gorzej poinformowanej strony potencjalnych transakcji mające prowadzić do ustalenia w sposób pośredni właściwości charakterystycznych oferty drugiej strony.
Gorzej poinformowana strona ukształtuje wybór dokonywany przez lepiej poinformowane strony potencjalnej transakcji, co ma prowadzić do autoselekcji, której wynik zależy od właściwości charakteryzujących jej ofertę (np. wysokość udziału własnego przy ubezpieczeniu pojazdów, co pozwala na screening kierowców pod względem ich ostrożności tj. nieostrożni kierowcy wybierają droższe ubezpieczenia z niskim udziałem własnym i vice bersa).
W sytuacji, gdy dostępnych jest kilka zmiennych różnicujących optymalnym wyborem jest posłużenie się kombinacją zmiennych różnicujących.

Przetargi

Przetarg jest metodą opierającą się na screeningu dotyczącą wzajemnych oddziaływań pomiędzy sprzedającymi.
Formuła przetargu zmusza uczestników do dokonania autoselekcji, której kryterium jest wartość majątku wystawionego na sprzedaż
Przetarg może być prowadzony na różne sposoby. W przetargu „pierwszej ceny”, który jest niejawny i pisemny, przetarg wygrywa uczestnik oferujący najwyższą cenę. W przetargu „drugiej ceny” (tzw. przetarg Vickreya) przetarg wygrywa uczestnik oferujący najwyższą cenę, ale cena transakcyjna, to cena druga pod względem wysokości.
Jedna z form przetargu jest aukcja, która cechuje się jawnością oferty.

Optymalne strategie ofertowe dla uczestników przetargu

W przypadku przetargu „pierwszej ceny”, w którym bierze udział n-uczestników, dla których wszystkie wartości przedmiotów przetargu są niezależne i rozłożone równomiernie (wszystkie są możliwe i jednakowo prawdopodobne) pomiędzy najniższą możliwą wartością L i najwyższą możliwą wartością H, optymalną ofertą dla gracza neutralnego wobec ryzyka i przyjmującego oceny wartości przedmiotu przetargu v jest:

$$t\left( \pi \right) = \left( v - b \right)\Pr\left( b \right) = (v - b)\left( \frac{b - L}{H - L} \right)^{n - 1}$$

W przypadku przetargu „drugiej ceny” optymalną strategią ofertową jest przedstawienie oferty równej własnej ocenie wartości przedmiotu przetargu.

Przekleństwo zwycięscy

Przekleństwo zwycięscy pojawia się wówczas, gdy zgłaszający najwyższą cenę uczestnik przetargu, który wygrywa przetarg z powodu nadmiernego optymizmu, uświadamiając sobie, że przeszacował wartość przedmiotu przetargu.
W przypadku, gdy istnieje niepewność co do wspólnej jednolitej wartości przedmiotu przetargu, uczestnicy przetargu powinni określić wartość przedmiotu przy założeniu, że każde z nich może wygrać przetarg. Pozwoli to uniknąć pułapki zwycięscy.

Aukcje

Aukcja gwarantuje, że konkurencja pomiędzy jej uczestnikami pozwoli wyznaczyć ostateczną cenę transakcji, najwyższą, jaką zdoła „udźwignąć” rynek.
W przypadku aukcji angielskiej (licytacja) ceny zgłaszane są ustnie , cena stopniowo wzrasta, aż do momentu kiedy uczestnik zaoferuje najwyższą cenę pozwalającą wygrać licytację. Reguła decyzyjna dla uczestników aukcji to licytowanie do ceny granicznej własnej indywidualnej wyceny wartości (jeśli będzie to konieczne).
W ramach aukcji holenderskiej cena wyjściowa zostaje ustalona na wysokim p[poziomie, a następnie jest obniżana aż do momentu zgłoszenia pierwszej oferty.

Ceny graniczne

Jeżeli żadna z ofert nie przekroczy wyznaczonej przez sprzedawcę ceny granicznej, to sprzedawca rezygnuje ze sprzedaży wystawionego na aukcji towaru.
Cena graniczna służy dwóm celom:

1. Chroni przed sprzedażą towaru zbyt tanio

2. Może ona także spompować, że wzrośnie wysokość ostatecznej oferty

Sygnalizowanie wartości

Sygnalizowanie wartości to działanie lepiej poinformowanej strony potencjalnej transakcji, mające na celu przekazanie w wiarygodny sposób o właściwościach swojej oferty stronę gorzej poinformowaną (np. gwarancja zwrotu ceny)

Wiarygodny sygnał prowadzi do autoselekcji lepiej poinformowanych stron potencjalnych transakcji.

Przykład rynku pracy:
Edukacja się opłaca wtedy, gdy wszystko czego się nauczymy na studiach jest w pracy bezużyteczne. Dyplom jest bowiem sygnałem o zdolnościach i pracowitości (np. popytu na fizyków i matematyków).

Płatności warunkowe

Płatność warunkowa to płatność realizowana po wystąpieniu określonych czynników.
Przykładem płatności warunkowej jest postawienie zagranicznemu dostawcy maszyn i technologii wymogu wykupu określonej partii wyrobów wytwarzanych z ich użyciem. Taka formuła sprawia, że wielkość sprzedaży jaką osiągnie zagraniczny kontrahent zależy od płatności oferowanych maszyn i technologii oraz sytuacji na rynku danego dobra. Zagraniczny kontrahent jest więc motywowany do sprzedaży maszyn jak najbardziej efektywnych także do prezentowania realnych prognoz w zakresie potencjału rynkowego wyrobów produkowanych z ich zastosowaniem.

Wykład 12

prognozowanie liniowe

• Zadania decyzyjne

• Optymalizacja struktury produktu

• Problem mieszanek

• Wybór procesu technologicznego

• Zagadnienia transportowe

• Metoda geometryczna

Liniowe zadania decyzyjne

Problem decyzyjny opisany nie tradycyjnie, werbalnie, lecz „w języku matematycznym” nazywany jest zadaniem decyzyjnym.

W zadaniu decyzyjnym wyróżniamy:

1. Parametry lub współczynniki zadania – pewne wielkości, które są decydentowi dane (np. popyt odbiorców, podaż dostawców),

2. Zmienne decyzyjne – wielkości, które decydent musi dopiero wyznaczyć (np. wielkość przewozu od danego dostawcy do danego odbiorcy),

3. Funkcje celu – kryterium wyboru decydenta

Jeżeli warunki ograniczające są liniowe oraz funkcja celu jest liniowa, zadanie decyzyjne nazywane jest liniowym zadaniem decyzyjnym.

Ogólna postać liniowego zadania decyzyjnego

Znaleźć takie wartości zmiennych decyzyjnych x₁, x₂, x₃, …x_n, aby:

(l_a)c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n → opt (opt = maxalbo min) ∖ n(l_b)a_ijx₁ + a_ijx₂ + … + a_inx_n ≤ b_i(i=1,2,…,m₁) ∖ n(l_c)a_ijx₁ + a_ijx₂ + … + a_inx_n ≥ b_i(i=m₁+1,m₁+2,…,m₂) ∖ n(l_d)a_ijx₁ + a_ijx₂ + … + a_inx_n = b_i(i=m₂+1,m₂+2,…,m) ∖ n(l_e)a_ijx₁ + a_ijx₂ + … + a_inx_n ≥ 0 

Symbole c₁,  b_i, a_ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) oznaczają parametry zadania:

c_j- jest wagą (współczynnikiem) funkcji celu przy j-tej zmiennej decyzyjnej,
b_i- jest wyrazem wolnym i-tego warunku ograniczającego,
a_ij- jest współczynnikiem przy j-tej zmiennej decyzyjnej w i-tym warunku argumentującym.

Wyrażenie (l_a)jest funkcją celu, której wartość – zależnie od przypadku – jest maksymalizowana lub minimalizowana. Nierówności (l_b),  (l_c), (l_e) dla równania (l_d) tworzą układ warunków ograniczających zadania.

Formułowanie zadań decyzyjnych

Przykład sytuacji decyzyjnej na liniowe zadanie decyzyjne składa się z następujących kroków:

1. Określenie zmiennych decyzyjnych jakie decydent musi wyznaczyć,

2. Ustalenie wielkości danych (paramentów),

3. Sformułowanie warunków ograniczających, jakie powinna spełnić decyzja dopuszczalna, tj. równań i nierówności wiążących zmienne decyzyjne,

4. Sformułowanie celu decydenta, tj. ustalenie funkcji celu.

Klasy problemów decyzyjnych

W zależności od rodzaju problemu decyzyjnego, będziemy rozpatrywali następujące klasy problemów decyzyjnych:

1. Optymalizacja struktury produkcji

2. Problem mieszanek

3. Wybór procesu technologicznego

4. Zagadnienia transportowe

Optymalizacja struktury produkcji

Optymalizacja struktury produkcji polega na określeniu rodzaju oraz ilości wyrobu, jaki powinno produkować przedsiębiorstwo przy posiadanych zasobach produkcji oraz innych ograniczeniach, albo zmaksymalizowanie zysku albo przychodu ze sprzedaży.

przykład

Przedsiębiorstwo produkcyjne dla wyrobu w₁, w₂ do wyrobu, których wykorzystuje dwa limitowe surowce s₁, s₂. Limity miesięcznego zużycia tych surowców do produkcji poszczególnych wyrobów podane są w poniższej tabeli:

	Wyrób
Surowiec	w1
s1	6
s2	4

Zysk osiągany na jednostce wyrobu w₁wynosi 40zł, a na jednostce wyrobu w₂ wynosi 50 zł. Ile wyrobu miesięcznie ma produkować przedsiębiorstwo aby osiągnąć maksymalny zysk?

Wykład 12 cd

Zmienne decyzyjne:

x₁ – miesięczna produkcja wyrobu W₁ (w szt.)
x₂ – miesięczna produkcja wyrobu W₂ (w szt.)

x₁, x₂ ≥ 0

Problem mieszanek

Problem mieszanek polega na określeniu rodzaju oraz ilości surowców jakie należy zakupić, aby otrzymać produkt o pożądanym składzie przy możliwie najniższych kosztach zakupu surowców.

Wybór procesu technologicznego

Wybór procesu technologicznego polega na określeniu skali zastosowania możliwych procesów wytwórczych, aby wyprodukować określone ilości produktów przy możliwie najniższych kosztach.

Zagadnienia transportowe

Modele zagadnień transportowych pozwalają na opracowywanie planów przewozu towaru z różnych źródeł zaopatrzenia do odbiorców. Kryterium optymalizacji planu przewozów jest najczęściej minimalizacja łącznych kosztów transportu.

Przykład:

Dwa magazyny zaopatrują w cukier dwa zakłady cukiernicze. Magazyny posiadają odpowiednio 50 i 70 ton cukru, natomiast zapotrzebowanie poszczególnych zakładów cukierniczych wynosi 30 i 90 ton. Koszt transportu 1 tonu cukru z magazynów do zakładów cukierniczych podano w poniższej tabeli.

Dostawcy Odbiorcy	Z1	Z2
M1	50	70
M2	100	125

Zmienne decyzyjne:

x₁₁– ilość ton cukru, jaką należy przewieźć z 1 magazynu do 1 zakładu
x₁₂– ilość ton cukru, jaką należy przewieźć z 1 magazynu do 2 zakładu
x₂₁– ilość ton cukru, jaką należy przewieźć z 2 magazynu do 1 zakładu
x₂₂– ilość ton cukru, jaką należy przewieźć z 2 magazynu do 2 zakładu

x₂₁ + x₂₂ = 50

x₁₁, x₁₂,  x₂₁, x₂₂ ≥ 0

Metoda geometryczna

Rozwiązywanie zadań prognozowanie liniowego (PL) metodą geometryczną polega na wyznaczeniu w skonstruowanym graficznie zbiorze rozwiązań dopuszczalnych, punktu lub punktów, dla których funkcja przyjmuje wartości najkorzystniejsze (minimalne lub maksymalne). Punkt (punkty) ten nosi nazwę punktu optymalnego.
Metodę graficzną można zastosować do rozwiązywania zadania z co najwyżej trzema zmiennymi decyzyjnymi, a w praktyce dwiema zmiennymi decyzyjnymi wiąże się to z koniecznością wykorzystania przestrzeni dwuwymiarowych, ewentualnie trójwymiarowych.

Zbiór decyzji dopuszczalnych

Tworząc przestrzeń decyzji dopuszczalnych należy zobrazować każdy z warunków w układzie współrzędnych. W przypadku układów dwuwymiarowych odwzorowaniem warunków jest:

1. Prosta jest miejscem geometrycznym punktów, których współrzędne spełniają równanie,

2. Półprosta, razem z prostą będącą jej brzegiem, jest miejscem geometrycznym punktów, których współrzędne spełniają nierówność słaba,

3. Półpłaszczyzna, bez prostej będącej jej brzegiem, jest miejscem geometrycznym punktów, których współrzędne spełniają nierówność ostrą.

Część wspólna dla wszystkich warunków ograniczających tworzy zbiór decyzyjny dopuszczalnych D.

Rozwiązywanie zadania decyzyjnego

Rozwiązywanie zadania PL jest jednym z następujących przypadków:

1. Zbiór pusty, gdy zbiór D jest pusty lub funkcja celu nie jest ograniczona z góry (dołu) na zbiorze D.

2. 1 rozwiązanie, którym jest 1 wierzchołek zbioru D

3. Nieskończenie wiele rozwiązań, które stanowią odcinek łączący 2 wierzchołki zbioru D lub półprosta wychodząca z wierzchołka zbioru D w kierunku wektora h (wyznacza on kierunek półprostej ograniczającej zbioru D wychodzącej z wierzchołka)