MATEMATYKA – ĆWICZENIA.

Ćwiczenia z 4.02 i 5.02.2011 r.

Szczególny rodzaj macierzy blokowej w której wyróżniona została macierz jednostkowa oraz macierze zerowe lub macierz resztowa nazywamy postacią bazową (kamieniczną).

Częste spotykane postaci macierzy bazowej:

Gdzie:

Ir – macierz jednostkowa stopnia r

0 – macierz zerowa

R – macierz resztowa

Oraz ich odbicia symetryczne w blokach.

Każdą macierz niezerową można przekształcić do postaci bazowej za pomocą skończonej ilości operacji elementarnych.

Przykład.

Sprowadź macierz do postaci bazowej.

Algorytm J.Gaussa

Przykład:

Wyznacznik macierzy.

Wyznacznik macierzy to dokładnie określona liczba rzeczywista przyporządkowująca danej macierzy kwadratowej.

Oznaczenie. det A = I A I =

Wyznacznik macierzy stopnia 1 ,czyli z liczby jest równy tej liczbie.

det7 = I 7 I = 7

Macierz stopnia 2 i 3 tzw. schemat Sarrusa :

Iloczyny ze swoimi znakami

Iloczyny ze znakiem przeciwnym

=a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂-(a₃₁a₂₂a₁₃+a₃₂a₂₃a₁₁+a₃₃a₂₁a₁₂)

Przykład.

2. det= 34

3. det=7∙2∙(-1)+8∙3∙3+9∙1∙(-2)-(3∙2∙9+(-2)∙3∙7+(-1)∙1∙2=36

Do obliczania wyznaczników macierzy stopnia wyższego niż 3 . Trzeba stosować rozwinięcie Laplace’a.

Minorem Mij macierzy kwadratowej nazywamy wyznacznik macierzy powstający z usunięcia i- tego wiersza oraz j- tej kolumny danej macierzy.

Dopełnieniem algebraicznym elementów aij ozn. Dij nazywamy iloczyn Dij = (-1)^{i + j} ∙ Mij

Przykład.

Dana jest macierza

A=

Oblicz:

1. D₁₃ = (-1)^{1 + 3} ∙ M₁₃ = (-1)⁴∙

2. D₂₃=(-1)²⁺³∙M₂₃ = (-1)∙

3. D₃₃ = (-1)⁶ ∙ M₃₃ = 1∙

Twierdzenie Laplace’a .

Wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy sumie iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego.

detA = a_i1Di₁ +a_i2D_i2+ … + a_inD_in

wg rozwinięcia i-tego wiersza

detA = a_1jD_1j + a_2jD_2j+ … + a_njD_nj

rozwinięcie wg j-tej kolumny

Przykład.

Oblicz wyznacznik macierzy.

rozwijając wg I wiersza = -115

Przykład.

Korzystając z własności wyznacznika i nie wykonując rachunków podaj wartość poniższych wyznaczników.

Zad.1

Jeśli W = to jaką wartość ma wyznacznik